函数间断点

函数间断点

信贷资产-秦末农民起义

2023年2月18日发(作者：落叶的天空)

学科：高等数学

第一章函数与极限

知识点14函数间断点的求法及分类精选习题

作者：邹群

例14.1(难度系数0.2)若有可去间断点，则，

e

()

(1)()

xb

fx

xxa







0x

a

.b

解析：据为的间断点，可知此时在点必无定义，因此0x

()fx()fx

0x

；0a

再根据可去间断点处的极限一定存在，可得.

00

e

lim()lim

(1)

x

xx

b

fx

xx







1b

解：，.0a1b

例14.2(难度系数0.2)函数在上的第一类间断点为

1

1

(ee)tan

()

(ee)

x

x

x

fx

x







[,]

().x

(A)(B)(C)(D)0

1

2





2



解析：由于函数在、点无定义，故、为间断点.首先易见0x1x0x1x

为无穷间断点.1x

当时，由于在此点须考虑左右极限，因此0x

1

ex

，

1

11

2

111

00000

2

1

e()

eeee

lim()lim1,lim()limlim1

1

eeeee()

x

xx

xxxxx

xxx

x

fxfx

x











则是的第一类间断点，故选（A）.0x

()fx

解：（A）.

妙招：寻找间断点的方法

在题目没有给出间断点的位置时如何找出所有间断点呢？除了分段函数在

分段点可能为间断点之外，针对初等函数的方法是找出函数定义域内使函数无

定义但是其去心邻域内有定义的点，它必为间断点.除此之外可断言没有间断点，

为什么呢？这是根据初等函数在定义区间内连续，除去定义区间的点即为如上

所述的间断点.

注意:在某点有定义,但是在此点的去心邻域无定义的点不算间断点,这根据间

断点的定义即可知,此类点称为“孤立点”.如中均()cos1fxx2()

2

xkk





为孤立点.

例14.3(难度系数0.4)

求在内的间断点并判断其类型.tan()

4()(1)

x

xfxx



(0,2)

解析：根据上面的“妙招”找出间断点，然后通过求解极限来确定间断点类型.

解：对于要求，,因此当，()fxtan()0

4

x



cos()0

4

x



tan()0

4

x





，即，时间断，故在cos()0

4

x





4

xk





3

4

xk



()fxtan()

4()(1)

x

xfxx





内的间断点为x=、、、.(0,2)

4

5

4

3

4

7

4



，故x=为的第二类间断点；同理，x=tan()

4

44

lim()lim(1)

x

x

xx

fxx











4



()fx

5

4



为的第二类间断点.()fx

，故x=为的第一类间断点；同理，x=tan()

4

33

44

lim()lim(1)1

x

x

xx

fxx











3

4



()fx

7

4



为的第一类间断点.()fx

例14.4(难度系数0.4)设函数，则有（）.

ln

()sin

1

x

fxx

x





()fx

(A)1个可去间断点，1个跳跃间断点(B)1个跳跃间断点，1个无穷间断点

(C)2个无穷间断点(D)2个跳跃间断点

解析：同例14.3的解析知的间断点为.

ln

()sin

1

x

fxx

x





0,1xx

因为，

0000

2

1

ln()

lim()limln()limlim0

11xxxx

x

x

fxxx

xx









，

0000

2

1

ln

lim()limlnlimlim0

11xxxx

x

x

fxxx

xx







故是的可去间断点.0x

()fx

因为，

111

ln1/

lim()sin1limsin1limsin1

11xxx

xx

fx

x





，

111

ln1

lim()sin1limsin1limsin1

1xxx

x

fx

xx





故是的跳跃间断点.选(A).1x

()fx

解：(A).

例14.5(难度系数0.4)设函数，则（）.

1

1

()

e1

x

x

fx







(A)都是的第一类间断点.0,1xx

()fx

(B)都是的第二类间断点.0,1xx

()fx

(C)是的第一类间断点，是的第二类间断点.0x

()fx

1x

()fx

(D)是的第二类间断点，是的第一类间断点.0x

()fx

1x

()fx

解析：可判定均为间断点，然后再通过极限判定间断点的类型.0,1xx

因为，故是的第二类间断点.

0

lim()

x

fx





0x

()fx

因为，故是的第一类间断点.选(D).

11

1

lim()1,lim()0

01xx

fxfx







1x

()fx

解：(D)

例14.6(难度系数0.2)

设，求出的间断点，并指出是哪一类间断点，2

2,0,2

4,02

4,2

xx

fxxx

x

















fx

若可去，则补充定义，使其在该点连续.

解析：对于分段函数的间断点一定先对分段点进行判断，然后看一看非分段

点有无间断点，此题函数除分段点外均连续.补充定义时结合函数连续性的定义.

解：(1)由，，故为第一类间断点中的可去间断点，改

0

lim4

x

fx



02f

0x

变在的定义为，即可使在连续.fx

0x04ffx

0x

(2)由，，故为第一类间断点中的跳跃间断点.

2

lim4

x

fx





2

lim0

x

fx



2x

(3)由，，故为第一类间断点中的跳跃间断点.

2

lim0

x

fx





2

lim4

x

fx





2x

例14.7(难度系数0.2)

设，求的间断点，并说明其类型.

1

10

()

ln(1)10

xex

fx

xx



















，

，

()fx

解析：类似例14.6.

解：在和处无定义，在内都是连续的.()fx

0x1x

()fx(1,0)(0,1)(1,)、、

因为，，所以是第一类间断

0

(00)limln(1)0

x

fx





1

1

0

1

(00)limx

x

fe

e







0x

点，且为跳跃间断点.

因为，，所以是第二类间断点，

1

1

1

(10)lim0x

x

fe









1

1

1

(10)limx

x

fe









1x

且为无穷间断点.

例14.8(难度系数0.2)设函数在内有定义，且，()fx(,)lim()

x

fxa





，则（）.

1

(),0

()

0,0

fx

gx

x

x

















(A)必是的第一类间断点(B)必是的第二类间断点0x

()gx

0x

()gx

(C)必是的连续点0x

()gx

(D)在点处的连续性与的取值有关()gx

0x

a

解析：通过求极限进行间断点类型的判定，注意复合函数的关系即可.

，，当时，是的连续点，当时

00

1

lim()lim()

xx

gxfa

x

(0)0g

0a0x

()gx

0a

，是的间断点，故选(D).0x

()gx

解：(D).

例14.9(难度系数0.6)函数的可去间断点的个数为（）.

3

()

sin

xx

fx

x





(A)1(B)2(C)3(D)无穷多个

解析：可判定为间断点，然后再通过极限进行间断点类型的判定，注xk

意单独对、、时极限的讨论.

0k1k1k

的间断点为.

3

()

sin

xx

fx

x





xk

，

332

0000

11

lim()limlimlim

sinxxxx

xxxxx

fx

xx





，

32

111

132

lim()limlim

sincosxxx

xxx

fx

xx





，

32

111

132

lim()limlim

sincosxxx

xxx

fx

xx





（、、）.

3

lim()lim

sinxkxk

xx

fx

x



0k1k1k

则有3个可去间断点x=0,1,.故选(C).

3

()

sin

xx

fx

x



1

解：(C).

例14.10(难度系数0.4)设，，讨论

21

()

11

xx

fx

xx













2

()2(1)25

35

xx

gxxx

xx

















的连续性，若有间断点并指出类型.[()]yfgx

解析：利用复合函数的连续性进行判断，结合间断点的类型进行判定.

解：令.因为，所以处处连续.()ugx

2

()2(1)25

35

xx

ugxxx

xx

















()gx

，当时连续，即当时，连续

21

()

11

uu

yfu

uu













1u

()1gx(1)x[()]yfgx

，对于，由于，所以为跳跃间断点.1x

11

lim0lim1

xx

yy





1x

例14.11(难度系数0.6)

设和在内有定义，为连续函数，且，有间断点()fx()x(,)()fx()0fx()x

，则().

（A）必有间断点（B）必有间断点[()]fx2[()]x

（C）必有间断点（D）必有间断点[()]fx

()

()

x

fx



解析：此题（A）、（B）、（C）均不易判断，实际上只须判断(D)正确.

用反证法证明必有间断点.若没有间断点，即为连续函数.因为

()

()

x

fx

()

()

x

fx



连续，所以=连续，与有间断点矛盾.故选(D).()fx()x()fx

()

()

x

fx



()x

可举反例说明其余3个选项不正确.

对于(A)，设=，为间断点，连续，而=1连续()x

,0

1,0

xx

x











0x

()1fx[()]fx

，无间断点.

对于(B)，设=，为间断点，而连续，无间断点.()x

1,0

1,0

x

x











0x2[()]1x

对于(C)，设=，，则=连续，无间断()x

1,0

1,0

x

x











2()fxx

[()]fx2[()]1x

点.

从而(A)、(B)、(C)必有间断点的说法不正确.

解：(D).