抛物线焦点弦性质
-
2023年2月10日发(作者：我报道)抛物线焦点弦性质总结30
条
基础回顾
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
以AB为直径的圆与准线L相
切；
x1gx2
y1gy2
2
p2
;4
2
p
AC'B90o;
A'FB'90o;
ABx1x2p2(x3
112
AFBFP;
A、O、B'三点共线；
B、O、A'三点共线；
P2
SVAOB；2sin
2
SVAOB
AB
AF
2p)
2p
sin
2
(P
2)3(定值)；
1cos
BFP；
；1cos
BC垂直平分BF；AC'垂直平分A'F；C
'
FAB
性质
深究
一）焦点弦与切线
1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切
线交点位置有何特殊之处？
结论1：交点在准线上
先猜后证：当弦ABx轴时，则点P的坐标为
证明:从略
结论2切线交点与弦中点连线平行于对称轴
结论3弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
2、上述命题的逆命题是否成立？
结论4过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x轴
的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点．
结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．
3、AB是抛物线y22px（p>0）焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，AA1l，BB1l，
过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M．则有结论6PA⊥PB．
结论7PF⊥AB．
结论8M平分PQ．
结论9PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．
结论10FAFBPF
结论11SPABminp2
13.
14.
15.
16.
AB；
2P；
17.
18.
19.
1AB
2PK
AB=；y3
y
2
;p
;
x2-2
CC'
tan
20.A'B'4AF
21.C'F
A'B'.
22.切线方程y
0
y
1
2(AA'
BB')；
BF;
mx
0
x
p,0在准线上．
2
）非焦点弦与切线
思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，也有与上述结论类似结果：
结论12
①xpy
2
1
y
p
2，yp
p2pp
y1y2
2
结论13
PA平分∠A1AB，同
理
PB平分∠
B1BA．
结论14PFAPFB
结论15点M平分PQ
结论16
FAFBPF
相关考题
1、已知抛物线x24y的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且AFFB（>0），过A，B两点分别
作抛物线的切线，设其交点为M，
1）证明：FMAB的值；
（2）设ABM的面积为S，写出Sf的表达式，并求S的最小值．
2、已知抛物线C的方程为x24y，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B；
（1）过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D，求证：AFDF；
（2）若直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交于点M，求证：AM⊥BM，且点M在直线
l上．
3、对每个正整数n，Anxn,yn是抛物线x24y上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点
Bnsn,tn，（1）试证：xnsn4（n≥1）
（2）取xn2n，并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点，求证：
FC
1
FC
2
FC
n
2n2n11（n≥1）
抛物线的一个优美性质
几何图形常常给人们带来直观的美学形象，我们在研究几何图形时也会很自然地想
得到有关这个几何图形的美妙的性质，作为几何中的圆锥曲线的研究，正是这方面的一
个典型代表，作为高中数学中的必修内容，对于培养学生对于数学美的认识，起着相当
重要的作用。因此，在研究圆锥曲线的过程中，有意识地得到一些有关圆锥曲线的几何
性质并且加以归纳，并在教学中与学生一起进行一些可行的研究，一方面，作为高考命
题也会往这个方向上尝试，另一方面，作为新课程的一个理念，让学生进行一些学有余
力的研究，提高学生学习数学的兴趣，提高学生自己研究问题的能力也很有帮助。本人
从一个在教学中学生遇到的习题结合该知识点有关的一些性质，
这一性质作了一些研究。
题：抛物线y2=2px（p>0）的准线与x轴交于Q点，过
点“直线L与抛物线有且只有一个交点”是“k=±1”的
本题设计意图是考查学生对于直线与抛物线有且只有一个
交点的问题的了解，要求学生掌握直线与抛物线相切时是只有一个交点，还有当直线与
抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个交点，因此，经过简单的验证可知道
上题的答案是必要不充分条件。
结合抛物线的下面的性质及上题的图形，我们发现了一些共同点。
性质1：已知AB是经过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的弦，则以AB为直径的圆
与
抛物线的准线相切。
图1图2
证明：由图2可知，BF=BB1，AF=AA1，2PP1=AA1+BB1。所以2PP1=AB。
其中图1是图2的一个特例，即当焦点弦是通径时，图2即变成了图1。这就引导
我们思考在图2中的两条直线P1A、P1B是否也是抛物线的两条切线，这样我们得出了抛
物线的一个性质：
性质2：已知AB是经过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的弦，则以A、B为切点的两条切线
的交点P落在其准线上。
证明：设A（x1，y1），B（x2，
y2），P（x，
点A在抛物线上：
y2=2px
（1）
点B在抛物线上：
y2=2px
（2）
过点A的切线方程：yy
=p（
x+x1)（3）
过点B的切线方程：yy
2=p（
x+x2)（4）
直线AB经过点F：y
1
y2
（5）
pp
x1
2x2
2
并结合高考的热点题对
Q作斜率为k的直线L。
则
___条件
y
B1
x
A1
A
P
O
F
y
O
F
A
y）
将（1）式与（2）式分别代入（3）、（4）、（5）式，得到
2
y1yy1=p（x+
1）
2p
（3′）
2
y2yy2=p（x+2）
2p
（4′
）
2y1y2=-p
5′）
因为点P（x，y）的坐标满足（3′）、（4′），所以y1、y2可视为是方程yt=p
（x+2tp）
的两根，因此由韦达定理可得y1y2=-p2=2px。即x=p。
2
所以点P的轨迹为抛物线的准线。
从上面的证明中我们可以看出，当A、B两点的坐标满足某种条件时，则以A、B为
切点的两条切线的交点一定落在某条固定的直线上。因此，我们更进一步地得出了更好
的性质：
性质3：已知AB是经过抛物线y2=2px（p>0）的对称轴（即x轴）上一定点P（m，
0）（m>0）的弦，则以A、B为切点的两条切线的交点Q的轨迹是一条直线x=-m。证
明：略。
对于上述性质的得出，我们使用了抛物线上已知切点坐标的切线方程的写法，但如
果换一个角度看这个问题，我们也可以得出另一种形式的性质：
性质3′：动点P在直线x=-m上运动，过点P作抛物线的两条切线PA、PB，切
点分别为A、B，连结AB，得到弦AB，那么弦AB过定点（m，0）。
证明：略。
由OAOB=x1x2+y1y2=2，得c=2。
（2）P为线段AB的中点，得点Q的坐标为（x1
2
x2，-c）
2
由AQ的斜率k1=y1c2（x1x1x2）2x
1
，过点A的切线的斜率为k2=2x1。所以直
x1
x1x2x1x2
1
2
线AQ是抛物线的切线。
（3）过点A的切线方程为y-y1=2x1（x-x1）与直线y=-c相交于点Q，将y=-c代
入y-y1=2x1（x-x1），可得-c-x1
2=2x1（x-x1）即x1x2-x1
2=2x1（x-x1）
根据上面的讨论，我们得到了关于抛物线的一个性质，特别是对于抛物线的切
线以及抛物线中动弦中的定值问题的结合，在高考题的命题中也常有涉及。
例1：（2007江苏高考第19题）如图，过C（0，c）（c>0）作直线与抛物
线交于A、B两点，一条垂直于x轴的直线，
若OAOB=2，求c的值；
若P为线段AB的中点，
求证：AQ为抛物线的切线；
试问（2）的逆命题是否成立。
y1），B（x2，y2），
（1）
y2c
x2
3）式，得到x1x2=-c，y1y2=c2
1）
2）
（3）解：（1）设A（x1，
2点A在抛物线上：y1=x1直
线AB经过点C：y1cx1将
（1）式与（2）式分别代入
分别与线段AB和直线y+c=0交于
P、y
C（0，c）
点B在抛物线
上：
2
y2=x2（2）
3）
y=x2相
Q。
B
所以点Q的横坐标为x1x2，即点P为线段AB的中点。（2）的逆命题成立。
2
该题的命题思路就是借助于性质3而编制的一道中等难度的题。其中主要运用了切
线的斜率，切线的方程的写法，以及抛物线中的定值的使用。下题也是用类似的方法命
制的题。
例2：（2006全国高考卷Ⅱ21题）抛物线x23=4y的焦点F，A、B是抛物线上两
动点，且AFFB，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
14。当λ=1时，△ABM的面积S取得最小值。
2AFFB，即（0-x1，1-y1）=λ（x2，y2-1）所以-x1=λx2，再由x1x2=-4，得λ
x2x2=4，即x2=4，则x1=4，y1=λ，y2=1。由FMAB=0，
3
所以S=f（λ）=1ABFM
122
2x1x2y1y2
2
x
1
x
242
=
1
2
（1）证明：FMAB为定值；
（2）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求出S的最小
值。解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（0，1）
点A在抛物线上：4y1=x1
2（1）点B在抛物线上：4y2=x2
2
直线AB经过点F：y11y21（3）
x1x2
得到过点A的切线方程：2（y-y1）=x1（x-x1）
过点B的切线方程：2（y-y2）=x2（x-x2）
由（1）（2）（3）得x1x2=-4，y1y2=1
由（4）、（5）得M坐标为（x1
2
x2，
-1）。
2）
所以FMAB=（
x
1
x
2
2
，-2）·（x2-x1，y2-y1）
4）
5）
22
=x2
2
x12（y2y1）0。