2024年4月6日发(作者：)
题目 高中数学复习专题讲座函数图像及图像性质的应用
高考要求
函数的图像与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用 因此，考生要掌握绘制函数图像的一般方法，掌握函数图像变化的一般规律，能利用函数的图像研究函数的性质
重难点归纳
1 熟记基本函数的大致图像，掌握函数作图的基本方法 (1)描点法 列表、描点、连线；(2)图像变换法
平移变换、对称变换、伸缩变换等
2 高考中总是以几类基本初等函数的图像为基础来考查函数图像的 题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视
典型题例示范讲解
例1对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),
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(1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和
命题意图 本题考查函数概念、图像对称问题以及求根问题
知识依托 把证明图像对称问题转化到点的对称问题
错解分析 找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化
技巧与方法 数形结合、等价转化
(1)证明 设(x0,y0)是函数y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0),
∵(2ax0)x02=a, ∴点(x0,y0)与(2a－x0,y0)关于直线x=a对称，
又f(a+x)=f(a－x),
∴f(2a－x0)=f［a+(a－x0)］=f［a－(a－x0)］=f(x0)=y0,
∴(2a－x0,y0)也在函数的图像上，
故y=f(x)的图像关于直线x=a对称
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(2)解 由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的图像关于直线x=2对称，
若x0是f(x)=0的根，则4－x0也是f(x)=0的根，
若x1是f(x)=0的根，则4－x1也是f(x)=0的根，
∴x0+(4－x0)+ x1+(4－x1)=8
即f(x)=0的四根之和为8
例2如图，点A、B、C都在函数y=x的yBC图像上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2 又AoxA、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,A'B'C'记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a)
(1)求函数f(a)和g(a)的表达式；
(2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论
命题意图 本题考查函数的解析式、函数图像、识图能力、图形的组合等
知识依托 充分借助图像信息，y利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口
BAoC错解分析 图形面积不会拆拼
A'B'C'x技巧与方法 数形结合、等价转化
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解 (1)连结AA′、BB′、CC′,
则f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C－S△AA′B′－S△CC′B
=1(A′A+C′C)=1(222aa2),
a1g(a)=S△A′BC′=1A′C′·B′B=B′B=
1(2)f(a)g(a)(aa22a1)
21[(a2a1)(a1a)]
2111()0
2a2a1a1a∴f(a) 例3已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图，求b的范围 yo12x解法一 观察f(x)的图像，可知函数f(x)的图像过原点，即f(0)=0,得d=0, 又f(x)的图像过(1，0)，∴f(x)=a+b+c ① 又有f(－1)＜0,即－a+b－c＜0 ② ①+②得b＜0,故b的范围是(－∞,0) 解法二 如图f(0)=0有三根0,1,2， ∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax3－3ax2+2ax, 第4页 共11页 ∴b=－3a, ∵当x>2时，f(x)>0，从而有a>0,∴b＜0 学生巩固练习 1 当a≠0时，y=ax+b和y=bax的图像只可能是( ) yyy1oy11BxAxooCx1oDx 2 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( ) yyyyoAx oBx oCx oDx 3 已知函数f(x)=log2(x+1)，将y=f(x)的图像向左 第5页 共11页 平移1个单位，再将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图像，则函数F(x)=f(x)－g(x)的最大值为_________ 三、解答题 4 如图，在函数y=lgx的图像上有A、yBAoCxB、C三点，它们的横坐标分别为m,m+2,m+4(m>1) (1)若△ABC面积为S，求S=f(m); (2)判断S=f(m)的增减性 5 如图，函数y=3|x|在x∈［－1,1］的图像上有2两点A、B，AB∥Ox轴，点M(1，m)(m∈R且yCMABm>3)是△ABC2的BC边的中点 (1)写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f(t); -totx(2)求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的C点坐标 6 已知函数f(x)是y=函数g(x)的图像与函数设F(x)=f(x)+g(x) 2－1(x∈R)的反函数，10x1y=－1的图像关于y轴对称，x2 第6页 共11页 (1)求函数F(x)的解析式及定义域； (2)试问在函数F(x)的图像上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由 7 已知函数f1(x)=1x2,f2(x)=x+2, (1)设y=f(x)=f1(x), x[1,0)，试画出3f(x), x[0,1]2y=f(x)的图像并求y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积； (2)若方程f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根，求实数a的范围 (3)若f1(x)>f2(x－b)的解集为［－1，1］，求b的2值 8 设函数f(x)=x+1的图像为C1，C1关于点A(2，1)x对称的图像为C2，C2对应的函数为g(x) (1)求g(x)的解析表达式； (2)若直线y=b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点坐标； (3)解不等式logag(x) 2 第7页 共11页 参考答案 1 解析 ∵y=bax=(ba)x,∴这是以ba为底的指数函数 仔细观察题目中的直线方程可知 在选择支B中a>0,b>1,∴ba>1,C中a＜0,b>1,∴0＜ba＜1,D中a＜0,0＜b＜1,∴ba>1 故选择支B、C、D均与指数函数y=(ba)x的图像不符合 答案 A 2 解析 由题意可知，当x=0时，y最大，所以排除A、C 又一开始跑步，所以直线随着x的增大而急剧下降 答案 D 3 解析 g(x)=2log2(x+2)(x>－2) F(x)=f(x)－g(x)=log2(x+1)－2log2(x+2) =log2x1x11loglog22(x2)2x24x4x24x4x11log2(x1) 1x12x112(x1)12x1log2 ∵x+1>0,∴F(x)≤log21=－2 4当且仅当x+1= 1,即x1x=0时取等号 第8页 共11页 ∴F(x)max=F(0)=－2 答案 －2 4 解 (1)S△ABC=S梯形AA′B′B+S梯形BB′C′C－S梯形AA′C′C (2)S=f(m)为减函数 5 解 (1)依题意，设B(t,32 t),A(－t, 3t)(t>0),C(x0,y0) 2∵M是BC的中点 ∴tx0=1,23ty022 =m ∴x0=2－t,y0=2m－3t 2在△ABC中，|AB|=2t,AB边上的高hAB=y0－3t=2m－23t ∴S=1|AB|·hAB= 1·2t·(2m－3t),即f(t)=－223t2+2mt,t∈(0,1) (2)∵S=－3tm013， m32即3＜m≤3, 22+2mt=－3(t－m3)+2m23,t∈(0,1],若m2m当t=时，Smax=,相应的C点坐标是(2－m, 3m), 3233若m>1,即m>3 S=f(t)在区间(0，1］上是增函数， 3 第9页 共11页 ∴Smax=f(1)=2m－3,相应的C点坐标是(1，2m－3) 6 解 (1)y=21x－1的反函数为f(x)=lg1x10x1(－1＜x＜1) 由已知得g(x)=为(－1，1) 1,∴F(x)=lg1x1xx2+1x2,定义域(2)用定义可证明函数u=1x=－1+1x2是(－1，1）x1上的减函数，且y=lgu是增函数 ∴f(x)是(－1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点A、B 7 解 (1）y1y=f(x)=示 1x2,x[1,0)x1,x[0,1]的图像如图所-1o1xy=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体是由一个半径为1的半球及底面半径和高均为1的圆锥体组成， 其表面积为(2+2)π (2)当f1(x+a)=f2(x)有两个不等实根时，a的取值范围为2－2＜a≤1 (3)若f1(x)>f2(x－b)的解集为［－1，1］，则可解2 第10页 共11页 得b=532 1x48 (1)g(x)=x－2+ (2)b=4时，交点为(5，4)；b=0时，交点为(3，0) (3)不等式的解集为{x|4＜x＜9或x>6} 课前后备注 第11页 共11页 2