二次函数测试题

二次函数测试题

-

2023年2月10日发(作者：商务口语)

二次函数单元测试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.当-2≤x≦1,二次函数y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m值为（）

A.-

4

7

B.

3

或-

3

C.2或-

3

D.2或

3

或-

4

7

2.函数

22ymxxm

（

m

是常数）的图像与

x

轴的交点个数为（）

A.0个B．1个C．2个D．1个或2个

3.关于二次函数

2yaxbxc

的图像有下列命题：①当

0c

时，函数的图像经过原点；②当

0c

，且

函数的图像开口向下时，方程

20axbxc

必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是

24

4

acb

a



；④当

0b

时，函数的图像关于

y

轴对称．其中正确命题的个数是（）

A.1个B．2个C．3个D．4个

4.关于

x

的二次函数

22(81)8ymxmxm

的图像与

x

轴有交点，则

m

的范围是（）

A．

1

16

m

B．

1

16

m≥

且

0m

C．

1

16

m

D．

1

16

m

且

0m

5.下列二次函数中有一个函数的图像与

x

轴有两个不同的交点，这个函数是（）

A．2yxB．24yxC．2325yxxD．2351yxx

6.若二次函数2yaxc，当

x

取

1

x、

2

x（

12

xx）时，函数值相等，则当

x

取

12

xx时，函数值为

（）

A．acB．

ac

C．

c

D．

c

7.下列二次函数中有一个函数的图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（）

A．

1xy2—

B．24yxC．

1x2xy2—D．2351yxx

8.抛物线2321yxx的图象与坐标轴交点的个数是（）

A．没有交点B．只有一个交点

C．有且只有两个交点D．有且只有三个交点

9.函数2yaxbxc的图象如图所示，那么关于

x

的一元二次方程230axbxc的根的情况是（

）

A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根

C．有两个相等的实数根D．没有实数根

3

Ｏ

x

y

10..若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则

E（x，

122xx

）可以由E（x，

2x

）怎样平移得到？

A．向上平移１个单位B．向下平移１个单位

C．向左平移１个单位D．向右平移１个单位

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.抛物线2283yxx与

x

轴有个交点，因为其判别式24bac0，相应二次方

程23280xx的根的个数为．

12.关于

x

的方程25mxmxm有两个相等的实数根，则相应二次函数25ymxmxm与

x

轴必

然相交于点，此时

m

．

13.抛物线2(21)6yxmxm与

x

轴交于两点

1

(0)x，和

2

(0)x，，若

1212

49xxxx，要使抛物线经

过原点，应将它向右平移个单位．

14.如图所示，函数2(2)7(5)ykxxk的图像与

x

轴只有一个交点，则交点的横坐标

0

x

．

15.已知二次函数2

1

2

yxbxc，关于

x

的一元二次方程2

1

0

2

xbxc的两个实

根是1和5，则这个二次函数的解析式为

16.若函数y=（m﹣1）x2﹣4x+2m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为

17.若根式

1

22k

有意义，则双曲线y=

x

2-k2

与抛物线y=x2+2x+2－2k的交点在第象限.

18.将二次三项式x2+16x+100化成（x+p）2+q的形式应为

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

19..（7分）已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8），求函数解析式。

Ｏ

y

x

20.（8分）已知抛物线2

1

()

3

yxhk的顶点在抛物线2yx上，且抛物线在x轴上截得的线段长是

43，求h和k的值．

21.（8分）已知函数22yxmxm．

（1）求证：不论

m

为何实数，此二次函数的图像与

x

轴都有两个不同交点；

（2）若函数y有最小值

5

4

，求函数表达式．

22.（9分）已知二次函数2224yxmxm．

（1）求证：当0m时，二次函数的图像与

x

轴有两个不同交点；

（2）若这个函数的图像与

x

轴交点为A，B，顶点为C，且△ABC的面积为42，求此二次函数的函数

表达式

23.（10分）下图是二次函数2yaxbxc的图像，与

x

轴交于B，C两点，与y轴交于A点．

（1）根据图像确定

a

，b，

c

的符号，并说明理由；

（2）如果A点的坐标为(03)，，45ABC，60ACB，求这个二次函数的函数表达式．

24.（12分）已知抛物线

2

2

2

m

yxmx与抛物线

2

2

3

4

m

yxmx在直角坐标系中的位置如图所示，

其中一条与

x

轴交于A，B两点．

（1）试判断哪条抛物线经过A，B两点，并说明理由；

（2）若A，B两点到原点的距离AO，OB满足条件

112

3OBOA

，求经过A，B两点的这条抛物线的

函数式．

25.（12分）已知抛物线2yaxbxc与y轴交于C点，与

x

轴交于

1

(0)Ax，，

212

(0)()Bxxx，两点，

顶点M的纵坐标为4，若

1

x，

2

x是方程222(1)70xmxm的两根，且22

12

10xx．

（1）求A，B两点坐标；

（2）求抛物线表达式及点C坐标；

（3）在抛物线上是否存在着点P，使△PAB面积等于四边形ACMB面积的2倍，若存在，求出P点坐标；

若不存在，请说明理由．

Ａ

ＣＯ

Ｂx

y

ＡＢＯx

y

参考答案

一、选择题(每选对一题得3分，共30分)

1．C2．C3．D4．B5．D6．D7．B8．B9．C10．D

二、填空题(每填对一题得3分，共24分)

11．0<012.一

6

25

13.4或914.-27

15．

2

5

-x3-x

2

1

-y216．-1或1或217．218．368x2

三、解答题(7小题，共66分)

19．（7分）解：x2--xy2

20．





















4k

2-h

4k

2h

或

21．（1）略（2）13x-xy1-x-xy22或

22．（1）略（2）48xx2y48x-x2y22或

23．（1）a>0,b>0,c<0

(2)A(0,-3),B(-3,0)C(0,-3)

3-x1-3x

3

3

y2）（

24．(1)

4

m3

-mxxy

2

2

(2)设A（x

1

，0），B(x

2

，0)，则有

3

2

x

1

x

1

21



解得3-x2xy2

25.（1）A(-1,0),B(3,0)

（2）3-x2-xy2，C（0，-3）

（3）存在。P19,131P29,131，.

第22章二次函数单元测试题(A卷)

(考试时间：120分钟满分：120分)

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列函数不属于二次函数的是（）

A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2

C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x2

2．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）

A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）

3．若将函数y=3x2的图象向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的

解析式为（）

A．y=3（x﹣1）2﹣2B．y=3（x+1）2﹣2

C．y=3（x+1）2+2D．y=3（x﹣1）2﹣2

4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）

A．b2﹣4ac＞0B．a＞0C．c＞0D．

5．给出下列函数：①y=2x；②y=﹣2x+1；③y=（x＞0）；④y=x2（x＜﹣1）．其中，y随x

的增大而减小的函数是（）

A．①②B．①③C．②④D．②③④

6．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能

是（）

A．B．C．D．

7．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分的对应值如下表，则y＞0时，x的取值范围是（）

x﹣2﹣10123

y﹣40220﹣4

A．﹣1＜x＜2B．x＞2或x＜﹣1C．﹣1≤x≤2D．x≥2或x≤﹣1

8．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（）

A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点

9．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y

与x的函数关系式为（）

A．y=πx2﹣4B．y=π（2﹣x）2C．y=﹣（x2+4）D．y=﹣πx2+16π

10．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，

设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）

A．B．C．D．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于

点C（0，3），则二次函数的解析式是．

12．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值为．

13．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为．

14．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品

的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则

应降价元，最大利润为元．

15．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a

﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是．

第15题第16题

16．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的

关系是．则他将铅球推出的距离是m．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．已知抛物线y=4x2﹣11x﹣3．（6分）

（Ⅰ）求它的对称轴；

（Ⅱ）求它与x轴、y轴的交点坐标．

18．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．（5

分）

19．已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：（9分）

x…﹣101234…

y…1052125…

（1）求该二次函数的关系式；

（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

（3）若A（m，y

1

），B（m+1，y

2

）两点都在该函数的图象上，试比较y

1

与y

2

的大小．

20．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．

（1）求m的值和抛物线的解析式；（8分）

（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）

21．二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点

C在y轴正半轴上，且AB=OC．（8分）

（1）求C的坐标；

（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．

22．某产品每千克的成本价为20元，其销售价不低于成本价，当每千克售价为50元时，它

的日销售数量为100千克，如果每千克售价每降低（或增加）一元，日销售数量就增加

（或减少）10千克，设该产品每千克售价为x（元），日销售量为y（千克），日销售利

润为w（元）．（12分）

（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）写出w关于x的函数解析式及函数的定义域；

（3）若日销售量为300千克，请直接写出日销售利润的大小．

23．二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过

点A（1，0）和点B（0，1）（12分）．

（1）试求a，b所满足的关系式；

（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍

时，求a的值；

（3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请

说明理由．

24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的

顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取

点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．（12分）

（1）若点A的坐标是（﹣4，4）．

①求b，c的值；

②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；

（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件

的点A的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题

1、选C

2、解：∵y=2（x﹣1）2+3，

∴其顶点坐标是（1，3）．

故选A．

3、解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，那么新

抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），

可设新抛物线的解析式为y=3（x﹣h）2+k，代入得y=3（x+1）2﹣2．

故选B．

4、解：A、正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0；

B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0；

C、正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；

D、错误，∵抛物线的对称轴在x的正半轴上，∴﹣＞0．

故选D．

5、选D;6、选D

7、解：由列表可知，当x=﹣1或x=2时，y=0；

所以当﹣1＜x＜2时，y的值为正数．

故选A．

8、解：当x=0时y=1，当y=0时，x=1

∴抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点有两个．

选A

9、选D；10、B

二、填空题（每小题3分，共18分）

11、解：根据题意得，解得．

∴二次函数的解析式是y=x2﹣4x+3．

12、解：配方得：y=x2﹣4x+5=x2﹣4x+22+1=（x﹣2）2+1，

当选x=2时，二次函数y=x2﹣4x+5取得最小值为1．

13、解：把x=0代入得，y=﹣4，即交点坐标为（0，﹣4）．

14、解：设应降价x元，销售量为（20+x）个，

根据题意得利润y=（100﹣x）（20+x）﹣70（20+x）=﹣x2+10x+600=﹣（x﹣5）2+625，

故为了获得最大利润，则应降价5元，最大利润为625元．

15、②③．

16、解：当y=0时，﹣x2+x+=0，

解之得x

1

=10，x

2

=﹣2（不合题意，舍去），

所以推铅球的距离是10米．

三、解答题（共8小题，共72分）

17、解：（I）由已知，a=4，b=﹣11，得，

∴该抛物线的对称轴是x=；

（II）令y=0，得4x2﹣11x﹣3=0，解得x

1

=3，x

2

=﹣，

∴该抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣，0），

令x=0，得y=﹣3，

∴，解得，

∴该二次函数关系式为y=x2﹣4x+5；

（2）∵y=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1，

∴当x=2时，y有最小值，最小值是1，

（3）∵A（m，y

1

），B（m+1，y

2

）两点都在函数y=x2﹣4x+5的图象上，

所以，y

1

=m2﹣4m+5，

y

2

=（m+1）2﹣4（m+1）+5=m2﹣2m+2，

y

2

﹣y

1

=（m2﹣2m+2）﹣（m2﹣4m+5）=2m﹣3，

∴①当2m﹣3＜0，即m＜时，y

1

＞y

2

；

②当2m﹣3=0，即m=时，y

1

=y

2

；

③当2m﹣3＞0，即m＞时，y

1

＜y

2

．

20、解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：

0=1+m，，

∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，

所以y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；

（2）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3．

∴所求的函数解析式为y=﹣x2+x+5

∵a=﹣＜0

∴当x=﹣=时，y有最大值==；

解法2：

设图象经过A、C、B二点的二次函数的解析式为y=a（x﹣4）（x+1）

∵点C（0，5）在图象上，

∴把C坐标代入得：5=a（0﹣4）（0+1），解得：a=﹣，

∴所求的二次函数解析式为y=﹣（x﹣4）（x+1）

∵点A，B的坐标分别是点A（﹣1，0），B（4，0），

∴线段AB的中点坐标为（，0），即抛物线的对称轴为直线x=

∵a=﹣＜0

将x=30代入w=（600﹣10x）（x﹣20）=3000．

23、解：（1）将A（1，0），B（0，l）代入y=ax2+bx+c，

得：，

可得：a+b=﹣1（2分）

（2）∵a+b=﹣1，

∴b=﹣a﹣1代入函数的解析式得到：y=ax2﹣（a+1）x+1，

顶点M的纵坐标为，

因为，

由同底可知：，（3分）

整理得：a2+3a+1=0，

解得：（4分）

由图象可知：a＜0，

因为抛物线过点（0，1），顶点M在第二象限，其对称轴x=，

∴﹣1＜a＜0，

∴舍去，

则（1﹣）2=（1+）+2，

解得：a=﹣1，由﹣1＜a＜0，不合题意．

所以不存在．（9分）

综上所述：不存在．（10分）

24、解：（1）①∵AC∥x轴，A点坐标为（﹣4，4）．

∴点C的坐标是（0，4）

把A、C两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c得，

，

解得；

②四边形AOBD是平行四边形；

理由如下：

由①得抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+4，

∴顶点D的坐标为（﹣2，8），

过D点作DE⊥AB于点E，

则DE=OC=4，AE=2，

∵AC=4，

∴BC=AC=2，

∴AE=BC．

∴=，

又∵AB=AC+BC=3BC，

∴OB=BC，

∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC=BC，AC=OC，

∵C点是抛物线与y轴交点，

∴OC=c，

∴A点坐标为（﹣c，c），

∴顶点横坐标=c，b=c，

∵将A点代入可得c=﹣（﹣c）2+c•c+c，

∴横坐标为±c，纵坐标为c即可，令c=2，

∴A点坐标可以为（2，2）或者（﹣2，2）．