z变换公式表

z变换公式表

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2023年2月10日发(作者：呼吸音)

时域信号

弧频率表示的

傅里叶变换

注释

1线性

2时域平移

3频域平移,变换2的频域对应

4

如果值较大，则会收缩

到原点附近，而会扩

散并变得扁平.当|a|趋向

无穷时，成为Delta函数。

5

傅里叶变换的二元性性质。通过

交换时域变量和频域变量

得到.

6傅里叶变换的微分性质

7变换6的频域对应

8

表示和的卷积—这

就是卷积定理

9矩形脉冲和归一化的sinc函数

10

变换10的频域对应。矩形函数是理

想的低通滤波器，sinc函数是这类

滤波器对反因果冲击的响应。

11tri是三角形函数

12变换12的频域对应

13

高斯函数exp(−αt2)的傅里叶变

换是他本身.只有当Re(α)>0时，

这是可积的。

14

15

16a>0

18

δ(ω)代表狄拉克δ函数分布.

这个变换展示了狄拉克δ函数的重

要性：该函数是常函数的傅立叶变换

19变换23的频域对应

20由变换3和24得到.

21

由变换1和25得到，应用了欧拉公

式:cos(at)=(eiat+e−iat)/2.

22由变换1和25得到

23

这里,n是一个自然数.δ(n)(ω)

是狄拉克δ函数分布的n阶微分。

这个变换是根据变换7和24得到的。

将此变换与1结合使用，我们可以变

换所有多项式。

24

此处sgn(ω)为符号函数；注意此变

换与变换7和24是一致的.

25变换29的推广.

26变换29的频域对应.

17变换本身就是一个公式

27

此处u(t)是单位阶跃函数;此变换

根据变换1和31得到.

28u(t)是单位阶跃函数，且a>0.

34

狄拉克梳状函数——有助于解释或

理解从连续到离散时间的转变.

附录A拉普拉斯变换及反变换

1.拉氏变换的基本性质

附表A-1拉氏变换的基本性质

1

线性定理

齐次性

)()]([saFtafL

叠加性

)()()]()([

2121

sFsFtftfL

2微分定理一般形式



























1

1

)1(

)1(

1

2

2

2

)(

)(

)0()(

)(

0)0()(]

)(

[

)0()(]

)(

[

k

k

k

k

n

k

knn

n

n

dt

tfd

tf

fssFs

dt

tfd

L

fsfsFs

dt

tfd

L

fssF

dt

tdf

L



）（

初始条件为零时

)(]

)(

[sFs

dt

tfd

Ln

n

n



3积分定理

一般形式

0

2

00

2

22

0

1

1

[()]

()

[()]

[()][()()]

()

[()()]

()1

[()()][()()]

t

tt

n

n

nn

t

nnk

k

ftdt

Fs

Lftdt

ss

ftdtftdt

Fs

Lftdt

sss

Fs

Lftdtftdt

ss





























共个共k个

初始条件为零时



n

n

n

s

sF

dttfL

)(

]))(([

个共



4延迟定理（或称t域平移定理）

)()](1)([sFeTtTtfLTs

5衰减定理（或称

s

域平移定理）

)(])([asFetfLat

6终值定理

)(lim)(lim

0

ssFtf

st



7初值定理

)(lim)(lim

0

ssFtf

st



8卷积定理

121212

00

[()()][()()]()()ttLftfdLftftdFsFs

2．常用函数的拉氏变换和z变换表

附表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表

序

号

拉氏变换()Es时间函数()etZ变换()Es

11δ(t)1

2

Tse1

1







0

)()(

n

T

nTtt

1z

z

3

s

1

)(1t

1z

z

4

2

1

s

t

2)1(z

Tz

5

3

1

s

2

2t

3

2

)1(2

)1(





z

zzT

6

1

1

ns!n

tn

)(

!

)1(

lim

0

aTn

nn

aez

z

an





7

as

1

ate

aTez

z



82)(

1

as

atte

2)(aT

aT

ez

Tze







9

)(ass

a



ate1

))(1(

)1(

aT

aT

ezz

ze









10

))((bsas

ab





btatee

bTaTez

z

ez

z







11

22



s

tsin

2

sin

2cos1

zT

zzT





12

22s

s

tcos

2

(cos)

2cos1

zzT

zzT









1322)(



as

teatsin

22

sin

2cos

aT

aTaT

zeT

zzeTe









1422)(



as

as

teatcos

2

22

cos

2cos

aT

aTaT

zzeT

zzeTe













15

aTsln)/1(

1



Tta/

az

z



3．用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(sF是

s

的

有理真分式，即

01

1

1

01

1

1

)(

)(

)(

asasasa

bsbsbsb

sA

sB

sF

n

n

n

n

m

m

m

m



















（

mn

）

式中，系数

nn

aaaa,,...,,

110

和

011

,,,,

mm

bbbb



都是实常数；nm,是正整数。按代数定理可将)(sF展开为部分分

式。分以下两种情况讨论。

（1）0)(sA无重根：这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式，即























n

i

i

i

n

n

i

i

ss

c

ss

c

ss

c

ss

c

ss

c

sF

1

2

2

1

1)(（F-1）

式中，

n

sss,,,

21

是特征方程A(s)＝0的根；

i

c为待定常数，称为()Fs在

i

s处的留数，可按下列两式计算：

lim()()

i

ii

ss

cssFs



（F-2）

或

i

ss

isA

sB

c







)(

)(

（F-3）

式中，)(sA



为)(sA对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为























n

i

i

i

ss

c

LsFLtf

1

11)()(＝

1

i

n

st

i

i

ce



(F-4)

（2）0)(sA有重根：设0)(sA有r重根

1

s，F(s)可写为



)()()(

)(

11nr

rssssss

sB

sF









=

n

n

i

i

r

r

r

r

r

r

ss

c

ss

c

ss

c

ss

c

ss

c

ss

c































1

1

1

1

1

1

1

1

)()()(

式中，

1

s为F(s)的r重根，

1r

s，…，

n

s为F(s)的

nr

个单根；其中，

1r

c，…，

n

c仍按式(F-2)或式(F-3)计算，

r

c，

1r

c，…，

1

c则按下式计算：

)()(lim

1

1

sFsscr

ss

r





11

lim[()()]

i

r

r

ss

d

cssFs

ds





)()(lim

!

1

1

)(

)(

1

sFss

ds

d

j

cr

j

j

ss

jr







(F-5)



)()(lim

)!1(

1

1

)1(

)1(

1

1

sFss

ds

d

r

cr

r

r

ss













原函数)(tf为

)()(1sFLtf















































n

n

i

i

r

r

r

r

r

r

ss

c

ss

c

ss

c

ss

c

ss

c

ss

c

L

1

1

1

1

1

1

1

1

1

)(

)()(

ts

n

ri

i

ts

r

r

r

r

iecectct

r

c

t

r

c

































1

12

2

1

1

1)!2()!1(

（F-6）