2024年2月16日发(作者：)
三角函数与解三角形
一、角的有关概念
1. 角的概念的推广
(1)
定义：角可以看成平面内的一条射线绕其竝从一个位置旋转到另一个位置所成的图 形.
」按旋转方向不同分为正角、负角和零角.
(2)
分类［按终边位置不同分为象限角和轴线角.
7(3)
终边相同的角：所冇与角a终边相同的角，连同角u在内，
可构成_个集合S={〃|〃=a + &・360。，圧Z}.
2. 弧度制的定义和公式
(1)
定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad.
⑵公式
角a的弧度数公式
角度与弧度的换算
弧长公式
扇形面积公式
3. 象限角与轴线角的表示:
14—厂(弧长用/表小)
①『-而说；②1 rad—(=)
弧长l=ar
1 1
9
S=K=^|a|
广
(1)象限角的表示:
① 第一象限角的表示:
② 第二象限角的表示:
③ 第三象限角的表示:
④ 第四象限角的表示:
(2)
象限角的表示:
① 终边落x轴非负半轴上的角的表示： _________________________________
② 终边落x轴非正半轴上的角的表示： _________________________________
③ 终边落x轴上的角的表示： _________________________________ ;
④ 终边落y轴非负半轴上的角的表示： _________________________________
⑤ 终边落y轴非正半轴上的角的表示： _________________________________
⑥ 终边落y轴上的角的表示： _________________________________ ;
⑦ 终边落在坐标轴上的角的表示： ________________________________
o
二、任意角的三角函数
注：1.三角函数的定义屮，当角G终边上的点P(兀，y)是单位圆上的点时，有sin«=y,
cos
a=x> (ana=¥，但若角a终边上的点P(x, y)不是单位圆上的点时， 图屮圆的半径为
/-0P=
Jx + y ,则
sin
a= cos
a=~,t tan
a=
22! t X
2.
已知三角函数值的符号确定角的终边位置时，不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
3.
在解简单的三角方程或三角不等式时，单位圆中的三角函数线是一个很好的工具.
2.
三角公式
(1)
.同角三角函数的基本关系
① 平方关系：sin2a+cos2a = 1
；
② 商数关系：tanct=2^・
注：1・在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
2•注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
3.
弦.
弦切互化法：主要利用公式tan
成正、余4.和积转换法：利用(sin &土cos &)2=l±2sin 0cos 0的关系进行变形、转化.
(2)
.三角函数的诱导公式
① 把ct+2刼伙WZ)、±兀土a、一a的三角函数化成a的三角函数时，遵循的原则是“函数 名不
变，符号看象限”；
② 把土-±a、± — ±a的三角函数化成&的三角函数时，遵循的原则是“函数名改变，符
2 2
号看象限”；
③ 一般的把——±Q伙WZ）的三角函数化成G的三角函数时，遵循的原则是“奇变偶不变，符
Ljr
2
号看象限”
（3〉•两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin（么切）=sinacos/^ 土 costzsin"；
cos（aT 0 ）=cosacos
B ±sinasin/?；
tan a土tan" tanW）=1Ttanatan/? •
（4）・二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2a=2sinacosa •
cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a — 1 = 1—2sin2a.
、 2tan
a
lan2（z= " ~•
1—tan
a
<5).有关公式的逆用、变形
①
tan a + tan
p= tan(a±/?)( ITtan 7 1+cos 2a 、 1—cos la ② cos・@= ----------- , sin a= ----- --- 、 2 2 ③ 1+sin 2a=(sin a+cos a)29 1—sin 2a=(sin a—cos a)2, sin a±cos a=^/2sin （6）・函数f（a）=asin a+bcos a（a> /?为常数），可以化为 a1+b2sin（a+中住m 或弘）=寸庄匚产・ cos（a—卩）（其中tan （p f- 注：三角恒等变换的常用方法与技巧 1. 变角：通过对角的拆分尽可能化为同角、特殊角、己知角的和与差，角的变换是三角恒 等变换的核心, 如〃=(a+0)—弘 2 0=@+0)—(a—0), a = 2xf,^ = (^^)-| 等, 这种手法通常叫“配凑”. 2. 变名：通过变换尽可能减少函数种类、降低次数、减少项数，其手法通常有“切化 弦”、“升幕与降幕”等. 3. 变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更简化、更贴近某个公式或某个期待的目 标，其手法通常有：“常值代换”（如1根据需要可换成tan兰.sin2 674-cos2 tz，丄根 4 2 71 71 据需要可换成Si陀或C。込等)、“逆用或变形用公式”、“通分与约分”、“分解与 组合”、"配方与平方”等. 3.正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y=sinx y=cosx y=tan x 牡 2x4 图彖 定义域 R [T，1] 2兀 奇函数 R gz} 值域 周期性 奇偶性 [T，1] 2jt 偶函数 R 兀 奇函数 仏_务刼+功 递增区间 兀 71 伙WZ) [2刼一兀,2换]伙ez) 2kn~2^ 2刼 + ㊁ 伙WZ) 递减区间 对称中心 对称轴 2紅+彳，2刼+¥ (MZ) [2fac, 2ht+兀]伙丘 Z) 仏+号，0)伙ez) 无 俘,0)伙WZ) 伽，0)(胆Z) 兀=换+号伙WZ) x=kn 伙 GZ) 无 TT 当 x = 2k7t +—yk wZ 时 2 y = sin x取最大值1 最值 当x = 2k兀——,keZ时 当兀=2R龙,keZ时 y = TT cos x取最大值1 当x=2k无 2 兀+兀,kwZ时 y = cos x取最小值・1 y = sinx取最小值-1 4.函数y = Asin(0r + 0)的图象与性质 ⑴函数y=Asin(ft>x+e)的物理意义 当函数y=Asin(ex+°)(q〉O, e>0), 2兀 1 [0, + °°)表示一个振动量时，A叫做振幅, 卩=诗叫做周期，戶訓做频率，cox+(p叫做相位，0叫做初相. (2)函数丿=/1"11(亦+。)图象的“五点法”作图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与兀轴相交的三个点(平衡 位置点），作图的一般步骤为： ① 定点：如下表所示（由cox+（p的取值分别确定相应的x与y） 兀 X 71 — (/) 3 3 71 co 2兀 爭 CD 3 ujx+(p y=Asin(ojx+(p) 3 3兀 T -A 0 0 71 2 A 7C 0 271 0 ② 作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y=Asin（如+卩） 在一个周期内的图象. ③ 扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y=Asin@x+0）在R上的图象. |画出y=sin兀的图彖 —步骤］-*画出y=sinx的图象 向左（右）平移J丽个单位长度 横坐标变为/原来的+倍 （3）函数j=sin x的图象经变换得到y=Asin@x+0）的图象的两种途径 得至ijy=sin （x+y）的图象 横坐标变为I原来的亦倍 步骤2 _得至ljy=sin ex的图象 向左（右）平移3为个单位长度 得至Uy=sin（69x+e）的图象—步骤3 _ 得到y=sin （cox+（p） 的图象 纵坐标变为原来I的4倍 得至lJy=Asin （ex+卩）的图象 — 步骤4 — 得至lJy=Asin （ex+卩）的图象 （4）由图象求解析式j=Asin（tox+^）+B（A>0,他>0）的一般步骤： ① 一般由函数的最值确定A、B的值，即A =儿滅-儿山,B =儿兀*儿^ ； 2 2 2/r ② 由函数的周期來确定0的值，即T =—； co ③ 由函数图彖最高点（或最低点）的坐标得到关于0的方程，再由（p的范围得卩的值， 也可以由起始点的横坐标得卩的值，若利用图象与y = B的交点即平衡位置点的坐 标列方程解卩时，要注意这个点所在区间的单调性，以排除不符合条件的解。 ⑸求函数y=Asin（（ox+（p） +B的单调区间、最值、对称轴、对称中心等问题时要注意 整体思想的运用，这里主要是将OJX+9看成整体，对照j=sin x的相应性质分析完成 三、解三角形 1. 正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 ?a 内容 b c a=b+c—2〃ccos A ； b=c+a~2cacos B； c2=a2+b2—2abcos C fe2+c2 — / cos 4— 2bc ; c2+a2—ft2 C0S B222222sin A sin B sin C v （尺为△ABC外接圆半径） a=2Rsin A,方=2Rsin Bf c=2Rsin C； 变形形式 （边角转化） a b c ~ sin A—sin B—QR，sin C—鸟尺； 2ca ; a • b • c=sin A ： sin B ： sin C / +宀2 cos C- lab 注：当已知两边及其中一边的对角时，运用正弦定理解三角形的可能情况如下: A为锐角 4为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 AB— B A a = bsin A bsin A 一解 两解 X 3 fy 丿 a f 八B aNb 一解 a>b 一解 2 •三角形中常用的面积公式 (1) S=| ah(h表示边a上的高); (2) S=£bcsin A=lacsin B=kabsn C= L L L (R 表示△ ABC 外接圆的半径); 4R ⑶S=*r(a +方+ c) (r表示△4BC内切圆的半径)； (4)S= —(p_b)—(p_c),其中 p=^(a+b+c). 3 •三角形中常用的性质 (1)在△ABC 中，A>B^a>b^sn A>sin cos A < cos B ； ⑵sin(A + B) = sin C ,cos(A + B) = -cosC ； .A + B C A + B . C (3) sin -------- = cos —, cos ---------- = sin —o 2 2 2 2 2016年高考数学文试题分类汇编 三角函数 KC2016年全国I卷高考)'ABC的内角A.B.C的对边分别为a、b、c.已知d = JL c = 2 , cos A =—,贝I」b= 3 (A) (B)羽(C) 2 (D) 3 71 1 2、(2016年全国T卷高考)将函数严2sin(2龙+号的图像向右平移才个周期后，所得图像对应 的函数为 (A) y=2sin(2x+子)(B))=2sin(2兀+申)(C) j=2sin(2x-^) (D) y=2sin(2r-申) ) 3、(2016年全国TT卷高考)函数y二Asin( (A) y = 2sin(2x ——) 6 TT (B) y = 2sin(2x ——) 3 TT (D) y = 2sin(2x+—) 7T 4、 (2016年全国II卷高考)函数f(x) = cos2x + 6cos(— -x)的最大值为( (A) 4 (B) 5 ,则 cos2&=( (C) y = 2sin(2x+—) ) (C) 6 3 ) 4 (D) 7 5、 (2016 年全国 III 卷高考)若 tan 4 _j_ J_ 6、(2016年全国III卷高考)在厶ABC小, (A) 吩，眈边上的高等于詐C,则sin 4 5 (B) 5 (C) 5 (D) 5 (A) (D)辔 二、填空题 71 3 TI 7^ (2016年全国T卷高考)已知&是第四象限角，且sin(^+ —)=—,则tan(^- —)= __________ . 4 5 4 4 8、(2016年全国II卷高考)ZVIBC的内角A, B, C的对边分别为°, b, c,若cosA = -, COS C = — , a=，则 二 13 9、（2016年全国III卷高考）函数y = sinx-V3cosx的图像可rh函数y = 2sinx的图像 至少向右平移 __________________ 个单位长度得到. 2015年全国高考数学文科试题汇编 三角函数与解三角形 1. [2015 高考安徽，文 12】在 MBC 中，AB = 46 , AC= __________________ ・ = ZB = 45°,则 2. [2015 高考安徽,文 16】已知函数 /（x） = （sinx+cosx）2 4-cos2x （I ）求/（x）最小正周期； （II）求/（X）在区间l0,y]±的最大值和最小值. 3. 【2015高考新课标1,文17]（本小题满分12分）已知d",c分别是AABC内 角 A B,C 的对边，sin2B = 2sin/4sinC. (I)若a = b ,求cosB; (II)若 = 90，且a = y/l,求MBC的面积. 2014年全国高考数学文科试题汇编 三角函数 选择填空题 1. [2014-全国新课标卷12]若urn。>0,贝9（ ） ） A. sin a >0 B・ cos Q >0 C. sin 2 o >0 D. cos 2 a >0 2. [2014-全国卷2]己知角a的终边经过点（一4, 3）,则cos a=（ 4 3 A-5 B5 C* ~5 D・-5 3 4 3. [2014-全国新课标卷 I 7]在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|, ®y=cos^2x+, 勺中，最小止周期为n的所有函数为（） A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 4. [2014•安徽卷7]若将函数/U） = sin2x+cos2兀的图像向右平移卩个单位，所得 图像关于y轴对称，则p的最小正值是（） JI JI A.g B.y C.込- 3 n 3 兀 D_ 5・[2014-新课标全国卷II 14]函数fix） = sin（x +（p）~ 2sin^cos %的最大值为 6. [2014-全国卷14]函数y=cos lr+2sin x的最大值为 ____________________ 7. ［2014-安徽卷］设△ABC的内角A, B, C所对边的长分别是a, b, c,且b=3, △ABC的面积为也.求cos A与d的值. 2013年高考文科数学试题分类汇编 三角函数 一、选择题 1 . (2013年高考大纲卷(文2))已知Q是第二象限sina = —，则cosa = 13 12 5 5 12 A. ------- B. ------- C. — D.— 13 13 13 13 2 . (2013年高考课标I卷(文9))函数f(x) = (1 - cos x) sin x在［-兀,初的图像大致为 3. (2013年高考课标II卷(文4)) ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知b = 2, (r> 7T 7T B = -, C = -,则AABC的面积为( 6 4 ) (A) 2石+ 2 (B)巧+ 1 (C) 2>/3-2 (D) V3-1 ) 2 TC 4. (2013 年高考课标 II 卷(文 6))已知 sin2a= —,则 cos2(6r + —)=( (A) (B) 43 (A) 一 (B) 一 (D) 一 6 3 3 5. （2013年高考大纲（文9））若函数二 sin(亦+“)(0> （））的部分图像如图，则砖 卷 y二 1 z 1 (C)- 2 2 A. 5 B・4 C. 3 D. 2 y v / t y i /l -% / * 6. （2013年高考安徽（文））设AABC的内角AJ3,C所对边的长分别为cibc，若 A. 71 D・ 571 7. （2013年高考课标丨卷（文10）） 已知锐角ABC的内角人5C的对边分别为 b + c = 2a,3sin A = 5sinB,则角 C二( ) a,b,c, 23cos2 A + cos2A = 0, a = l, c = 6，则/?= （ ） D. 5 A. 10 二、 填空题 B. 9 C. 8 8. （2013年高考课标II卷（文16））函数y = cos（2x +（p）（-7T <（p<7i）的图像向右平移彳个 71 单位后，与函数y = sin（2x + —）的图像重合，贝ij|°|= ______ • 9. （2013年高考课标I卷（文16））设当兀二〃时，函数/（x） = sinx-2cosx取得最大值，则 COS0= 三、 解答题 •; 10 . （ 2013年高考大纲卷（文））设AABC的内角A,B,C的对边分别为 a.b.c, (a + b + c)(a — b + c) = ac ・ (II)若sin Asin C = ⑴求，求C。 TT 11. (2013 年高考安徽(文))设函数 f(x) = sinx + sin(x+—). (I )求f(x)的最小值,并求使/(X)取得最小值的X的集合； (II)不画图，说'明函数y = /(x)的图像可由y = sinX的图象经过怎样的变化得到。 12、(2016年北京高考)己知函数f (x) =2sin cox cos cox+ cos 2cox ( (I)求®的值；(II)求/(x)的单调递增区间. 13. [2015高考北京，文15】(本小题满分13分)已知函数/(^) = sinx-2V3sin2|. ”，年]上的最小值. (I)求于(兀)的最小正周期;(II)求/(X)在区间 14.【2015高考广东，文16】(本小题满分12分)已知tancr = 2. (1)求+ 的值;(2)求 sin < 4丿 sin2 a + sin a cos a 一cos 2a 一 1 的值. 15. (2013年高考山东卷(文))设函数/(x) = —2 -A/3 sin2 69x-sin69xcos69% 7T .ft y = f(x)的图象的一个对称屮心到最近的对称轴的距离为一, 4 (I)求血的值；(1【)求/(兀)在区间［^，―］上的最大值和最小值。3兀 2 (e > 0), 