切应力

切应力

祝寿词-刘雅娟

2023年3月20日发(作者：站着上北大)

1/17

第四章弹性杆横截面上的切应力分析

——教学方案

学

时

6

基

本

内

容

1、圆轴扭转时横截面上的切应力

圆轴扭转变形特征，变形协调方程，物理关系，静力学关系。

2、非圆截面杆扭转时横截面上的切应力，截面翘曲，切应力公式。

教

学

目

的

1、了解外力偶矩与功率、转速间的关系。

2、掌握圆轴扭转时横截面上的切应力公式及其应用。

3、了解矩形截面杆扭转时截面上的应力分布规律。

4、了解矩形截面梁、工字形截面梁的弯曲切应力的分布规律。掌握

最大弯曲切应力的计算。

重

点、

难

点

重点：圆轴扭转时横截面切应力公式的建立及其分布规律。

难点：矩形截面梁弯曲切应力公式的推导。

教

学

方

法

用简单模型教具演示圆轴扭转变形的平面假定。

课外作业4，5，9，11

第四章弹性杆横截面上的切应力分析

对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有扭矩(M

x

)或剪力(F

Qy

或F

Qz

)

时，与这些内力分量相对应的分布内力，其作用面与横截面重合。这时分布内力在一点处的

集度，即为切应力。

2/17

分析与扭矩和剪力对应的切应力的方法不完全相同。对于扭矩存在的情形，依然借助于

平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力分析相似。对于剪力存在的情形，在一定的前

提下，则仅借助于平衡方程。

本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁杆件的弯曲切应力分析。

§4-1圆轴扭转时横截面上的切应力

工程上将传递功率的构件称为轴，且大多数情形下均为圆轴。当圆轴承受绕轴线转动的

外扭转力偶作用时(图4-1)，其横截面上将只有扭矩一个内力分量，轴受扭时，其上的外扭

转力偶矩M

e

（单位为Nm）与轴传递的功率P（单位为kW）和轴的转速n（单位为r/min）

有如下关系：







min/

.

9549

r

kW

mN

en

P

M（4-1）

不难看出，受扭后，轴将产生扭转变形，如图4-2b所示。圆轴上的每个微元(例如图

4-2a中的ABCD)的直角均发生变化，这种直角的改变量即为切应变，如图4-2c所示。这表

明，圆轴横截面和纵截面上都将出现切应力(图中AB和CD边对应着横截面；AC和BD边

则对应着纵截面)，分别用τ和



表示。应用平衡关系不难证明：

3/17





（4-2）

这一关系称为切应力互等定理或切应力成对定理。

1.平面假设及变形几何关系变形协调方程

如图4-3a所示受扭圆轴，与薄圆筒相似，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面

分成一个个小方格，可以观察到受扭后表面变形有以下规律：

(1)各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变；

(2)由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度，认为仍为直线；因而各小方格

变形后成为菱形。

平面假设：变形前横截面为圆形平面，变形

后仍为圆形平面，只是各截面绕轴线相对“刚性

地”转了一个角度。从图4-3a取出图4-3b所示微

段dx,其中两截面pp,qq相对转动了扭转角d,

纵线ab倾斜小角度



成为ab’，而在半径



(od)

处的纵线cd根据平面假设，转过d后成为cd’,

其相应倾角为



（见图4-3c）。由于是小变形，

从图4-3c可知：



ddxrdd'



。于是

dx

d





（4-3）

对于半径为R的圆轴表面（见图4-3b），则为

dx

d

R



（4-4）

应用反对称性和反证法也可以从理论上证明：圆轴受扭后,其横截面依然保持平面,其上

的各点只能在同一平面内转动，并且，受扭后圆轴横截面只发生刚性转动。通过扭转变形分

析仍可以得到式（4-3），该式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的切应变与该点至截

面中心之间的距离成正比。式(4-3)即为圆轴扭转时的变形协调方程。

2.物性关系剪切虎克定律

若在弹性范围内加载，即切应力小于某一极限值时，

对于大多数各向同性材料，切应力与切应变之间存在线性

关系，如图4-4所示。于是，有

G(4-5)

上式即为剪切虎克定律。

图4-3

图4-4

4/17

3.静力学方程

将式(4-3)代入式(4-4)，到







dx

d

G)(（4-6）

这表明，横截面上各点的切应力与点到截面中心的距离成正比，即切应力沿截面的半径呈线

性分布（如图4-5，6），方向如图4-6a所示。

作用在横截面上的切应力形成一分布力系，这一力系向截面中心简化的结果为一力偶，

其力偶矩即为该截面上的扭矩。于是有

x

A

MdA

（4-7）

此即静力学方程。将式(4-6)代入（4-7）后，得到

P

x

GI

M

dx

d





（4-8）

其中，



A

P

dAI2（4-9）

为圆截面对其中心的极惯性矩。式（4-8）中的

P

GI称为

圆轴的扭转刚度。

4.切应力表达式

将式(4-8)代人式(4-6)，得到

P

x

I

M





（4-10）

此即圆轴扭转时横截面上任意点的切应力表达式，其中M

x

由平衡条件确定。I

P

由式(4-9)

积分求得(参见图4-6b中微元面积的取法)。对于直径为d的实心圆轴：

图4-5

5/17

32

4d

I

p



（4-11）

对于内、外直径分别为d、D的空心圆轴

Dd

d

I

p

/),1(

32

4

4





（4-12）

从图4-5，6a中不难看出，最大切应力发生在横截面边缘上各点，其值由下式确定：

p

x

W

M



max

(4-13)

其中，

max



P

p

I

W（4-14）

称为圆截面的扭转截面系数。对于实心圆截面和空心圆截面，分别有

16

3d

W

p



（4-15）

)1(

16

4

3







d

W

p

（4-16）

5.端部加载方式的影响

以上讨论中忽略了轴端外扭转力偶矩的施加方式(是集中力偶还是位于端截面内的分布

力偶；是均匀分布的分布力偶，还是与横截面上切应力分布相似的分布力系)。为了使轴两

端之间所有横截面都保持平面并只产生刚性转动，外扭转力偶的施加方式应使两端面保持平

面并只产生刚性转动。这种加载方式可以通过将外扭转力偶矩施加在与轴端固结的刚性板上

而实现，如图4一7所示。在这样的加载方式下，前面所导出的公式可应用于轴全长的所有

截面；否则，根据圣维南原理只适用于离端部稍远处的截面。

6.应用举例

例题4-1实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传递功率，如图4-8所示。

已知轴的转速n=100r/min，传递的功率P=7kW。若要求二者横截面上的最大切应力均等于

40Mpa，且已知空心圆轴的内、外径之比α=0.5，试确定实心轴的直径和空心轴的外径。

图4-7圆轴端部施加力偶的刚性板

(a)(b)

6/17

解：由于二者的转速和所传递的功率均相等，故二者承受相同的外扭转力偶矩，横截面

上的扭矩也因而相等。根据







min/

.

9549

r

kW

mN

en

P

M

求得

mNMM

ex

2.716100/5.79549

设实心轴的直径为d

1

，空心轴的内、外径分别为d

2

和D

2

。对于实心轴，根据

MPa

d

M

W

M

x

P

x4

16

3

1

1

max







求得

mmmd45045.0

1040

2.71616

3

6

1











对于空心轴，根据

MPa

D

M

W

M

x

P

x40

)1(

16

43

2

2

max











算得

mmmD46046.0

1040)5.01(

2.71616

3

64

2











mmDd235.0

22



二者的横截面面积之比为

28.1

5.01

1

1046

1045

12

2

3

3

22

2

2

1

2

1＝



































D

d

A

A

可见，如果轴的长度相同，在最大切应力相同的情形下，实心轴所用材料要比空心轴多。

例题4-2图4-9所示传动机构中，功率从轮B输入，通过锥形齿轮将其一半传递给铅

垂C轴，另一半传递给H水平轴。已知输入功率P

1

＝14kw，水平轴(E和H)转速

图4-8

7/17

n

1

=n

2

=120r/min；锥齿轮A和D的齿数分别为Z

1

=36，Z

3

=12；各轴的直径分别为d

1

=70mm，

d

2

=50mm，d

3

=35mm，试确定各轴横截面上的最大切应力。

解：1.各轴所承受的扭矩：

各轴所传递的功率分别为

kWPPPkWP72,14

1321



转速分别为

min120

21

rnn

min/360

12

36

120

3

1

13

r

z

z

nn

据此，算得各轴承受的扭矩：

mNMM

ex

1114

120

14

9549

11

mNMM

ex

557

120

7

9549

22

mNMM

ex

7.185

360

7

9549

33

2、计算最大切应力：

E、H、C轴横截面上的最大切应力分别为

MPaPa

W

M

E

P

x54.161054.16

1070

111416

)(6

93

1

1

max













MPaPa

W

M

H

P

x69.221069.22

1050

55716

)(6

93

2

2

max













MPaPa

W

M

C

P

x98.211098.21

1035

7.18516

)(6

93

3

3

max













§4-2非圆截面杆扭转时横截面上的切应力

1.截面翘曲——非圆截面杆扭转时的变形特征

由于非圆截面杆不具有轴对称性质，故当杆的横截面转过一角度时，位于固定位置的观

察者所看到的截面形状是不同的。因此，上一节关于横截面保持平面的结论将不再成立。

试验结果表明：非圆(正方形、矩形、三角形、椭圆形等)截面杆扭转时，横截面外周线

将改变原来的形状，并且不再位于同一平面内。由此推定，杆横截面将不再保持平面，而

发生翘曲。图4-10a中所示为一矩形截面杆受扭后发生翘曲的情形。

由于翘曲，非圆截面杆扭转时横截面上的切应力将与圆截面杆有很大差异。

3

图4-9

8/17

2.根据平衡得到重要结论

考察图4-10a中所示的受扭矩形截面杆上位于角点的微元(图4-10b)。假定微元各面

上的切应力如图4-10c中所示。由于垂直于y、z坐标轴的杆表面均为自由表面(无外力作用)，

故微元上与之对应的面上的切应力均为零，即

0

zxzyyxyz



根据切应力成对定理，角点微元垂直于x轴的面(对应于杆横截面)上，与上述切应力互等的

切应力也必然为零，即

0

xzxy



采用类似方法，读者不难证明，杆件横截面上沿周边各点的切应力必与周边相切。于是，根

据平衡分析，得到下列重要结论：

●非圆截面杆扭转时，横截面上周边各点的切应力沿着周边切线方向。

●有凸角的多边形截面杆，横截面上凸角点处的切应力等于零。

3.矩形截面杆的扭转问题

图4-10

(a)(b)

(c)

(c)

图4-11

9/17

对于受扭转的矩形截面杆件，如图4-11a所示，杆件受扭转力偶作用发生变形，变形后

其横截面将不再保持平面，而发生“翘曲”（图4-11b）。

扭转时，若各横截面翘曲是自由的，不受约束，此时相邻横截面的翘曲处处相同，杆件

轴向纤维的长度无变化，因而横截面上，只有切应力没有正应力，这种扭转称为自由扭转。

此时横截面上剪应力规律如下（图14-11c）：

1）边缘各点的切应力与周边相切，沿周边方向形成剪流。

2）

max

发生在矩形长边中点处，大小为：

P

x

W

M



max

，2

1

hbCW

P

（4-17）

次大切应力发生在短边中点，大小为

max

'

11

C（4-18）

四个角点处剪应力

0

。

3）杆件横截面单位长度扭转角由下式计算

)]

12

1(21.0

3

1

[

4

4

3

h

b

h

b

Ghb

M

x



（4-19）

式中，G为材料的切变模量。

其中系数'

11

,CC与

b

h

有关，可查表4-1。

注意到：对非圆截面扭转，平面假设不再成立。上面计算公式是将弹性力学的分析结果

写成圆轴公式形式。

当

10

b

h

时，截面成为狭长矩形，此时

3

1

1

C，若以表示狭长矩形的短边长度，则

式（4-17）和式（4-19）化为

10/17



















P

x

P

x

GI

M

W

M





max

（4-28）

其中2

3

1

hW

P

，3

3

1

hI

P

，此时长边上应力趋于均匀，如图4-12所示。实例如图4-13

所示的曲拐。

在工程实际结构中受扭构件某些横截面的翘曲要受到约束（如支承处，加载面处等）。

此扭转称为约束扭转，其特点是轴向纤维的长度发生改变，导致横截面上除扭转切应力外还

出现正应力。对非圆截面杆件约束扭转提示：

（1）对薄壁截面（如型钢）将引起较大的正应力。有关内容可参“开口薄壁杆件约束

扭转”专题；

（2）对实心截面杆件（如矩形，椭圆形）正应力一般很小可以略去，仍按自由扭转处

理。

思考题：如图4-14a、b所示，开口和闭口薄壁圆管

横截面的平均直径均为D、壁厚均为



，横截面上的扭

矩均为M

x

。讨论开口圆环截面与闭环圆截面受扭转时横

截面上最大切应力情况，并画出两种情况下，切应力沿

厚度方向的分布。

图4-12

图4-13

图4-14

11/17

§4-3梁横力弯曲时横截面上的切应力

梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力，又有切应力。但一般情况下，切应

力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理

和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横

截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。

1．矩形截面梁

对于图4-15所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力F

Q

。现分析距中性轴z为y的横线

1

aa上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线

1

aa两端的剪应力必与截面两侧边相

切，即与剪力F

Q

的方向一致。由于对称的关系，横线

1

aa中点处的剪应力也必与F

Q

的方向

相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想

1

aa线上各点切应力的方向皆平行于剪力F

Q

。

又因截面高度h大于宽度b，切应力的数值沿横线

1

aa不可能有太大变化，可以认为是均匀

分布的。基于上述分析，可作如下假设：

1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪力F

Q

。

2）切应力沿截面宽度均匀分布。

基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图4-16a的横弯梁中截出dx

微段，其左右截面上的内力如图4-16b所示。梁的横截面尺寸如图4-16c所示，现欲求距中

性轴z为y的横线

1

aa处的切应力。过

1

aa用平行于中性层的纵截面

11

ccaa自dx微段中

截出一微块（图4-16d）。根据切应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力



。

微块左右侧面上正应力的合力分别为

1

N和

2

N，其中

*

1

I1

**

z

z

A

z

A

S

I

M

dA

I

My

dAN（4-29）

图4-16

图4-15

12/17

*

1

II2

)(

)(

**

z

z

A

z

A

S

I

dMM

dA

I

ydMM

dAN







(4-30)

式中，*A为微块的侧面面积，)(

III

为面积*A中距中性轴为

1

y处的正应力，



*

1

*

A

z

dAyS。

由微块沿x方向的平衡条件0x，得

0

21





dxbNN（4-31）

将式（4-29）和式（4-30）代入式（4-31），得

0*



bdxS

I

dM

z

z



故

z

z

bI

S

dx

dM*





因



,

Q

F

dx

dM

，故求得横截面上距中性轴为y处横线上各点的剪应力为

z

zQ

bI

SF*

（4-32）

式（4-32）也适用于其它截面形式的梁。式中，

Q

F为截面上的剪力；

z

I为整个截

面对中性轴z的惯性矩；b为横截面在所求应力点处的宽度；

y

S为面积*A

对中性轴的

静矩。

对于矩形截面梁（图4-17），可取

1

bdydA，于是

)

4

(

2

2

2

2

111

*y

hb

dybydAyS

h

y

A

z



这样，式（4-32）可写成

)

4

(

2

2

2

y

h

I

F

z

Q

上式表明，沿截面高度剪应力按抛物线规律变化（图

4-17）。

在截面上、下边缘处，y=±

2

h

,=0；在中性轴上，y=0，

切应力值最大，其值为

A

F

Q

2

3

max

（4-33）

图4-17

13/17

式中A=bh,即矩形截面梁的最大切应力是其平均剪应力的

2

3

倍。

2．圆形截面梁

在圆形截面上（图4-18），任一平行于中性轴的横线aa

1

两

端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于y轴上的c点。因

此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应

力的方向皆平行于剪力F

Q

，设为均匀分布，其值为最大。由式

（4-32）求得

A

Q

3

4

max

（4-34）

式中2

4

dA



，即圆截面的最大切应力为其平均切应力的

3

4

倍。

3．工字形截面梁

工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（4-32）的计算结果表明，在翼缘上切应力很小，

在腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图4-19所示。最大剪应力在中性轴上，

其值为

Z

zQ

dI

SF

max

max

)(



式中（S

z

）

max

为中性轴一侧截面面积对中性轴

的静矩。对于轧制的工字钢，式中的

max

*)(

z

z

S

I

可以从型钢表中查得。

计算结果表明，腹板承担的剪力约为

（0.95~0.97）F

Q

，因此也可用下式计算

max

的

近似值

dh

F

Q

1

max



式中h

1

为腹板的高度，d为腹板的宽度。

图4-18

图4-19

14/17

§4-3弯曲中心

1.切应力流

对于薄壁截面，与剪力相对应的切应力具有下列显著特征：

·根据切应力成对定理，若杆件表面无切向力作用，则薄壁截面上的切应力作用线必平

行于截面周边的切线方向，并形成切应力流。

·由于壁很薄，故切应力沿壁厚方向可视为均匀分布。

由此可见，在薄壁截面上与剪力相对应的切应力可能与剪力方向一致，也可能不一致。

如图4-20a所示。

假定平面弯曲正应力公式成立所需的条件都得以满足，则采用考察局部平衡的方法，可

以确定相关纵截面上切应力的方向，从而确定薄壁横截面在截开处切应力的方向，如图

4-20b所示。据此，由切应力互等定理即可确定横截面上切应力流的方向。

图4-20

15/17

2.弯曲中心

对于薄壁截面，由于切应力方向必须平行于截面周边的切线方向，所以与切应力相对

应的分布力系向横截面所在平面内不同点简化，将得到不同的结果。如果向某一点简化结

果所得的主矢不为零而主矩为零，则这一点称为弯曲中心或剪力中心。

以图4-21a所示的薄壁槽形截面为例，先应用式(4-32)分别确定腹板和翼板上的切应力

1

和

2

（图4-21b和c）分别为

)6(

)

4

(6

2

2

2

1bhh

y

h

bhF

Q









（腹板）

)6(

6

2bhh

sF

Q







（翼板）

然后由积分求得作用在翼缘上的合力F

T

为

b

T

dxF

0

2



作用在腹板上的剪力F

Q

仍由平衡求得。于是，横截面上所受的剪切内力如图4-21d所示。

这时，如果将F

T

、F

Q

等向截面形心C简化，将得到主矢F

Q

和主矩M，其中M=F

T

h+F

Q

e'，

如图4-21e所示。若将F

T

、F

Q

等向截面左侧点O简化，则有可能使M=0。点O便为弯曲中

心，如图4-21f所示。

图4-21

16/17

设弯曲中心O与形心C之间的距离为e，则

Q

T

F

hF

ee'

表4-2中列出了几种常见薄壁截面弯曲中心的位置。

对于具有两个对称轴的薄壁截面，二对称轴的交点即为弯曲中心。

小结

1、受扭圆轴的外扭转力偶矩经常要由所传递的功率及其转速换算而得。由受扭圆轴横

截面上的内力扭矩求分布的切应力也须采用基于平面假设的变形协调条件、由虎克定律反映

的物理关系与扭矩同切应力的静力学关系三方面分析的基本方法。

2、圆轴扭转时，横截面上的切应力沿半径线性分布，并垂直于半径，圆心处切应力等

于零，最大切应力在外表面处，计算公式为：

P

x

P

x

W

M

I

M



max

,



3、非圆截面杆扭转时，截面发生翘曲，平面假设不再成立。对矩形截面杆，横截面周

边上切应力与周边平行，最大切应力发生在长边的中点上。

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4、矩形截面梁的弯曲切应力公式为

z

zQ

bI

SF



该式是在假设的基础上由平衡条件导出的。切应力大小沿矩形截面高度按二次抛物线规律变

化，最大切应力在中性轴上各点，是平均切应力的1.5倍，即AF

Q

5.1

max

。

对于常见截面的最大弯曲切应力也都出现在中性轴上各点处。圆形截面

AF

Q

33.1

max

，圆环截面AF

Q

2

max

，工字型截面AF

Q



max

（A为腹板截面

积）。

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