金属疲劳及疲劳统计

2024年3月22日发(作者：)

金属疲劳及疲劳统计 2

1 金属疲劳的基本概念和一般规律 ..................................................................................................... 3

1.1 交变应力............................................................................................................................ 3

1.2 高周疲劳和低周疲劳......................................................................................................... 4

1.3 循环应力－应变滞后回线（滞后环）.............................................................................. 5

1.4 循环应力－应变曲线......................................................................................................... 7

1.5 疲劳曲线............................................................................................................................ 8

1.6 完整的疲劳曲线 ................................................................................................................ 9

1.7 疲劳强度、疲劳极限和条件疲劳极限............................................................................ 10

1.8 疲劳极限ζ－1与材料静强度ζb的关系 .............................................................................11

1.9 不同应力状态下疲劳极限的经验关系 ............................................................................. 12

1.10 非对称循环条件下的疲劳极限和疲劳图...................................................................... 13

1.11 平均应力为压应力条件下的疲劳图 ............................................................................... 16

1.12 Miner线性疲劳损伤积累理论 ...................................................................................... 17

1.13其它类型的疲劳 ............................................................................................................... 18

2 金属疲劳的主要影响因素 .............................................................................................................. 21

2.1 应力集中的影响 ................................................................................................................ 22

2.2 尺寸因素的影响 ................................................................................................................ 23

2.3 表面加工状态的影响 ........................................................................................................ 23

2.4 加载经历的影响 ................................................................................................................ 23

2.5 化学成分的影响 ................................................................................................................ 24

2.6 热处理和显微组织的影响................................................................................................. 24

2.7 夹杂物的影响 .................................................................................................................... 25

2.8 表面性能变化及残余应力的影响 ..................................................................................... 26

3 疲劳数据的统计分析 ..................................................................................................................... 27

3.1 母体、个体、子样和子样大小 ......................................................................................... 28

3.2 观测数据的特征值 ............................................................................................................ 28

3.3 正态及对数正态频率分布函数 ......................................................................................... 29

3.4 威布尔频率分布函数 ........................................................................................................ 31

4 疲劳数据的统计推断 ..................................................................................................................... 34

4.1 检验一个子样是否来自已知平均值的母体 ...................................................................... 35

4.2 检验两个子样母体平均值是否相等 ................................................................................. 37

5 t分布和F分布及其在疲劳检验中的应用 ...................................................................................... 39

5.1 检验一个小子样是否来自已知平均值的母体 .................................................................. 40

5.2 正态母体平均值的区间估计 ............................................................................................. 41

5.3 一定误差限度下的最少试样个数 ..................................................................................... 41

5.4 检验两个小子样是否来自标准差相同的两个母体 .......................................................... 42

5.5 疲劳对比试验 .................................................................................................................... 42

6 疲劳极限测试 ............................................................................................................................... 44

6.1 疲劳试验机........................................................................................................................ 44

6.2 疲劳极限测试方法 ............................................................................................................ 44

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金属疲劳及疲劳统计

金属的疲劳是指金属材料或零（部）件在变动载荷的作用下，经过较长应力循环周次运转后发生突然失效或破坏的现象。

据统计，在各类零（部）件的失效中，大约有80%是由于疲劳破坏引起的：如各种轴类、齿轮、弹簧，飞机上的螺旋桨、机翼、框架等等等等。

如果从1858年（19世纪）Wöhle在严格控制载荷情况下，完成第一个金属试样的疲劳试验算起，人们对疲劳问题的研究已经有一百多年的历史。

早期的研究主要集中于疲劳破坏的宏观规律方面，而对于疲劳机理的研究，由于受到试验手段的限制，则主要是通过金相显微镜，对金属表面在交变载荷下的滑移过程、滑移带及驻留滑移带的形成等方面进行研究。二十世纪五十年代以后，各类电子显微镜及其它先进测试仪器的出现和完善，大大促进了疲劳机理的研究。位错理论的发展对疲劳裂纹萌生和扩张的研究提供了微观理论依据，现在人们已经可以利用电镜观察到疲劳过程中金属内部位错结构的变化。二十世纪六十年代以后，断裂力学在疲劳中的应用（主要是在裂纹亚临界扩张），是对经典疲劳宏观规律研究的补充和重大发展。它一方面为评定和选择材料提供了新的性能参量，同时它所提供的疲劳裂纹扩展速率（da/dN）与裂纹尖端应力场强度因子（ΔK）之间的关系，又是新的“有限寿命疲劳设计方法”的计算基础，比起以S（应力）－N（寿命）曲线为基础的“安全寿命设计”，“有限寿命设计”则更加合理和经济。当然，对于我们汽车设计而言，“安全寿命设计”比“有限寿命设计”更加实用。

目前，人们普遍注意和感兴趣的则是把宏观和微观结合起来对疲劳问题进行研究，这样，更有利于深入了解疲劳问题的本质和防止疲劳断裂问题。

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本讲座主要介绍疲劳的一些宏观规律以及疲劳统计方面的有关问题，内容包括以下五个方面：1 金属疲劳的基本概念和一般规律；2 金属疲劳的主要影响因素；3 疲劳数据的统计分析；4 疲劳数据的统计推断；5 t分布和F分布及其在疲劳检验中的应用；6疲劳试验设备和方法。

1 金属疲劳的基本概念和一般规律

1.1 交变应力

如果载荷的大小和方向随时间而变化，则称这种载荷为变动载荷，相应的应力称为交变应力。机械零部件所承受的交变应力是多种多样的，从应力随时间的变化规律看，可以是周期性的，也可以是无规律的，从波形看，可以是正弦波、锯齿波、矩形波及随机波等。从循环应力的对称性来看，又可分为对称应力和不对称应力（如图1）。

图1 常见应力波形

在各种循环应力中最简单、最基本的是正弦波形的对称循环应力，它在材料疲劳试验中应用最多，这是由于许多实际零件所承受的就是这种正弦波形应力，一些复杂的波形（包括随机波）的应力又可视为多种正弦波形应力的叠加。在试验技术上，正弦波也是最易实现的。

正弦波循环应力可以用最大循环应力ζ

max、最小循环应力ζmin和循环周期T（或3

加载频率f=1/T）来描述（如图2）。循环应力的特性则由平均应力ζm、应力半幅ζa和应力比R决定。

mmaxmin2

amaxmin2

Rminmax

图2 循环应力参数

其中，平均应力ζm是不随时间而变的常量，它相当于循环应力的静载分量，而应力半幅ζa则是循环应力的交变分量。

如果应力循环中应力半幅ζa保持不变，这种疲劳便称为恒幅疲劳。应力比R表征循环应力的不对称性，也称应力不对称系数。

造成机械零部件疲劳破坏的根本原因在于它所承受的应力中存在有交变分量，当然，静载分量也对疲劳破坏产生重大影响。

1.2 高周疲劳和低周疲劳

通常将断裂周次小于104－105次的疲劳问题称为低周疲劳，而将断裂周次大于106－107次的疲劳称为高周疲劳。这样的分类方法仅仅是为了使用上的方便。实际上低周疲劳和高周疲劳的主要差别在于塑性应变量大小的不同，低周疲劳时塑性应变占主导地位，因此低周疲劳也称应变疲劳，而高周疲劳时是弹性应变占主导地位，称之为弹性应变疲劳或应力疲劳。

低周疲劳引起人们的重视并对它进行深入研究是上世纪70年代的事。低周疲 4

劳的问题是从生产实践中提出来的。工程中有些结构和零部件如压力容器，高压管道，飞机起落架，核反应堆外壳等，在服役过程中，应力水平很高，甚至超过材料的屈服极限，经很短的循环周次后即可能发生疲劳破坏。有些零件在其服役过程中，还会受到瞬时温升的严重影响，尤其是在起动、停车或加速、减速过程中，快速加热引起的循环热应力和从静止进入全速状态引起的各种瞬变机械应力迭加在一起，构成严重的周期性的复合应力循环，致使零件的关键部位进入塑性应变范围内工作。此外，还有很多零件往往有缺口、孔洞、拐角、沟槽和变截面等，因此尽管从总体上说，材料是处于弹性范围，但在这些存在应力集中的部位，材料却已进入塑性状态，此时，应变就已成为控制材料疲劳行为的主要因素。因此，对低周疲劳的研究，不仅对承受低周疲劳零件的寿命估算，而且对了解应力集中零件的应力应变行为均有重要意义。

1.3 循环应力－应变滞后回线（滞后环）

在高周疲劳条件下，外加循环应力ζ低于屈服极限ζs，即材料处于弹性范围，应力－应变呈线性关系，符合虎克定律。在低周疲劳条件下，由于外加循环应力ζ高于屈服极限ζs，此时，除产生弹性应变外，还会产生塑性应变（如图3），当从原点O加载到A点（1/4周）时，材料产生的总应变为弹性应变与塑性应变之和。从A点开始，经过C、B、D并回到A点的一个应力循环，由图可以看出，当经过上述一个应力循环后，在应力ζ－应变ε坐标上就形成了一条闭合的应力－应变曲线，这便是应力－应变滞后回线（滞后环）。

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图3 应力－应变滞后环

实际上，金属在交变载荷作用下是亚稳定的，当承受反复塑性应变时，金属的应力应变特性可能发生激烈的变化。根据材料原始状态以及试验条件的不同，金属可能表现出循环硬化，循环软化，循环稳定以及以上几种现象的混合特性（即因应变幅的不同，可表现为硬化或软化）（如图4），它们的共同特点是，循环加载的初期，应力－应变特性是变化的，滞后回线也不闭合，随循环周次的增加，变化幅度减小，并逐渐趋于稳定（或饱和）。只有在这种状态下，才能得到前述的一个闭合的滞后环。

图4恒定应变幅条件下的循环硬化和软化现象

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1.4 循环应力－应变曲线

同一材料，应变幅不同，就会得到不同的滞后环，所谓循环应力－应变曲线，就是这些滞后环的顶点的连线（如图5）。它表征材料在循环载荷下达到循环稳定或饱和状态条件下的应力－应变之间的关系，同时，也是直接与静载下材料的应力－应变曲线进行比较的一种方便有效的方法。从这两条曲线在同一张图上的位置，便可容易地看出材料的循环硬化或循环软化的特性。

图5 循环应力－应变曲线

根据循环应力－应变曲线，可以确定材料的周期屈服强度。如图所示（如图6）为不同类型的钢中周期屈服强度和静屈服强度关系的试验结果。

在双对数坐标下，循环应力－应变曲线表现为一直线，表明材料的循环应力－应变曲线和静载时的应力应变曲线类似，也遵循幂乘规律。即

apk2n 或

akpn

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图6 周期屈服强度和静强度的关系

通常周期屈服强度和静载下的屈服强度是不同的，图中数据点处于45度线上方的所有状态均是循环硬化的，反之则为循环软化。由图6可以看出，铁素体－珠光体组织是相当稳定的，低中硬度的马氏体和马氏体时效钢则表现为明显的循环软化，而刚转变的或轻微回火的马氏体组织则和亚稳定的奥氏体不锈钢一样，显示出稳定的硬化倾向。材料所表现出的这些不同的循环特性，在不同的应用场合都有其重要意义。例如，对于一个有缺口的构件，如果在缺口根部能产生局部软化，就能使应力重新分布，从而减轻应力集中的影响，而对于需经表面处理的构件来说，则理应采用高强度的循环稳定的合金才能得到最高的有利残余应力。

1.5 疲劳曲线

最早的经典疲劳试验结果是德国科学家Wöhle在1858－1871年得出的，他制作了各种类型的疲劳试验机，并在严格控制载荷大小的情况下，完成了第一批金属试样的疲劳试验，首次用循环应力――疲劳寿命曲线的形式来描述材料在循环应力下的行为，这种曲线至今仍广泛使用，并被称之为Wöhle曲线。

疲劳曲线通常是用一组试样，在平均应力保持恒定，改变应力半幅的试验条件下测定。也可以在固定应力比R或固定最小应力的条件下得到。疲劳曲线一般采用单对数座标ζ－lg(N)。有时也采用双对数座标lg(ζ)－lg(N)或常规座标ζ 8

－N。

1.6 完整的疲劳曲线

如图7所示为从抗拉强度到疲劳极限的疲劳载荷范围的完整的疲劳曲线示意图。全部曲线首先可分为两个主要区域：低周疲劳区域和高周疲劳区域。

低周疲劳区

低周疲劳区为ζb＞ζ＞ζ2的应力范围，即图中的ABCD折线区。低周疲劳断裂试样断口的主要特征是最终的韧性断裂位于中心，这是因为许多源发性的疲劳裂纹具有同等的扩展条件。在高于动屈服强度的应力作用下进行试验时，试样的疲劳断口具有较不平坦的特征，并带有明显的台阶。

图7 完整的疲劳曲线

低周疲劳区域有三种区段

准静载断裂区段（第Ⅰ区段）：出现在那些没有循环蠕变倾向、能发生强烈循环硬化的材料的疲劳曲线上。

循环蠕变区段（第Ⅱ段）：这个区段的特点是，随着循环次数的增加，出现不 9

断增加的塑性应变积累，直到试样断裂为止，滞后回线永远是开启的。仅循环软化和循环稳定的材料才出现循环蠕变区段，特别是能够造成最强烈的应变积累的情形，对于循环硬化的材料来说，因为没有应变积累，并不存在循环蠕变区段。

疲劳曲线在以上两个区段的断裂具有准静载性质，并且形成颈缩，从外观上看这种断裂似乎与单向一次加载的断裂没有什么差别，不过，这样的断裂在颈缩的断口上已经可以看到疲劳裂纹的核心。

宏观循环应变断裂区段（第Ⅲ区段）：与循环蠕变时相比，在这个疲劳断裂区段不发生强烈的塑性应变积累，经一定周数后滞后回线封闭起来，而断裂之前形成疲劳裂纹。只有不出现循环蠕变的循环硬化材料才具有这个过程。

高周疲劳区

在临界应力ζk与疲劳极限ζw之间的应力区为高周疲劳区，此应力范围内的疲劳过程由四个基本阶段构成。一是孕育阶段，在这个阶段中晶体的畸变逐渐增加。二是亚显微裂纹的萌生和扩展，在此阶段金属的连续性受到破坏，亚显微裂纹逐渐扩展为显微裂纹。三是显微裂纹发展到临界尺寸的宏观裂纹阶段，在这个阶段，显微裂纹穿过晶界，在裂纹顶端为平面应变的应力条件下，裂纹在垂直于外加载荷方向的平面上扩展，并在断裂表面上形成条纹状特征。四是最终的断裂阶段，当裂纹扩展使裂纹尖端应力强度因子达到临界应力强度因子时断裂就发生了。

低于高周疲劳区（ζ＜ζw）的应力区域是无危险的损伤区域，这个区域可以再分为两个特征应力ζ4和ζ5，分别称为循环屈服强度和循环弹性极限。

1.7 疲劳强度、疲劳极限和条件疲劳极限

材料的疲劳强度一般是指在给定加载周次下不发生断裂时材料所能抵抗的最大循环应力。疲劳强度的数值和断裂周次有关，当采用疲劳强度时必须说明其周 10

数。

各种材料的大量疲劳试验表明，某些材料（如常温大气环境下的钢铁材料、钛合金）在循环应力低于某一极限值时，便不发生疲劳断裂，将这一极限应力值定义为材料的疲劳极限。而对于大多数有色金属材料（如部分铝合金、镁合金和铜合金材料）则不存在这一现象，没有明确的疲劳极限，即使应力降低，当循环应力达到一定周次时，仍会发生疲劳断裂现象，对于这一类材料，则人为规定将在某一适当循环周次（一般为108周次）下的疲劳强度定义为条件疲劳极限。

除了温度和环境介质的影响外，就材料本身而言，为什么有的材料有明确的疲劳极限，而有的材料又没有呢，这就涉及到材料极限本质的问题。关于这个问题，在20世纪60年代和70年代初曾有过许多研究，结果表明，凡是具有应变时效能力的材料均有明确的疲劳极限，而没有应变时效能力的材料，就没有明确的疲劳极限。

1.8 疲劳极限ζ－1与材料静强度ζb的关系

早在1938年，Baliens便建立了钢材光滑试样旋转弯曲疲劳极限ζ－1与材料静强度ζb之间的经验关系。一般说来，当抗拉强度低于某一值时，只要强化过程不引起开裂，不管是通过合金化、热处理、还是通过形变强度来提高抗拉强度，疲劳极限都随抗拉强度的提高而提高。

试验结果表明，在钢中，当抗拉强度低于1250MPa时，ζ－1/ζb的平均值约为0.5，有70%的比值在0.4至0.55之间，有95%的比值在0.35至0.6之间。当抗拉强度超过1250MPa时，ζ－1/ζb的变化范围变大，平均值降低。当抗拉强度超过1570Mpa时，由于钢中夹杂物对裂纹萌生产生影响以及相变时奥氏体－马氏体之间的反应引起局部高应力的影响，ζ

－1便不再随ζb的升高而升高，甚至出现下降11

的趋势（如图8）。

图8 锻钢弯曲疲劳强度和抗拉强度的关系

铸铁、锻造及铸造铝合金、锻造铜合金和钛合金，存在着类似钢中ζ的关系，且比值均在0.35至0.5之间。钛合金ζ1.9 不同应力状态下疲劳极限的经验关系

－1－1与ζb/ζb＝0.5的关系保持得更好。

同一种材料在不同的应力状态下疲劳极限是不同的，在对称拉压疲劳试验时，由于材料截面均匀受力，在最大主应力相等的情况下，拉压疲劳载荷下的破坏概率比弯曲疲劳大，因此拉压疲劳极限比弯曲疲劳极限低。而扭转应力更易使材料产生滑移从而造成损伤，因此扭转疲劳极限也低于弯曲疲劳极限。

不同材料对称拉压疲劳极限ζζ－1－1p、对称扭转疲劳极限η－1、对称弯曲疲劳极限之间的经验公式如下：

ζη－1p＝0.85ζ－1（钢） ζ－1p＝0.65ζ－1（铸铁）

－1＝0.55ζ－1（钢和轻合金） η－1＝0.80ζ－1（铸铁）

不同应力状态下的疲劳极限和静强度之间的经验关系：

ζζ

－1p＝0.23(ζs+ζb) (结构钢) ζ＝(ζb/6) +7.5 (铝合金)

－1p＝0.4ζb) (铸铁)

－1p12

必须注意的是，这些经验公式只能提供在一定条件下疲劳极限的近似值，需要精确的疲劳极限，必须通过试验。

1.10 非对称循环条件下的疲劳极限和疲劳图

大量的疲劳数据是在对称循环条件下得到的（即ζm＝0 R=－1），然而许多实际机械零件却是在非对称循环载荷下工作的，它们所承受的应力是由一个交变应力分量和一个平均的或静应力分量叠加而成。例如齿轮承受的是脉动弯曲疲劳，内燃机连杆承受的是不对称拉压疲劳。此时，不能用材料在对称循环条件下的特性来衡量。因此需要研究应力比和平均应力对疲劳强度的影响，并且找出某些经验规律，根据这些规律，能在已知材料的某些性能（如ζ－1、ζs、ζb等）的基础上，估算出材料在不同应力比和平均应力条件下的疲劳极限。

虽然通过试验可以求得在不同R条件下材料的真实疲劳极限，但是这种试验相当麻烦，根据平均应力或应力比对疲劳强度的影响规律，可用作疲劳图的方法，估算出不同平均应力或应力比时的疲劳极限。

首先提出疲劳图的是Goodman（1899年），因此疲劳图也称Goodman图。疲劳图分两类，第一类疲劳图以平均应力为横座标，以最大应力和最小应力为纵座标，表示疲劳极限和平均应力间的关系。只要通过试验求出材料在对称应力循环条件下的疲劳极限ζ如图9所示。

－1，以及材料静强度数据（ζs、ζb等），就可以作出疲劳图。 13

图9 第一类疲劳图

对称应力循环时，平均应力为0，因此ζ－1应点在纵轴上，此时最大应力等于应力半幅等于疲劳极限，最小应力等于负的疲劳极限。分别用A、B点表示。静载荷时应力半幅为0，如果静载下的破坏是由于外加应力达到材料的抗拉强度引起的，则最大应力等于最小应力等于抗拉强度，在图上则为C点。则AC两点的连线表示最大应力随平均应力的变化线，BC连线表示最小应力的变化线，而OC线则是应力全幅的等分线且与平均应力轴成45度夹角。AC线和BC线之间平行于纵轴的距离随平均应力的增加而变小，正好反映了材料所能承受的应力半幅随平均应力增加而减小的规律。AC、BC用直线相连，构成疲劳图的所谓的Goodman线。事实上，最大应力和最小应力随平均应力的变化并不一定遵循简单的线性关系，Gerber建议把这种变化用抛物线来描述，即所谓的Gerber抛物线。Goodman线和Gerber抛物线可用下式表达。

maxm11bxm

当式中的指数x=1时，就成为Goodman线，当x=2时，就成为Gerber抛物线。

这便是平均应力大于0的第一类疲劳图，图中E点（BC线与平均应力轴的交点）代表最小应力和应力比为0时的脉动疲劳，E点右边表示应力比大于0的拉－ 14

拉疲劳，E点与纵轴之间表示应力比为0到－1之间的大拉小压疲劳。因此，疲劳图包含了机械零件常见的应力循环特性。从这张图可估算出各种常见的不对称应力循环条件下的疲劳极限，同时，图中的最大应力线和最小应力线围成了一个特定的区域，如果零件所承受的实际应力落在这个区域内，则这个零件不致在服役中产生疲劳破坏，这个特定区域称之为安全区。

对于那些没有明确疲劳极限的材料，就必需作出一组不同特久值（如106、107、108）的条件疲劳图。

其他应力状态（如轴向拉压、扭转等）下的疲劳图，也可采用和上述弯曲条件相类似的方法作出。

第二类疲劳图以平均应力为横座标，以应力幅为纵座标，如图10所示。

图10 第二类疲劳图

第二类疲劳表示了各种不对称应力循环条件下应力半幅和平均应力之间的关系（如图10）。和第一类疲劳图一样，第二类疲劳图也可以根据疲劳极限及静强度数据，方便地绘制出来。也可以根据第一类疲劳图的数据，经过坐标转换得到。第二类疲劳图中的三条线分别为Gerber的抛物线方程、Goodman线性方程和Soderberg线性方程。

Gerber的抛物线方程和Goodman线性方程表达式与前述的第一类疲劳图中 15

Gerber的抛物线方程和Goodman线性方程的应力半幅部分相同。具体如下：

am11bx

式中X＝1，且用屈服极限代替抗拉强度，则为Soderberg线性方程的表达式。

试验数据表明，对于韧性金属（钢、铝合金、镁合金和铜合金），有90%以上的数据处于第二类疲劳图中Goodman以上，主要落在Goodman线与Gerber之间。在低平均应力水平时与Goodman线接近，而在高平均应力水平时则和Gerber线接近。有明显疲劳极限的材料较接近于Gerber线，对于没有明显疲劳极限的材料，若条件疲劳极限是在较低的循环周次（如107）下得到的，则数据便落在Goodman线周围，如果条件疲劳极限是在较高的循环周次（如108）下得到的，则数据趋向于逼近Gerber线。

考虑到疲劳数据的分散性，Gerber抛物线显得不够完全，况且计算复杂。尽管Goodman线不是100%的安全，但比起Gerber抛物线要稳妥得多，且计算方便。因此，在机械零件的疲劳设计中得到广泛的应用。Soderberg线可以作出安全的预测，在许多情况下它似乎显得过分安全了，所以使用得也不及Goodman线普遍。但是，应该看到，对于许多零件来说，要求在服役过程中既不发生疲劳破坏，又不发生屈服，在这种场合下只有按Soderberg关系设计，才能满足要求。

1.11 平均应力为压应力条件下的疲劳图

试验结果表明，只要试样在最大循环压应力作用下不发生屈服或弯曲失稳，材料的疲劳极限随压应力增加，至少不会低于甚至还会超过对称循环时的值。Forrest把他自己及其他人所做的关于钢和铝合金的数据，整理在R－M（ζr/ζ－1－ζm/ζs）图上，发现疲劳极限随压缩平均应力增加呈线性增加（如图11），当压缩平均应力在数值上等于屈服极限时，材料的疲劳极限约为对称循环时的1.4倍。

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图11 平均应力对疲劳极限的影响

疲劳图用简单的经验关系，明确表达各种应力循环条件下材料的疲劳极限与对称循环条件下疲劳极限之间的关系，在生产上得到广泛应用，至今仍是无限寿命零件疲劳强度设计计算的主要工具。当然，在具体应用时，尚需考虑应力集中、表面状态等各种因素对疲劳强度的影响。

1.12 Miner线性疲劳损伤积累理论

疲劳损伤积累理论认为，材料的疲劳破坏过程是一个在循环应力作用下，内部损伤积累的过程。在高于疲劳极限的载荷下，材料每经历一个应力循环都会造成一定损伤，随着循环周次增加，材料所受到的损伤也逐渐积累，当损伤达到某一临界值时，就会发生材料的疲劳破坏。现在已有多种关于损伤积累的理论，但其中最简单、应用广泛的还是Miner线性疲劳损伤积累理论。

Miner线性疲劳损伤积累理论认为，在给定应力下，材料的疲劳损伤随循环周次呈线性地增加。假定试样断裂时的总损伤以D表示，如果在某一应力水平下试样的总寿命为Ni，而试样在该应力水平上经历了ni次循环，则试样在该应力水平上循环的损伤积累为D＊ni /Ni，对于经历多级应力水平循环而断裂的试样而言，其总的损伤积累应该为D，如是有如下关系：

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n1N1Dn2N2DniNiDD

即：

n1N1n2N2niNi1

虽然Miner线性疲劳损伤积累理论和试验结果并不完全符合，这主要是由于疲劳损伤理论没有考虑不同载荷间的相互作用，即损伤不但决定于当前的应力情况，而且还与服役的应力历史有关。不同的应力经历，引起不同的应变硬化、应变软化和残余应力，使材料的性能和应力状态有所改变，从而影响后来的循环损伤。即材料以前的应力经历，对以后循环的损伤有干涉效应。由于干涉效应的存在，使得损伤的积累并不等于1。尽管有这种偏差存在，而且有时还偏于不安全，但该理论使用简单，一般说来也比较接近实际，所以在工程上至今仍广泛使用。

1.13其它类型的疲劳

1.13.1冲击疲劳

对多次冲击的研究迄今约有近百年的历史。国内对材料多次冲击抗力的研究始于1958年。多次冲击不同于一次性摆锤冲击，二者的破坏过程是不同的。多次冲击是损伤积累所致的裂纹萌生和发展的过程，一次摆锤冲击则是一次冲击载荷下的弹塑性变形和撕裂过程。虽然多次冲击属疲劳的范畴，与一般静疲劳有着相同的破坏机制，但由于冲击载荷产生的应力在材料内部以波的形式高速传播，并在材料表面形成反射波，从而在材料内部产生应力叠加现象，形成很复杂的应力状态，对多次冲击载荷下的寿命产生重大影响，因此，多次冲击也不同于一般的静疲劳过程，它是一个主要取决于强度的韧度问题，而静疲劳几乎是一个纯强度的问题。与常规疲劳相比，多次冲击疲劳具有以下特点：

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一是在相同的应力水平下，冲击疲劳寿命明显低于常规疲劳寿命，如图12。

图12 0.21%C碳钢的多冲拉伸疲劳S－N曲线

二是在较高周次范围内（小能量冲击载荷）材料的冲击疲劳寿命主要取决于强度指标，强度越高，冲出疲劳性能越好。而在低周范围内，材料的疲劳抗力主要决定于塑性（如图13）。

图13三种典型材料的多冲疲劳S－N曲线

三是材料在多冲载荷作用下有明显的不同于常规疲劳的体积效应，冲击应力的大小不仅与试样最小截面有关，而且与试样整体柔度有关，柔度增大，冲击应力减小，寿命增高，反之，刚度增大，冲击应力增加，寿命降低。

四是冲击疲劳的缺口效应更加明显。

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五是一次冲击功（ak）对多冲抗力的影响与材料的强度水平有关，在低中强度范围内，材料的一次冲击功对多冲抗力影响不大，当强度大于1300MPa后，一次冲击功的提高将会对多冲抗力产生有利影响。

1.13.2接触疲劳

接触疲劳是一种接触应力作用下的表面疲劳破坏现象，零件表面在高的接触压应力作用下，经过长期应力循环后，表面局部区域便会产生深度不同的片状或块状剥落并形成凹坑或麻点，造成零件啮合情况恶化，磨损加剧，致使零件不能正常运行而失效。同一般疲劳一样，对于许多材料包括碳钢、合金钢、青铜、轻金属甚至非金属的塑料，都毫无列外地存在着明显的疲劳极限值。接触疲劳也是一个疲劳裂纹萌生与扩张的过程，但也有其它疲劳中没有的特殊过程如摩擦、磨损、氧化、表层塑性流变以及热传导等。这些过程对接触疲劳均产生重大影响。

1.13.3腐蚀疲劳

材料在腐蚀介质和循环载荷的共同作用下产生的破坏称为腐蚀疲劳。和大气中的疲劳相比，腐蚀疲劳有如下特点：

腐蚀疲劳的S－N曲线没有水平部分，即没有明确的疲劳极限，一般均用指定周次下不断裂的应力作为条件腐蚀疲劳极限。

条件腐蚀疲劳极限和材料的强度极限之间不存在比例关系，或者说，提高材料的强度水平，并不能提高它的腐蚀疲劳强度。

腐蚀疲劳强度对加载频率极限敏感，对应力集中不及大气中的疲劳敏感，对尺寸因素的影响则和大气中相反。

腐蚀疲劳条件下裂纹极易萌生，故裂纹扩张期占寿命的主要部分，这和大气中光滑试样的疲劳是相反的。由于裂纹扩张，相对疲劳裂纹在表面萌生来说，比 20

较稳定，因此，腐蚀疲劳试验数据和在大气中的相比，也有较小的散乱性。

腐蚀疲劳破坏一般有多个疲劳源，并形成特殊齿状宏观断口特征并有腐蚀产物存在，微观断口形貌由大气中通常的穿晶断裂变为晶间断或穿晶与晶间断的混合形式。

1.13.4微动磨损疲劳

微动损伤疲劳发生在相互紧固零件的接触表面，虽然这些零件通常彼此之间是相对静止的，但是当它们承受负荷或由于服役中的振动时，在相互紧固零件的接触面上，就不可避免要发生微量的相对运动。由微动磨损引起的疲劳破坏的性质，目前尚未搞清，用于描述这种现象的术语也不统一，如微动磨损、微动磨损腐蚀，微动磨损疲劳，微动磨损腐蚀疲劳以及由微动磨损引的疲劳等等各种说法。

微动磨损疲劳现象在各种承受或产生反复相对运动的零件和构件中都可能发生，如铆接件、螺栓联接件、销钉联接件、凸缘紧固件、冷缩热装配合和压配合件、花键、键槽、夹钳、轴承－轴－轴承座界面、法兰盘、钢板弹簧、钢丝绳和电缆线等等。

微动磨损疲劳对零件和结构的危害在于它激烈地降低材料的疲劳强度。微动对表面所造成的损伤，往往就是疲劳裂纹的萌生地，会对零件的总寿命带来毁灭性的影响，可使裂纹萌生期完全丧失，然而，在许多情况下，萌生期往往占疲劳寿命的大部分。

微动磨损疲劳受到很多外界因素的影响，如配合表面的法向压力，相对滑动幅度，润滑条件，环境介质，温度等。

2 金属疲劳的主要影响因素

材料的疲劳强度对各种外在因素和内在因素都极为敏感。外在因素包括零件 21

的形状和尺寸、表面光洁度及使用条件等，内在因素包括材料本身的成分，组织状态、纯净度和残余应力等。这些因素的细微变化，均会造成材料疲劳性能的波动甚至大幅度变化。各种因素对疲劳强度的影响是疲劳研究的重要方面，这种研究将为零件合理的结构设计、以及正确选择材料和合理制订各种冷热加工工艺提供依据，以保证零件具有高的疲劳性能。

2.1 应力集中的影响

常规所讲的疲劳强度，都是用精心加工的光滑试样测得的，然而，实际机械零件都不可避免地存在着不同形式的缺口，如台阶、键槽、螺纹和油孔等。这些缺口的存在造成应力集中，使缺口根部的最大实际应力远大于零件所承受的名义应力，零件的疲劳破坏往往从这里开始。

理论应力集中系数Kt：在理想的弹性条件下，由弹性理论求得的，缺口根部的最大实际应力与名义应力的比值。

有效应力集中系数(或疲劳应力集中系数)Kf：光滑试样的疲劳极限ζ试样疲劳极限ζ－1n－1与缺口的比值。

有效应力集中系数不仅受构件尺寸和形状的影响，而且受材料的物理性质、加工、热处理等多种因素的影响。

有效应力集中系数随着缺口尖锐程度的增加而增加，但通常小于理论应力集中系数。

疲劳缺口敏感度系数q：疲劳缺口敏感度系数表示材料对疲劳缺口的敏感程度，由下式计算。

qKf1Kt1

q的数据范围是0－1，q值越小，表征材料对缺口越不敏感。试验表明，q并非纯 22

粹是材料常数，它仍然和缺口尺寸有关，只有当缺口半径大于一定值后，q值才基本与缺口无关，而且对于不同材料或处理状态，此半径值也不同。

2.2 尺寸因素的影响

由于材料本身组织的不均匀性以及内部缺陷的存在，尺寸增加造成材料破坏概率的增加，从而降低材料的疲劳极限。尺寸效应的存在，是把试验室小试样测得的疲劳数据运用于大尺寸实际零件中的一个重要问题，由于不可能把实际尺寸的零件上存在的应力集中、应力梯度等完全相似地在小试样上再现出来，从而造成试验室结果与某些具体零件疲劳破坏之间的互相脱节。

2.3 表面加工状态的影响

机加工的表面总存在着高低不平的加工痕迹，这些痕迹就相当于微小缺口，在材料表面造成应力集中，从而降低材料的疲劳强度。试验表明，对于钢和铝合金，粗糙的加工（粗车）与纵向精抛光相比，疲劳极限要降低10%－20%甚至更多。材料的强度越高，则对表面光洁度越敏感。

2.4 加载经历的影响

实际上没有任何零件是在绝对恒定的应力幅条件下工作，材料实际工作中的超载和次载都会对材料的疲劳极限产生影响，试验表明，材料普遍存在着超载损伤和次载锻炼现象。

所谓超载损伤是指材料在高于疲劳极限的载荷下运行达到一定周次后，将造成材料疲劳极限的下降。超载越高，造成损伤所需的周次越短，如图14所示。

23

图14 损伤线

事实上，在一定条件下，少量次数的超载不仅不会对材料造成损伤，由于形变强化、裂纹尖端钝化以及残余压应力的作用，还会对材料造成强化，从而提高材料的疲劳极限。因此，应对超载损伤的概念进行一些补充和修正。

所谓次载锻炼是指材料在低于疲劳极限但高于某一限值的应力水平下运行一定周次后，造成材料疲劳极限升高的现象。次载锻炼的效果和材料本身的性能有关，塑性好的材料，一般来说锻炼周期要长些，锻炼应力要高些方能见效。

2.5 化学成分的影响

材料的疲劳强度与抗拉强度在一定条件下存在着较密切的关系，因此，在一定条件下凡能提高抗拉强度的合金元素，均可提高材料的疲劳强度。比较而言，碳是影响材料强度的最主要因素。而一些在钢中形成夹杂物的杂质元素则对疲劳强度产生不利影响。

2.6 热处理和显微组织的影响

不同的热处理状态会得到不同的显微组织，因此，热处理对疲劳强度的影响，实质上就是显微组织的影响。同一成份的材料，由于热处理不同，虽然可以得到 24

相同的静强度，但由于组织的不同，疲劳强度可在相当大的范围内变化。

在相同的强度水平时，片状珠光体的疲劳强度明显要低于粒状珠光体。同是粒状珠光体，其渗碳体颗粒越细小，则疲劳强度越高。

显微组织对材料疲劳性能的影响，除了和各种组织本身的机械性能特性有关外，还和晶粒度以及复合组织中组织的分布特征有关。细化晶粒可提高材料的疲劳强度。

2.7 夹杂物的影响

夹杂物本身或由它而产生的孔洞相当于微小缺口，在交变载荷作用下将产生应力集中和应变集中，成为疲劳断裂的裂纹源，对材料的疲劳性能造成不良影响。夹杂物对疲劳强度的影响不仅取决于夹杂物的种类、性质、形状、大小、数量和分布，而且还取决于材料的强度水平以及外加应力水平及状态等因素。

不同类型的夹杂物其机械和物理性能不同，和母材性能之间的差异不同，对疲劳性能的影响也不同。一般说来，易变形的塑性夹杂物（如硫化物）对钢的疲劳性能影响较小，而脆性夹杂物（如氧化物、硅酸盐等）则有较大的危害。比基体膨胀系数大的夹杂物（如硫化物）因在基体中产生压应力而影响小，而比基体膨胀系数小的夹杂物（如氧化铝等）因在基体中产生拉应力而影响大。夹杂物与母材结合的紧密程度也会影响疲劳强度。硫化物易于变形，和母材结合紧密，而氧化物易于脱离母材，造成应力集中。由此可知，从夹杂物的类型来说，硫化物的影响较小，而氧化物、氮化物和硅酸盐等则是危害较大的。

不同加载条件下，夹杂物对材料疲劳性能的影响也不同，在高载条件下，无论有没有夹杂物的存在，外加载荷均足以使材料产生塑性流变，夹杂物的影响较小，而在材料的疲劳极限应力范围，夹杂物的存在造成局部应变集中成为塑性变 25

形的控制因素，从而强烈地影响材料的疲劳强度。也就是说，夹杂物的存在主要是影响材料的疲劳极限，对高应力条件下的疲劳强度影响不明显。

材料的纯净度是由熔炼工艺过程决定的，因此，采用净化冶炼方法（如真空熔炼、真空除气和电渣重熔等）均可有效降低钢中的杂质含量，改善材料的疲劳性能。

2.8 表面性能变化及残余应力的影响

表面状态的影响除前已提及的表面光洁度外，还包括表层机械性能的变化及残余应力对疲劳强度的影响。表层机械性能的变化可以是表层化学成分和组织不同所引起，也可以是表层因形变强化而引起。

渗碳、氮化和碳氮共渗等表面热处理除了可以增加零件的耐磨性之外，还是提高零件疲劳强度，特别是提高耐腐蚀疲劳和咬蚀的一种有效手段。

表面化学热处理对疲劳强度的影响主要取决于加载方式、渗层中的碳氮浓度、表面硬度及梯度、表面硬度与心部硬度之比、层深以及表面处理所形成的残余压应力的大小和分布等因素。大量试验表明，只要是先加工缺口后经化学热处理，则一般说来缺口越尖锐，疲劳强度的提高也越多。

不同的加载方式下，表面处理对疲劳性能的影响也不同。轴向加载时，由于不存在应力沿层深分布不均的现象，表层和层下的应力相同。在这种情况下，表面处理只能改善表面层的疲劳性能，由于心部材料未得到强化，因而疲劳强度的提高有限。在弯曲和扭转条件下，应力的分布集中于表层，表面处理形成的残余应力和这种外加应力叠加，使表面实际承受的应力降低，同时，由于表层材料的强化，因而能有效地提高弯曲和扭转条件下的疲劳强度。

和渗碳、氮化以及碳氮共渗等化学热处理相反，如果零件在热处理过程中脱 26

碳，使表层的强度降低，则会使材料的疲劳强度大幅度降低。同样，表面镀层（如镀Cr、Ni等）由于镀层中的裂纹造成的缺口效应、镀层在基体金属中引起的残余拉应力以及电镀过程中氢气的浸入导到氢脆等原因，使疲劳强度降低。

采用感应淬火、表面火焰淬火以及低淬透性钢的薄壳淬火，均可获得一定深度的表面硬度化层，并在表层形成有利的残余压应力，因而也是提高零件疲劳强度的有效方法。

表面滚压和喷丸等处理，由于能在试样表面形成一定深度的形变硬化层，同时使表面产生残余压应力，因而也是提高疲劳强度的有效途径。

3 疲劳数据的统计分析

在疲劳问题中，不论是材料本身还是试验条件的微小变化，均会引起疲劳数据的较大波动。以试验机误差为例，在测定疲劳寿命时，即使名义应力在疲劳试验机所允许的3%的范围内波动，也会导致疲劳寿命60%的误差，最不利的情况下甚至会引起120%的误差。如果再叠加其它外在和内在因素的影响，误差将会更大。事实上，无论如何严格控制，也不可能保证同一组试样都处于完全相同的状态，并在完全一致的条件下经受试验，这说明疲劳数据的分散性是不可避免的。影响疲劳试验结果分散性的因素，主要有以下几个方面：

试验设备的不精确性 试验材料的不均匀性

试样尺寸和形状的不一致性 试样加工过程的不一致性

试样热处理过程的不一致性 试验环境的偶然变迁。

上述这些造成疲劳试验结果分散的因素（包括一些未知因素），统称作偶然因素。每个试样的疲劳寿命取什么值，事先并不知道，只有待试验做完，才能确定其大小，它的大小受到偶然因素的影响，这种随偶然因素而改变的量称作随机变 27

量。随机变量的取值虽然受偶然因素的影响，但并非彼此独立互不相关，而是遵循一定的规律。寻找疲劳数据的统计学规律，根据子样观测数据的统计性质来推断母体的性质，是疲劳数据统计分析的基本任务。

3.1 母体、个体、子样和子样大小

母体也称作总体，它指的是研究对象的全体。个体指的是母体中的一个基本单元。为了推测母体的性质，常从母体中抽取一部分个体来加以研究，这些被抽取的一部分个体称作子样或样本，子样所包含的个体的数目，称作子样大小。

3.2 观测数据的特征值

常用的特征值分为两类，一类是表示数据的集中位置的，如平均值和中值，另一类是表示数据的分散性质的，如方差、标准差（标准偏差）和变异系数等。

平均值是指从母体中随机抽取子样观测值的算术平均值，它反映了数据的集中位置，如下式：

_x1nx1x2xnxi

ni11n中值也是一种表示数据集中位置的特征值，也称作中位数，他是将一组数据按大小顺序排列，居于正中间位置的数值，当观测数据总数为奇数时，中值就是排列在正中的那个数，当观测数据的总数为偶数时，中值为居于中间位置的两个数的平均值。

一组数据中，每个观测值与平均值之差称作偏差，代表各观测值偏离平均值的大小，显然偏差的绝对值越大，数据也就越分散，每组数据所有偏差的总和为零。可见对于n个偏差只有n-1个是独立的，即n-1个自由度。

由于偏差有的为正值，有的为负值，其总和为零，无法用偏差总和度量观测数据的分散性，从而引入子样方差作为分散性的度量，子样方差定义为由母体中 28

抽取的子样中每个个体偏差的平方和与子样偏差自由度的商，如下式所示：

_2xxdii2si1i1n1n1nn2

子样方差的平方根称作子样标准差，它是衡量分散性的重要指标，其数据越大表示数据越分散，标准差恒为正值，它的单位与观测值的单位相同，子样标准差可用来估算母体标准差。

标准差只与各个观测值偏差的绝对值有关，而与各个观测值本身大小无关，它并未计及观测值本身的大小，对于标准差相同的两组观测值而言，如果其本身的大小不同，显然其分散程度是不同，为比较不同观测值的分散程度，将标准差除以观测值的平均值，由此得到的特征值称作变异系数或离差系数。变异系数是无量纲的，不同性质、不同单位的两组观测值的分散性可用变异系数进行比较。

3.3 正态及对数正态频率分布函数

多年来，人们对各种研究对象（如对数寿命、零件尺寸、材料性能、化学成分、测量误差等等）进行了大量的统计分析，根据这些研究对象所作出的实验频率曲线（如图15）大多具有以下的一些特征：

图15 正态分布的实验频率曲线

曲线的纵坐标恒为非负值。

观测值在平均值附近出现的机会最多，所以曲线存在一个高峰。

29

大小相等、符号相反的偏差发生的频率大致相等，所以曲线具有一中心对称轴。

曲线两端向左右延伸逐渐趋近于零，这表明特大正偏差和特大负偏差的频率极小，一般很少出现

数学家们根据上述条件，推导出了下式所示的理论频率分布函数：

fx1x2exp

222这就是正态频率分布函数。式中ζ为标准差，μ为平均值，x为随机变量。对于对数正态分布，随机变量为观测值的对数。

判断一个随机变量的分布是否符合正态分布的方法有两种，一是作图法，一是解析法。

无论是作图法还是解析法，首先要作的是计算随机变量一组观测值中每个观测值的失效概率，可按下式估算：

pin1

式中，i为观测值由小到大排列的顺序数。

所谓作图法，是将一组观测值的取值以及与其对应的失效概率计算值标示在特制的正态概率坐标纸上（如图16），如果这些数据点大至呈直线分布，则表明随机变量符合正态分布。

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图16正态概率坐标

解析法是根据标准正态偏量与失效概率之间的一一对应关系将失效概率值换算成标准正态偏量，将标准正态偏量与随机变量的取值进行线性拟合，并求得线性相关系数，线性相关系数越接近1，说明线性越好，观测值越符合正态分布。

3.4 威布尔频率分布函数

虽然正态分布在疲劳统计中一直是最重要的理论频率分布函数，但威布尔频率分布函数也得到了广泛的应用，它的优点在于存在有最小安全寿命，即100%存活率的安全寿命。而按照正态分布理论，只有当对数安全寿命趋于负的无穷大，即寿命为0时，存活率才等于100%，显然这是不符合实际情况的，这也是正态分布理论的不足之处。另外，根据长期实践经验，正态分布理论适用于中等寿命区（疲劳寿命大致在104－106循环）的情况，而威布尔分布理论则不限于在这个范围内，对于疲劳寿命大于106循环的长寿命区，有些试验结果也近似地符合威布尔分布，从而能给出在长寿命区的安全寿命。特别是对于滚动轴承的疲劳寿命，利用威布尔分布理论，常常会得到满意的结果。但由于威布尔频率函数的数学形式繁琐，使它在一些统计推理方面的应用受到限制。

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疲劳寿命的威布尔频率分布函数表达式如下：

NN0fxNaN0NaN0bb1expbNN0

NN0a

N0N

式中包含有三个参数，N0为最小寿命参数，Na为特征寿命参数，b为威布尔形状（或斜率）参数。由于威布尔频率函数中包含有三个待定参数（正态分布中只有两个），所以它更能完善地拟合试验数据点。

当b＝1时，威布尔分布函数为一简单的指数频率函数，当b＝2时，为瑞利频率函数，当b＝3－4时，接近正态频率函数。如图17所示为不同b值时的威布尔频率分布曲线，曲线高峰通常偏向左，偏斜程度随b而变化，对于b大于1的情况，当N＝N0时曲线与横座标轴相交，由图可知，存在有概率等于零的最小安全寿命值N0，曲线向右延伸至无穷远处，以横座标轴为渐近线。

图17 威布尔分布频率曲线

威布尔分布的存活率表达式如下：

NN0pexpNN0ab

将上式取倒数，并两边取两次自然对数，得下式：

lnln1p2.303blgNN02.303lgNaN0

由上式可知，lnln

1p与lgNN0之间呈线性关系。以lnln1p为纵座标，以lgNN032

为横座标，便构成了威布尔分布的概率座标纸，在此座标纸上，上式呈一直线方程，其斜率为－2.303b。为了便于使用和更加直观，实际使用威布尔座标纸时，是以存活率p为纵座标（如图18）。

如果疲劳寿命遵循威布尔分布，并且最小寿命N0不等于零时，则由上式可知，lnln1p与lgN必成一条曲线，而且当lgN接近lgN0时，lgN1pN0趋近于负的无穷大，则lnln趋近于正无穷大，所以曲线在lgN0处存在有一条垂直渐近线。另外，1p对于最小寿命N0等于零时的特殊情况，lnln与lgN形成一条直线。处理数据时，就常常利用这些性质来确定最小寿命N0的值。

图18 威布尔概率坐标

33

4 疲劳数据的统计推断

统计推断是根据一个子样或几个子样推断母体的情况，也就是说，由母体中抽取一小部分个体来说明母体的某些性质。这种推断并没有百分之百的把握，而是以一定的概率作出判断的，统计推断一般包括统计假设的检验和母体参数的估计两类问题。为了说明统计假设检验，我们从两种不同性质的误差谈起。

偶然误差：它是由于一些偶然因素引起的。如试件尺寸，材料以及受力不完全等同，将会使试验结果产生分散性，此种分散性即起源于偶然误差。偶然误差的出现常常包含很多未知因素在内。我们无论怎样精确地控制试验条件的一致，也不可能完全避免偶然误差的存在。

系统误差：它是由于某种确定因素引起的。可分为两类，一类是条件误差，如试验温度、试件的材料成分、工艺方法、构造形式等确定条件改变所引起的差异，均属条件误差。为了研究某种因素的影响，人们常常有意识地改变试验条件，根据对试验结果的分析，视其是否有条件误差存在，来断定该种因素是否起作用。另一类是设备误差和测量误差，如试验设备测力系统未经校准、加载装置偏心以及操作技术不当等。为了保证试验能够正常进行，将此类误差控制在一定限度内是必要的，也是可能的。以下着重讨论偶然误差和条件误差。

偶然误差和条件误差经常伴随一起出现，除了特别明显的情况外，一般是难于分辨的。如何判断此种差异纯属偶然误差，还是同时有条件误差存在，统计假设检验提供了解决这类问题的方法。其作法是，首先假设：试验条件改变后仍然不存在有条件误差，然后，根据实测子样的结果与已知的母体，通过一定运算步骤，检验这个假设是否合理，从而决定接受还是拒绝假设。若必须拒绝假设，说明子样与已知母体之间包含有条件误差，否则只是偶然误差。应该指出，在统计理论中，假设和假定是两个不同的概念。假设指的是一种真伪尚待检验的设想， 34

而假定则是在处理问题时给定的条件和前提，非检验对象。

统计推断解决的另一类问题是母体参数的估计。母体参数的估计又可分为点估计和区间估计。一些母体参数除了在某些情况给定以外，其真值是不知道的，因为理论上的真值是设想经过无限多次观察所获得的数值，而从一个子样得到的数据，观测次数是有限的，由此求得的母体参数点估计量不可能等于真值，所以，有时须用区间估计母体参数，区间的限度可以反映出估计的误差。在一定概率下，通过子样特征值估计母体参数的所在区间，就是母体参数的区间估计。

4.1 检验一个子样是否来自已知平均值的母体

首先举例说明此项检验的意义。某种型号的钢材，标准规定强度极限为1500MPa，从一批钢材中抽取一个子样得到一组试验数据，其均值为1450MPa，常规观点会认为该批钢材不符合标准，但按照统计观点，则不能简单地作出这样的结论，由于偶然误差的存在，平均值为1450MPa的钢材有可能来自均值为1500MPa的母体。这就是此项检验所要回答的问题。

理论上可以证明，从一个已知平均值和标准差的母体中随机抽取一个又一个大小为n的子样，求出一个又一个子样平均值。如果把每个子样的平均值看作变量的话，则这个变量的取值是随机的，不管母体的分布如何，只要子样n足够大，这个平均值的分布总是按正态分布，并且该分布的平均值与母体的平均值相等，标准差为母体标准差的1n。

根据上述定理，假定所抽取子样来自已知平均值（µ0）和标准差（ζ）的母体，从而得到子样平均值的分布参数和分布图如图19所示，由此可求出子样平均值落在某一区间内的概率。取一个相对较大的概率区间（如图中的概率区间为95%）作为接受区间，查标准正态偏量表，求得接收区间标准正态偏量的取值µγ，按 35

0nx0n求出子样平均值的接受区间，如果假设成立，则所取子样的平均值应落在该接受区间内。如果在一次抽样中子样平均值落在接受区间以外的舍弃区间，按照小概率事件在一次试验中几乎不可能出现的原理，则只能认为被抽取子样的母体平均值不为µ0，亦即这个子样不是来自平均值为µ0的母体，因而不能接受假设。

图19 接受区间和舍弃区间

4.1.1子样大小问题

前面提及，只要子样足够大，则不论母体为何种分布，子样平均值总可看作正态分布。根据工程经验，一般以50左右作为大子样和小子样的分界。但这并不是一个严格的规定，因为子样平均值趋近正态分布所需的子样大小，取决于被抽母体的分布形状。如果母体的分布接近正态分布，则所需要的子样还可以小一些。

4.1.2小子样问题

根据统计学原理，当母体符合正态分布时，子样平均值的分布恒为正态分布。但对于小子样，由于不能用子样标准差代替母体标准差，因此，在进行小子样检验时，必须附加两个条件，即母体按正态分布并已知母体标准差。

4.1.3舍弃区间的概率取值问题

如前所述，我们取了一个较大的概率区间作为接收区间，则接收概率区间以外的概率区间为舍弃区间。子样的取值如落在舍弃区间时，认为是小概率事件， 36

小概率事件在一次抽样中不可能发生，由此认为子样来自已知母体的假设不成立。问题是舍弃区间的概率值取多少合适，换句话说，多大的概率是小概率，这个问题没有名确的答案，只能是人为地按照不同的目的来确定。如果希望拒绝假设，可以把舍弃区间取大一些，反之则应取小一些（工程上一般取5%）。例如，目的是为了提高生产率，那么，对零件疲劳寿命进行显著性检验时，只要寿命不明显降低即可。在这种情况下，如果新工艺能够大大提高生产率，而且改装设备花费的成本不大，则舍弃区间可以取得小一些（如取1%），以便放宽接受区间，有意识地力图接受统计假设。又例如改进工艺的目的是为了提高零疲劳寿命，并且新工艺比较容易实现，费用也不大，则对零件疲劳寿命进行检验时，舍弃区间可以取大一些（如取10%），有意识地力图拒绝假设。

4.2 检验两个子样母体平均值是否相等

在疲劳设计中，常常遇到这种情况，就是需要比较两种设计方案，哪一种方案的疲劳性能好。进行这种对比试验时，做对比的两组试样分别取自两批产品（两个母体），两组数据的子样平均值必然会有一些差异。检验这种差异属偶然误差，还是同时存大有条件误差，则是本节所要解决的问题。

假定被抽样的两个母体都按正态分布，两个母体的标准差相等。现以µ1和µ2分别表示两个母体的平均值，ζ表示两个母体的标准差。设从第一母体中抽取的大小为n1的子样平均值为X1，从第二母体中抽取的大小为n2的子样平均值为X2。则X1和X2均为正态变量，X1的母体平均值和标准差分别为µ1和值和标准差分别为µ2和n2n1，X2的母体平均。根据正态概率分布理论，两个正态变量之差仍为正1n11n2态变量。由此可知，X1－X2仍为正态变量，其标准差为

。

37

现在假设：“被抽取的两个母体平均值相同”，即µ1＝µ2。由此可知，X1－X2的平均值为零，从而得到X1－X2的频率曲线如图20。同样的方法，取一个相对较大的概率区间（如图中的概率区间为95%）作为接受区间，查标准正态偏量表，求得接收区间标准正态偏量的取值µγ，按1n11n2X1X21n11n2求出两个子样平均值之差（X1－X2）的接受区间，如果假设成立，则两个子样平均值之差（X1－X2）应落在该接受区间内。如果在一次抽样中两个子样平均值之差（X1－X2）落在接受区间以外的舍弃区间，按照小概率事件在一次试验中几乎不可能出现的原理，则只能认为被抽取的两个子样母体平均值不相等，因而不能接受假设。

图20 标准差相同的两个正态变量差值的频率曲线

需要说明的是，在假设检验过程中，我们提出了两个母体标准差相等的假定，从而使得该统计推断受到限制，应用十分不便。

事实上，上述的两种统计推断，都是针对大子样而言的。对于疲劳试验来说，人力物力都消耗很大，大子样一般很难作到。当利用小子样进行检验时，虽然母体按正态分布这一条件容易得到满足，但必须知道母体标准差，但通常标准差是 38

未知的。上述矛盾的解决，有待后面将要介绍的t分布理论。而在这里介绍上述的统计假设方法，主要是为了说明统计推断的逻辑思想及其重要的基本概念。

5 t分布和F分布及其在疲劳检验中的应用

t函数和F函数均为随机变量的函数，因而其本身的取值也是随机的，是随机量。其频率分布曲线可由构成其函数关系的随机变量的分布规律推导而来，其推导过程是一个复杂的数学运算过程，有关的数理统计书籍上均有介绍，并给出了不同概率区间的函数取值表可供查阅。

t函数的定义为：txU2，其中U为标准正态随机变量，2为标准正态随机变量的平方，

为2取值的自由度。t函数的频率曲线和标准正态频率曲线相类似（如图21），对纵坐标轴是对称的。当的取值趋向无穷大时，t函数趋于标准正态分布。

图21 t频率曲线和标准正态频率曲线

F函数的定义为：Fx1/12/222，其频率曲线如图22。

39

图22 F频率曲线

5.1 检验一个小子样是否来自已知平均值的母体

设X表示从正态母体N（µ；ζ）中随机抽取的大小为n的子样平均值，于是可写成标准正态变量：UXn，由此可得t函数如下：

XtxU22n(X)n2

如以s表示从正态母体N（µ；ζ）中随机抽取子样的方差，根据标准正态变2x量平方函数的分布定理有：自由度为n1的2(n1)sx/22，其取值的自由度为nn1。由此可得t变量取值为：txXsx。

如果已知母体的平均值为µ0，现在，我们作统计假设：所抽取子样来自已知平均值为µ0的母体，则所取子样t变量的取值为：tX0sn。其中X为所取子样的平均值，s为所取子样的标准差，n为所取子样的大小。

取一个相对较大的概率区间作为接受区间，查t变量分布数值表，求得接收区间t变量的取值tγ，按tX0snt求出t变量的接受区间，如果假设成立，则所取子样的t值应落在该接受区间内。如果在一次抽样中子样的t值落在接受 40

区间以外的舍弃区间，按照小概率事件在一次试验中几乎不可能出现的原理，则只能认为被抽取子样的母体平均值不为µ0，亦即这个子样不是来自平均值为µ0的母体，因而不能接受假设。

5.2 正态母体平均值的区间估计

利用t分布理论，利用小子样，在一定的置信度下，对正态母体平均值进行区间估计。

选取置信度γ，查t分布数值表可得tγ，则有t可得：xtsnxtsnXsnt将此式移项后，此即为置信度为γ时的母体平均值置信区间。由此式可知，置信度γ愈大，则tγ愈大，置信区间愈宽。而我们希望置信区间小些，置信度大些才好。但根据上述理论，置信区间减小，置信度也将随之减小，为了解决这一矛盾，即不降低置信度，又能缩小置信区间，则只有采取增加子样大小的办法。

5.3 一定误差限度下的最少试样个数

对于正态母体，母体平均值即为母体中值，由母体中抽取的子样平均值即为母体中值估计量。我们把母体真值的区间估计式xt整理后可得：stxnsnxtsn再进行移项并xxstxn，式中xx表示子样平均值与母体真值之间的相st对误差。令δ表示相对误差限度，则有xn，选取一定的置信度和误差限度，在试验得到一个子样的平均值和标准差后，即可根据此式对达到要求的置信度和误差限度所需的子样大小进行计算。

41

5.4 检验两个小子样是否来自标准差相同的两个母体

为了检验两种产品质量的优劣，或者辨别两种不同处理条件的效应，除比较它们的平均值外，还要比较它们的标准差。检验两个子样的标准差是否相同，可应用F函数。

前已述及，如以s表示从正态母体N（µ；ζ）中随机抽取子样的方差，根据2x标准正态变量平方函数的分布定理有：2(n1)sx/22，其取值的自由度为n1。

从两个正态母体N1（µ1；ζ1）和N2（µ2；ζ2）中，各随机抽取的子样大小分别为n1和n2、子样方差分别为s12和s22，可得：由此得F函数变量的取值为：

(n11)sx1Fx221(n11)sx1/122，22(n21)sx2/222，1/1/222211(n21)s2x22sx1s2x2212

22222现在假设“被抽取的两个正态母体的标准差相同”，即ζ1＝ζ2，由此可得Fs12变量的取值为：F1s222s1s22222。以一定的概率区间作为接收区间，查表得到F变量取值的接收区间，若F值落在接收区间内，则接受假设，否则拒绝假设。

5.5 疲劳对比试验

当需要了解两种工艺方法或设计方案中的哪一种有利于提高疲劳强度时，常常需要做对比试验。把待做对比试验的两类试验件，在同一加载条件下进行疲劳对比试验，根据试验结果作出判断。疲劳对比试验除了对比母体平均值（产品平均水平）外，还需对母体标准差进行检验。本节前面已经介绍了母体标准差的F检验法。另外在上一节也介绍了一种小子样的平均值检验法（u检验法），但其检 42

验的前提是必需已知母体标准差。这里应用的t检验，无须知道母体标准差，因此被广泛应用。

成组对比试验，每组试件一般不少于5个。根据两组试验结果，检验两个小子样是否来自平均值相同的两个母体。应用t分布检验平均值，必须满足被抽样的两个母体的标准差相等的条件。所以在应用t检验法之前，需要通过F检验，以证实这一条件是否成立。根据实践经验，对于大多数情况，该条件很容易得到满足。

假设“两个正态母体的平均值相同”，则t检验法使用的t变量的取值公式如下（推导过程从略）。

tx1x2(n11)s(n21)sn1n222122

1n11n2式中x、n、s分别为两个子样的平均值、子样大小和标准差。求出t变量的取值后，按自由度n1n22查t函数取值表求出一定概率下的接受区间，如果假设成立，则t值应落在该接受区间内。如果在一次抽样中子样的t值落在接受区间以外的舍弃区间，按照小概率事件在一次试验中几乎不可能出现的原理，则只能认为被抽取的两个子样的母体平均值不相同，因而不能接受假设。

对于标准差不相同的两个母体的小子样，检验其平均值是否相同时，t函数的取值公式如下：

tx1x2s2122

n1sn2但其自由度为最接近下式取值但比它小的整数值。

(s122n12s22n2)121n11n1

(s1)n21n2(s22

)243

6 疲劳极限测试

6.1 疲劳试验机

疲劳试验机是测定材料疲劳抗力的设备，由于构件所承受的载荷种类、应力大小、速度及使用条件各不相同，为了模拟实际工作状态，就必须有不同类型的试验机。

按加载方式分：旋转弯曲疲劳试验机、拉压疲劳试验机、扭转疲劳试验机、复合加载疲劳疲劳试验机。

按加载原理分：强迫加载式，加载频率和加载速度可无极可调，但能耗高。共振加载式，能耗低，加载频率决定于系统的共振频率，频率在有限范围内有极可调，对试样有严格要求。

几种常用的疲劳试验机照片。

6.2 疲劳极限测试方法

疲劳极限和条件疲劳极限的测试，国内外普遍采用的最权威的方法是升降法。由于升降法试验周期长，人力物力消耗大，因此人们希望采用更加简单、快捷的方法，如康明斯公司使用的SAFL法等。

升降法

升降法用于在指定的循环基数下的测定疲劳极限或疲劳强度。其试验原理如图23所示。如果试件在第i级应力下未达到循环基数就发生断裂，而在较低的第i+1级超越循环基数，可以设想疲劳极限必定位于第i级和第i+1级应力之间。若两级应力之间的差值很小（小于第i+1级的5%），则取第i级和第i+1级应力的平均值近似作为疲劳极限，把上述出现相反试验结果的第i级和第i+1级应力作为一对数据。基于上述原理，开始时选用较高的应力水平，从高向低逐级降低应力 44

水平，随后试验的应力水平取决于前一试样的试验结果，凡前一个试件未达到指定循环数时发生破坏，则随后的一次试验就在低一级的应力水平下进行，凡前一个试件超越，则随后的一次试验就在高一级的应力水平下进行。重复以上试验，获得若干对数据将，从而取得对应同一循环基数的许多个疲劳极限近似值，将这些疲劳极限近似值作为随机变量进行统计分析，就可得到所需要的统计结果。

图23

SAFL法

SAFL是疲劳极限统计分析（Statistical Analysis for Fatigue Limit）的英文缩写，SAFL试验法的理论是建立在材料的疲劳性能曲线（应力－寿命曲线）为一幂函数曲线这一经验之上的。即双对数坐标下材料的应力－寿命之间为一直线关系。

两点确定一条直线。对于任何一个试样，如果能够在两个载荷水平下测得该试样的寿命，就可以确定一条直线，从而得到该试样在给定寿命下的疲劳极限。但事实上，一个试样不可能测得两级载荷下的寿命，而只能在一个载荷下试验直至失效从而得到一个载荷下的寿命。为此，将静拉试验时试样的真实断裂强度作为寿命为四分之一周次时的疲劳载荷引入到疲劳性能曲线中，从而得另一个点， 45

这就是QCI（Quarter Cycle Intercept）。这样，将QCI点与各级载荷下得到的各试样寿命点相连可得到一条直系，这条直系与给定寿命的直线所截交点所对应的载荷，就是这个试样在给定寿命下疲劳极限。每批试验，试验N个试样，可得到N个疲劳极限，按正态分布将N个疲劳极限进行统计，得到该批试样疲劳极限的均值和标准差。

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