三角函数定义域

三角函数定义域

10月放假-索尼酷拍

2023年3月19日发(作者：做人要厚道)

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--

三角函数定义及其三角函数公式汇总

1、勾股定理：直角三角形两直角边

a

、b的平方和等于斜边

c

的平方。222cba

2、如下图,在Rt△AＢC中,∠C为直角，则∠Ａ的锐角三角函数为(∠A可换成∠Ｂ）:

定义表达式取值范围关系

正

弦

斜边

的对边A

A



sin

c

a

Asin

1sin0A

(∠A为锐角)

BAcossin

BAsincos

1cossin22AA

余

弦

斜边

的邻边A

A



cos

c

b

Acos

1cos0A

(∠A为锐角）

正

切的邻边

的对边

A

tan







A

A

b

a

Atan

0tanA

（∠A为锐角）

BAcottan

BAtancot

A

A

cot

1

tan

(倒数）

1cottanAA

余

切

的对边

的邻边

A

A

A





cot

a

b

Acot

0cotA

(∠A为锐角)

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦

值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切

值

sin（α+β)＝ｓinαcoｓβ＋cosαsinβﻫsin（α-β）=sinαcosβ－ｃosαsinβﻫcｏs(α+β）

=cosαcosβ－sinαsinβﻫcos(α-β）＝cosαcosβ＋ｓinαsinβ

)90cos(sinAA

)90sin(cosAA

BAcossin

BAsincos

A90B

90





得

由BA

对

边

邻边

斜边

AC

B

b

a

c

A90B

90





得

由BA

--

--

6、正弦、余弦的增减性：

当0°≤



≤９０°时，sｉn



随



的增大而增大,ｃos



随



的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：

当0°<



<90°时,ｔan



随



的增大而增大，ｃoｔ



随



的增大而减小。

1、解直角三角形的定义:已知边和角(两个，其中必有一边)→所有未知的边和角。依据:①边

的关系：

222cba

；②角的关系：A+Ｂ=9０°;③边角关系:三角函数的定义。(注意：

尽量避免使用中间数据和除法)

2、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角;俯角：视线在水平线下方的角。

仰角

铅垂线

水平线

视线

视线

俯角

:ihl

h

l

α

--

--

（2）坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即

h

i

l

。坡

度一般写成1:m的形式，如1:5i等。

把坡面与水平面的夹角记作



(叫做坡角）,那么tan

h

i

l

。

３、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图３，OA、

OB、OC、OＤ的方向角分别是：4５°、１３5°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、

ＯＢ、ＯC、OD的方向角分别是：北偏东３0°(东北方向），南偏东45°（东南方

向），

南偏西60°（西南方向)，北偏西60°（西北方向)。

sｉn（α＋β)＝ｓinαcosβ＋cosαsｉnβﻫsｉn（α－β)=ｓinαcｏsβ－ｃoｓαｓｉｎβ

cｏs(α+β)＝cosαcoｓβ－ｓinαsinβﻫｃoｓ(α-β）=cosαcｏsβ+sｉnαsｉnβﻫ

三角函数公式汇总１

⒈L弧长=R=＼F（nπR,1８0)S扇＝

2

1

L

Ｒ＝

2

1

R２=

360

2Rn

⒉正弦定理:

A

a

sin

＝

B

b

sin

=

C

c

sin

=2Ｒ（R为三角形外接圆半径)

⒊余弦定理：a2=b2+ｃ2－２ｂcAcosb2＝ａ2＋c2-２acBcos

c2＝a2＋b2－２abCcos

bc

acb

A

2

cos

222



⒋S⊿=

2

1

ａ

a

h=

2

1

abCsin=

2

1

bcAsin=

2

1

acBsin=

R

abc

4

=2R2AsinBsinCsin

=

A

CBa

sin2

sinsin2

＝

B

CAb

sin2

sinsin2

＝

C

BAc

sin2

sinsin2

=pr=))()((cpbpapp

--

--

(其中)(

2

1

cbap，ｒ为三角形内切圆半径)

⒌同角关系：

⑴商的关系:①tg=

x

y

=





cos

sin

＝

secsin②







csccos

sin

cos



y

x

ctg

③tg

r

y

cossin④





csc

cos

1

sectg

x

r

⑤ctg

r

x

sincos⑥





sec

sin

1

cscctg

y

r

⑵倒数关系：1seccoscscsinctgtg

⑶平方关系：1cscseccossin222222ctgtg

⑷)sin(cossin22baba（其中辅助角与点(a,b)在同一

象限,且

a

b

tg）

⒍函数y=)sin(xAｋ的图象及性质：（0,0A)

振幅A,周期T=



2

,频率f=

T

1

,相位x,初相



⒎五点作图法:令x依次为







2,

2

3

,,

2

0求出ｘ与y，依点

yx,作图

⒏诱导公试

ｓｉ

n

cosｔgcｔg

--sin+cos-tg-ctg

--

--

三角函数值等于的同名

三

角函数值，前面加上一个把



看作锐角时,原

三角函数

值的符号;即：函数名不变，

符号看象限

三角函数值等于的异名

三角函数值,前面加上一个

把看作锐角时,原

三角函

数值的符号;即：函数名改

变，符号看象限ﻫ⒐和差角

公式

①

sincoscossin)sin(

②sinsincoscos)cos(ﻫ③







tgtg

tgtg

tg







1

)(

④)1)((tgtgtgtgtg

⑤







tgtgtgtgtgtg

tgtgtgtgtgtg

tg







1

)(其中当A+Ｂ+Ｃ=π时，

有:

ｉ）.tgCtgBtgAtgCtgBtgAi

ｉ)．1

222222



C

tg

B

tg

C

tg

A

tg

B

tg

A

tg

－+

sin-

cos-

tg

－

ctg



＋



-

sin-

cos+

tg

+

ctg

2－

-

sin+

cos-

tg

－

ctg

2k+

+

sin+

cos＋

tg

+

ctg

ｓiｎｃontgｃtg







2

+

cos+

sin＋

ctg

＋

tg







2

+

cos-

sin

-

ctg

－

tg







2

3

－

cos

－

sin

+

ctg

+

tg







2

3

-

cos+

sin－

ctg

－

tg

--

--

⒑二倍角公式：(含万能公式)

①







21

2

cossin22sin

tg

tg





②







2

2

2222

1

1

sin211cos2sincos2cos

tg

tg







③







21

2

2

tg

tg

tg



④

2

2cos1

1

sin

2

2

2

















tg

tg

⑤

2

2cos1

cos2









⒒三倍角公式:

①)60sin()60sin(sin4sin4sin33sin3

②)60cos()60cos(cos4cos4cos33cos3

③)60()60(

31

3

3

2

3













tgtgtg

tg

tgtg

tg

⒓半角公式：(符号的选择由

2



所在的象限确定）

①

2

cos1

2

sin



②

2

cos1

2

sin2



③

2

cos1

2

cos





④

2

cos1

2

cos2



⑤

2

sin2cos12



⑥

2

cos2cos12





⑦

2

sin

2

cos)

2

sin

2

(cossin12





⑧













sin

cos1

cos1

sin

cos1

cos1

2













tg

⒔积化和差公式:

)sin()sin(

2

1

cossin)sin()sin(

2

1

sincos

)cos()cos(

2

1

coscoscos)cos(

2

1

sinsin

⒕和差化积公式:

①

2

cos

2

sin2sinsin







②

2

sin

2

cos2sinsin









--

--

③

2

cos

2

cos2coscos







④

2

sin

2

sin2coscos









⒖反三角函数：

⒗最简单的三角方程

方程方程的解集

axsin

1aZkakxx,arcsin2|

1aZkakxxk,arcsin1|

axcos

1aZkakxx,arccos2|

1aZkakxx,arccos2|

atgx

Zkarctgakxx,|

名称函数式定义域值域性质

反正弦函

数

xyarcsin1,1增















2

,

2



-arcsinxarcsin(-x)

奇

反余弦函

数

xyarccos

1,1减

,0

xxarccos)arccos(

反正切函

数

arctgxy

R增















2

,

2



arctgx-arctg(-x)

奇

反余切函

数

arcctgxy

Ｒ减

,0

arcctgxxarcctg)(

--

--

actgx

Zkarcctgakxx,|

三角公式汇总２

一、任意角的三角函数

在角



的终边上任取

．．

一点

),(yxP

,记:22yxr

，

正弦：

r

y

sin

余弦:

r

x

cos

正切：

x

y

tan余切：

y

x

cot

正割：

x

r

sec

ﻩ余割：

y

r

csc

注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图,与单

位圆有关的有向

．．

线段MP、OM、AT分别叫做角



的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式

倒数关系:1cscsin,1seccos,1cottan。

商数关系:







cos

sin

tan

,







sin

cos

cot

。

平方关系:1cossin22，22sectan1,22csccot1。

三、诱导公式

⑴k2)(Zk、

、、

、2的三角函数值,等于



的同

名函数值,前面加上一个把



看成

．．

锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名不变，符

号看象限）

⑵





2

、





2

、





2

3

、





2

3

的三角函数值,等于



的异名函数值,前面

加上一个把



看成

．．

锐角时原函数值的符号。（口诀:函数名改变，符号看象限)

--

--

四、和角公式和差角公式

sincoscossin)sin(

sincoscossin)sin(

sinsincoscos)cos(

sinsincoscos)cos(







tantan1

tantan

)tan(













tantan1

tantan

)tan(







五、二倍角公式

cossin22sin

2222sin211cos2sincos2cos…)(







2tan1

tan2

2tan





二倍角的余弦公式)(有以下常用变形:(规律:降幂扩角，升幂缩角)

2cos22cos12sin22cos1ﻩ

2)cos(sin2sin12)cos(sin2sin1

2

2cos1

cos2









,

2

2sin1

sin2









,











2cos1

2sin

2sin

2cos1

tan









。

六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式)







2tan1

tan2

2sin





,







2

2

tan1

tan1

2cos





，







2tan1

tan2

2tan





。

万能公式告诉我们,单角的三角函数都可以用半角的正切

．．

来表示。

七、和差化积公式

2

cos

2

sin2sinsin









ﻩ…⑴

2

sin

2

cos2sinsin









ﻩ…⑵

2

cos

2

cos2coscos









ﻩ…⑶

2

sin

2

sin2coscos







…⑷

--

--

了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：

2

sin

2

cos

2

cos

2

sin

22

sinsin

































2

sin

2

cos

2

cos

2

sin

22

sinsin

































两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。

2

sin

2

sin

2

cos

2

cos

22

coscos

































2

sin

2

sin

2

cos

2

cos

22

coscos

































两式相加可得公式⑶,两式相减可得公式⑷。

八、积化和差公式

)sin()sin(

2

1

cossin

)sin()sin(

2

1

sincos

)cos()cos(

2

1

coscos

)cos()cos(

2

1

sinsin

我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

九、辅助角公式

)sin(cossin22xbaxbxa（)

其中：角的终边所在的象限与点

),(ba

所在的象限相同，

22

sin

ba

b





，

22

cos

ba

a





，

a

b

tan。

十、正弦定理

R

C

c

B

b

A

a

2

sinsinsin



（R为ABC外接圆半径）

十一、余弦定理

Abccbacos2222

Baccabcos2222

--

--

Cabbaccos2222

十二、三角形的面积公式

高底

2

1

ABC

S

BcaAbcCabS

ABC

sin

2

1

sin

2

1

sin

2

1





（两边一夹角）

R

abc

S

ABC4





(R为ABC外接圆半径）

r

cba

S

ABC







2

(r为

ABC

内切圆半径）

ﻩ))()((cpbpappS

ABC





…海仑公式（其中

2

cba

p





)

x

y

)2,2(A

o

0yx

cossin

cossin

cossin

x

y

)2,2(A

o

0yx

0cossin

0cossin

0cossin