外心的性质

外心的性质

抗疫金句-cad双线命令

2023年3月18日发(作者：小燕子儿歌歌词)

三角形的“四心”

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形

时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心

定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，

即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O表示。

性质：

1.外心到三顶点等距，即OCOBOA。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一

边，即ABOFACOEBCOD,,.

CBBOCA

2

1

,

2

1

,

2

1

。

二、三角形的内心

定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一

般用字母I表示，它具有如下性质：

性质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝

2

1

三角形的周长



内切圆的半径．

BFAFAE,,；

CDBFAE三角形的周长的一半。

4.,

2

1

90ABICBCIA

2

1

90，CAIB

2

1

90。

三、三角形的垂心

定义：三角形三条高的交点叫重心。ABC的重心一般用字母H表示。

性质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边，

即ABCHACBHBCAH,,。

2.△ABH的垂心为C，△BHC的

垂心为A，△ACH的垂心为B。

四、三角形的“重心”：

定义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC的重心一般用字母G表示。

性质：

1.顶点与重心G的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GFGCGEGBGDGA2,2,2

3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．

即

3

,

3

CBA

G

CBA

G

yyy

y

xxx

x







.

4.向量性质：（1）0GCGBGA；

（2）)(

3

1

PCPBPAPG，

5.

ABCAGBCGABGC

SSSS





3

1

。

五、三角形“四心”的向量形式：

结论1：若点O为ABC所在的平面内一点，满足

OAOCOCOBOBOA

，

则点O为ABC的垂心。

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足

222222ABOCCAOBBCOA，

则点O为ABC的垂心。

结论3：若点G满足

0GCGBGA

，则点G为ABC的重心。

结论4：若点G为ABC所在的平面内一点，满足)(

3

1

OCOBOAOG，

则点G为ABC的重心。

结论5：若点I为ABC所在的平面内一点，并且满足

0ICcIBbIAa

（其中cba,,为三角形的三边），则点I为△ABC的内心。

结论6：若点O为ABC所在的平面内一点，满足

ACOAOCCBOCOBBAOBOA)()()(，则点O为ABC的外心。

结论7：设,0，则向量)

||||

(

AC

AC

AB

AB

AP，则动点P的轨迹过ABC的内心。