函数解析式
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2023年3月5日发(作者：采购经理人)学习好资料欢迎下载
函数专题之解析式问题
求函数解析式的方法
把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。
求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知
f(x)
求
f[g(x)]
或已知
f[g(x)]
求
f(x)
：换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）外还有其他未知量，需构造另个等式：解方
程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。
一【待定系数法】（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）
若已知f(x)的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从
而求出待定的参数，求得f(x)的表达式。
【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。
分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠则0)f(x+1)=?，f(x-1)=?
解：设f(x)=ax+b(a≠，0)由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，
∴f(x)=2x+7【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7
分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠则0)f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=?
解：设f(x)=ax+b（a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7
∴a
3x+b(a2+a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1
【评注：】
待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
待定系数法
例题：
设二次函数
f(x)
满足f(x2)
f(x2)
且图象在
y轴上的截距为
1，在
x轴截
得的线段长为22，求f(x)的解析式。
f(x)
满足某个等式，这个等式除
f(x)
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解法一、
ax2设f(x)bxc(a0)
由f(x
2)f(x2)
得4ab0
x1x222b24ac8a2
a
又c1
解得a
1
,b
2,c1
2
f(x)
1x22x1
2
解法二、
由f(x2)f(x2)
x2得yf(x)的对称轴为
设f(x)
a(x2)2k
f(0)14ak1
x1x2222
k
22
a1
,k
a1
2
1
(x2)
2
1f(x)
2
1x22x1
2
二【换元法】（注意新元的取值范围）
已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)，我们常设tg(x)，从而求得x
g
1(t)，然后代入
f(g(x))的表达式，从而得到f(t)的表达式，即为f(x)的表达式。
三【配凑法（整体代换法）】
若已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)的表达式，用换元法有困难时，（如g(x)不存在反
函数）可把g(x)看成一个整体，把右边变为由g(x)组成的式子，再换元求出f(x)的式子。
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换元法
例题：根据条件，分别求出函数f(x)
的解析式
(1)f(1
1
)
1
1x
x2
(2)f(x
1)x21
x
x2
换元法
凑配法
（1）解：令
1
则x
t
f(t)
即f(x)
1
1
（2）解：f(x
1)(x
1)22
t
xxx
1且t
1用x替代式中的
1
x
1
x
(t
1)21t22t又考虑到x2
x
x
2
2x
(x1)
f(x)x
2
2(x2)
【例题】已知f(x-1)=x
2-4x，解方程f(x+1)=0
分析：如何由f(x-1)，求出f(x+1)是解答此题的关键
解1：f(x-1)==(x1)
2-2(x-1)-3，∴f(x)=x2-2x-3
f(x+1)=(x1)2-2(x+1)-3=x2-4，∴x2-4=0，x=±2
解2：f(x-1)=x
2-4x
，∴f(x+1)=f[（x+2)-1]=(x2)2-4(x+2)=x2-4，∴x2-4=0，x=±2
解3：令x-1=t+1，则x=t+2，∴f(t+1)=(t
2)
2-4(t+2)=t2-4
∴f(x+1)=
2
-4
，∴
2
-4=0
，∴±
xx
x=2
评注：只要抓住关键，采用不同方法都可以达到目的。
解法1，采用配凑法；
解法2，根据对应法则采用整体思想实现目的；
解法3，采用换元法，
这些不同的解法共同目的是将f(x-1)的表达式转化为f(x+1)的表达式。
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【小结：】待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法，其中，待定系数
法只适用于已知所求函数类型求其解析式，而换元法与配凑法所依据的数字思想完全相同--
整体思想。
四【消元法】
【构造方程组】（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）若
已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程
组，求出函数元，称这个方法为消元法。
五【赋值法】(特殊值代入法)
在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题
简单明了，从而易于求出函数的表达式。
解函数方程组法
例题：已知3f(x)
2f(
1
)
x(x
0)，
求
f(x)
x
3f(x)2f(
1
)
x
解：由
3f(
1
)
x
12f(x)
x
3x2
x
解得
f(x)
(x0)
55x
代入法
f(x)x
1
C
1
，
例题：设函数的图象为
x
C
1
关于点
A(2,1)对称的图象为
C
2
，
求C
2
对应的函数g(x)的表达式。
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解：设y
g(x)
图象上任一点
(x,y)，则关于
A(2,1)
对称点为(4
x,2
y)在yf(x)上，
即2
y4x
1
x4
即
y
x2
1
x4
故g(x)
x2
1
(x4)
x4
题5．若f(x
y)
f(x)f(y)，且f(1)2，
求值
f(2)
f(3)f(4)
f(2005).
f(1)f(2)f(3)f(2004)
练习5．设f(x)是定义在N上的函数，且f(1)2，f(x1)
f(x)1
，求f(x)的解析式.
2
六．利用给定的特性求解析式.
题6．设f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)
ex
2ex，求当x＜0时，f(x)的表达式.
练习6．对x∈R，f(x)满足f(x)
f(x1)
，且当x∈[－1，0]时，
f(x)
x
22x求
当x∈[9，10]时f(x)的表达式.
七．归纳递推法
题7．设f(x)
x
1
，记f
n
(x)f
f[f(x)]
，求f
2004
(x).
x1
八．相关点法
题8．已知函数f(x)2x1，当点P(x，y)在y=f(x)的图象上运动时，点Q(
y
,
x
)在y=g(x)
23
的图象上，求函数g(x).
九．构造函数法
题9．若f(x)表示x的n次多项式，且当k=0，1，2，，n时，f(k)
k
，求f(x).
k1
训练例题
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(1)
已知f（x＋1）＝x＋2x，求f(x)的解析式。
(2)
已知f（x＋
1
）＝x
3
＋
1
，求f(x)的解析式。
xx
(3)
已知函数f（x）是一次函数，且满足关系式3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f(x)
的解析式。
分析：此题目中的“f”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应
用。即：求出f及其定义域.
(1)解法一：【换元法】
设t＝x＋1≥1，则x＝t－1，∴x＝（t－1）
2
∴f（t）＝（t－1）
2
＋2（t－1）＝t
2
－1（t≥1）
∴f（x）＝x
2
－1（x≥1）
解法二：【凑配法】由f(x+1)=x+2x=(x1)2-1，∴f(x)=x2-1(x≥1)
【评注：】
①f(t)与f(x)只是自变量所用字母不同，本质是一样的。
②求出函数解析式时，一定要注明定义域，函数定义中包括定义域这一要素。
(2)∵x
3
＋
1
3
＝（x＋
1
）（x
2
＋
1
2
－1）＝（x＋
1
）[（x＋
1
）
2
－3]
xxxxx
∴f（x＋
1
）＝（x＋
1
）[（x＋
1
）
2
－3]
xxx
∴f（x）＝x（x
2
－3）＝x
3
－3x
∴当x≠0时，x＋
1
≥2或x＋
1
≤－2
xx
∴f（x）＝x
3
－3x（x≤－2或x≥2）
(3)设f（x）＝ax＋b
则3f（x＋1）－2f（x－1）＝3ax＋3a＋2b＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17
∴a＝2，b＝7
∴f（x）＝2x＋7
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评述：“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法，以上3个题
目分
别采用了这三种方法。值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域。
（4）已知f(x
1)x31
3
，求f(x)；
（5）已知f(
2xx
1)
lgx，求f(x)；
x
（6）已知f(x)是一次函数，且满足
3f(x1)2f(x1)2x
17，求f(x)；
（7）已知f(x)满足2f(x)
f(
1
)3x，求f(x)．
x
解：（4）∵f(x
1)x31(x
1)33(x
1
)，
x
x3xx
∴f(x)x
33x（x2或x2）．
（5）令
2
1
t（
t
），则x
2
，∴f(t)
lg2
，∴f(x)
lg
2
(x
1)．
x
1
t1t1x1
（6）设f(x)axb(a
0)，
则3f(x1)
2f(x1)3ax3a3b2ax2a2baxb5a2x
17，
∴a2，b7，∴f(x)2x7．
（7）2f(x)f(
1
)
3x①，
把①中的x换成
1
，得2f(
1
)f(x)
3
②，
x3
，∴f(x)
1
．
xxx
①2②得3f(x)6x2x
xx
注：第（4）题用配凑法；第（5）题用换元法；第（6）题已知一次函数，可用待定系数
法；第（7）题用方程组法．
(8)甲地到乙地的高速公路长1500公里，现有一辆汽车以100公里／小时的速度从甲地
到乙地，写出汽车离开甲地的距离S(公里)表示成时间t(小时)的函数。
分析：从已知可知这辆汽车是匀速运动，所以易求得函数解析式，其定义域由甲乙两地
之间的距离来决定。
解：∵汽车在甲乙两地匀速行驶，∴S＝100t
∵汽车行驶速度为100公里／小时，两地距离为1500公里，
∴从甲地到乙地所用时间为t＝
1500
小时
100
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答：所求函数为：S＝100tt∈[0，15]
(9)某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2％，粮食
总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食.求出函数y关于x的解析式。
分析：此题用到平均增长率问题的分式，由于学生尚未学到，所以还应推导。
解：设现在某乡镇人口为A，则
1年后此乡镇的人口数为A(1＋1.2％)，
2年后的此乡镇人口数为A（1＋1.2％）
2
经过x年后此乡镇人口数为A(1＋1.2％)
x
。
再设现在某乡镇粮食产量为B，则
1年后此乡镇的粮食产量为B(1＋4％),
2年后的此乡镇粮食产量为B（1＋4％）
2
，
经过x年后此乡镇粮食产量为B（1＋4％）
x
，
因某乡镇现在人均一年占有粮食为
360kg，即
B
＝360，
A
所以x年后的人均一年占有粮食为
y，即y＝
B(1
4%)x
x360(14%)x
x（x∈N*)
A(11.2%)(11.2%)
评述：根据实际问题求函数解析式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定自
变量后去寻求等量关系，求得函数解析式后，还要注意函数定义域要受到实际问题的限制。
（10）我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，
某地用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量
am3时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c元；若用水量超过am3时，除了付同上
的基本费和定额损耗费外，超过部分每m
3付b元的超额费。已知每户每月的定额损耗费不超
过5元。
该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示：
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月份
用水量(m
3)水费（元）
199
21519
32233
根据上表中的数据，求a、b、c。
解：设每月用水量为xm
3，支付费用为y元，则有y
8c,0xa(1)
8b(xa)c,xa(2)
由表知第二、第三月份的水费均大于
13元，故用水量15m
3，22m3均大于最低限量am3，
198b(15a)c
2，从而2ac
19(3)于是就有，解之得b
338b(22a)c
再考虑一月份的用水量是否超过最低限量am
3，不妨设9
a，将x9代入（2）式，得
982(9a)c，即2ac17，这与（3）矛盾。∴9a。
从而可知一月份的付款方式应选（1）式，因此，就有8c9，得c1。
（11）已知函数yf(x)是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf(x)(1x
1)是奇
函数．又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，在
[1,4]
上是二次函数，且在x
2
时函数取得最小
值5。①证明：f(1)f(4)
0；②求y
f(x),x
[1,4]的解析式；③求yf(x)在[4,9]上的
解析式。
①证明：∵f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)f(4
5)f(1)
，
又∵y
f(x)(1
x1)是奇函数，∴f(1)
f(1)f(4)
，
∴f(1)
f(4)0
．
②解：当x[1,4]时，由题意可设f(x)
a(x
2)
25(a0)
，
由f(1)
f(4)
0得a(1
2)
25a(4
2)25
0，∴a2，
∴f(x)
2(x
2)
25(1x
4)．
③解：∵y
f(x)(1x
1)是奇函数，∴f(0)0，
又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)
kx(0x
1)，而f)1(1(2)2
53
2，
∴k3，∴当0x1时，f(x)3x，
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从而当
1x
0时，f(x)
f(x)
3x，故1x1时，f(x)
3x
∴当4
x
6时，有
1x51
，∴f(x)
f(x5)3(x5)3x
15．
当6x9时，1x
5
4，∴f(x)
f(x5)2[(x
5)2]
252(x
7)25
∴f(x)
3x15,4x6
2(x
7)25,6x9