单纯形法例题
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2023年2月10日发(作者：吴江经济开发区人力资源网)《管理运筹学》第四版第6章单纯形法的灵敏度分析与
对偶课后习题解析
《管理运筹学》第四版第6章单纯形法的灵敏度分析与对
偶课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析
第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶
1(解：
(l)cl?24
⑵c2?6
(3)cs2?8
2(解：
(1)cl??0.5
(2)?2?c3?0
(3)cs2?0.5
3(解：
(1)bl?250
(2)0?b2?50
(3)0?b3?150
4(解：
(1)bl??4
(2)0?b2?10
(3)b3?4
最优基矩阵和其逆矩阵分别为:B???
最优解变为xl?10??10??l??,B????41??;41?????x2?0,x3?13,最小值变为-78;
?0,x2?14,x3?2,最小值变为-96;最优解没有变化;最优解变为xl
6(解：
⑴利润变动范围cl?3,故当cl=2时最优解不变。
⑵根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。
(3)0?b2?45o
(4)最优解不变，故不需要修改生产计划。
(5)此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为?3小于零，对原生
产计划没有影响。
7.解：
⑴设xl,x2,x3为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为
maxz?2.5xl?2x2?3x3
约束条件:8xl?16x2?10x3?350
10xl?5x2?5x3?450
2xl?13x2?5x3?400
xl,x2,x3?0
解得三种食品产量分别为xl?43.75,x2?x3?0,这时厂家获利最大为109.375万
ye©
(2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加
10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合
算。
(3)B食品的加工工序改良之后，仍不投产B,最大利润不变;
若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519万元，其中
xl?14.167,x2?0,x3?ll,x4?31.667;
(4)若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为163.1万元，其中xl?ll,x2?0,x3?7.2,
x4?38;
所以建议生产乙产品。
8(解：
均为唯一最优解，根据从计算机输出的结果看出，如果松弛或剩余变量为零且
对应的对偶价格也为零，或者存在取值为零的决策变量并且其相差值也为零时，可
知此线性规划有无穷多组解。
9(解：
(1)minf=10yl+20y2.
+y2?2
yl+5y2?l
yl+y2?l
yi,y2?0
(2)maxJL—1OOyl+200y2.
s.t.l/2yl+4y2?4
2yl+6y2?4
2yl+3y2?2
yl,y2?0
10(解
(l)minf=?10yl+50y2+20y3.
s.t.?2yl+3y2+y3?l
?yl+y2+y3=5
yl,y2?0,y3没有非负限制。
(2)maxz=6yl?3y2+2y3.
?y2?y3?l
2yl+y2+y3=3
?3yl+2y2?y3??2
yl,y2?o,y3没有非负限制
11.解：
maxz?6y1?7y2?8y3?9y4?lOy5
约束条件:yl?y5?l
yl?y2?l
y2?y3?l
y3?y4?l
y4?y5?l
yl,y2,y3,y4,y5?0
用对偶问题求解极大值更简单，因为利用单纯形法计算时省去了人工变量。
12.解：
⑴该问题的对偶问题为
maxf?4yl?12y2
约束条件:3yl?y2?2
2yl?3y2?3
yl?y2?5
求解得maxf=12,如下所示：
(2)该问题的对偶问题为minZ?2yl?3y2?5y3约束条件:2yl?3y2?y3??3
3yl?y2?4y3??85yl?7y2?6y3??10
yl,y2,y3?0
求得求解得minz=24,如下所示：
思考：
在求解
minf?CX约束条件:AX?bX?0
max2?CX约束条件:AX?bX?0
以上两种线性规划时一般可以选取对偶单纯形法。
13.解：
其中:C为非负行向量，列向量b中元素的符号没有要求
其中:C为非正行向量，列向量b中元素的符号没有要求
⑴错误。原问题存在可行解，则其对偶问题可能存在可行解，也
可能无可行解；
(2)正确;
(3)错误。对偶问题无可行解，则原问题解的情况无法判定，可能无可行解，可
能有可行解，甚至为无界解;(4)正确；
14(解：
maxz??xl?2x2?3x3
??4??xl?x2?x3?sl
?x2?x3?s3??2?
?xi?04?l,?,3；sj?0,j?l,?,3?
用对偶单纯形法解如表6-1所示。表6-1
续表
最优解为xl=6,x2=2,x3=0,目标函数最优值为10。
15.解:原问题约束条件可以表示为AX?b?ta,其中a和b为常数列
向量。令t?0,将问题化为标准型之后求解，过程如下：
其中最优基矩阵的逆矩阵为
?100????1
B???ll?l?,
?001???
则
B*b???ll?l??10???2?
，001»3»3冲»»
♦vxVZd•♦♦♦♦♦•
?100??t??l??t?????????
B?1*ta???l1?1???t??t??3????3t?
?001??t??l??t?????????
?5?t???
(b?ta)??2?3t?则B?l*
?3?t???
从而，1)当
时，最优单纯形表为2?3t?0,3?t?0,此0^5?t?0,线性规划问题的最优解为
(xl,x2)?(5?t,3?t^,
目标函数最大值为ll?3t;
37
2)当?t?时，由2?3t?0可知，(xl,x2)?(5?&3?t)并非最优解，利用对偶
22
此时7?2t?0,?2?3t?0,3?t?0,从而线性规划问题的最优解为
(xl,x2)?(7?2t,3?t),目标函数的最大值为13;3)当
7
?t?10时，，由7?2t?0可知,(xl,x2)?(7?2t,3?t)并非最优解,利用2
此时?7?2t?0,5?t?0,10?t?0,从而线性规划问题的最优解为
(xl,x2)?(0,10?t),目标函数的最大值为20?2t;
16解先写出原问题的对偶问题
minf?20yl?20y2
约束条件:yl?4y2?2⑴
2yl?3y2?2(2)3yl?2y2?l
(3)4yl?y2?l(4)
yl,y2?0
13
将yl?,y2?代入对偶问题的约束条件，得有且只有(2)、(4)式等式成立，
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也就是说，其对应的松弛变量取值均为0,⑴和(3)式对应的松弛变量不为0,
从而由互补松弛定理有xl?x3?0;又因为yl?0,y2?0,从而原问题中的
两个约束应该取等式，把xl?x3?0代入其中，得到
2x2?4x4?20
3x2?x4?20
解方程组得到x2?6,x4?2
o经验证xl?0,x2?6,x3?0,x4?2满足原问题约
束条件，从而其为原问题的最优解，对应的目标函数最大值为14;