分部积分法例题

分部积分法例题

提升质量-一年级班主任工作计划

§7.2分部积分法与换元积分法

(一)教学目的：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法．

(二)教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．

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如何计算不定积分xdx2cos？我们知道，Cxxdxsincos，那么是否有

Cxxdx2sin2cos？显然不对。

计算不定积分，仅有直接积分法还是不行的。如xdx2cos、xdxln、xdxtan等积分就不能直接

积分，下面探讨其它的计算不定积分的方法。

一、换元积分法

1．凑微分法

定理1（第一换元积分法）若函数)(xu在[a,b]可导，且)(x，],[u，有

)()(xfxF



，则函数)()]([xxf

存在原函数)]([xF，即

CxFdxxxf

)]([)()]([

**具体应用此定理计算不定积分时，其过程是这样的：







CxFCuFduufxdxfdxxxf

xuxu

)]([)()()()]([)()]([

)()(





例7．求dxx35

分析：我们有公式Cxdxx3

4

3

4

3

，而上述积分中被积函数根号里面还要加5，不能直接用公式。

为了能用公式计算，进行凑微分：)5(xddx

解：

CxCuduuxdxdxx

xuxu



3

4

5

3

4

3

5

33)5(

4

3

4

3

)5(55

例8．求dxx)85sin(

分析：为了能应用公式计算，进行凑微分：)85(

5

1

xddx

解：

uduxdxdxx

xu

sin

5

1

)85()85sin(

5

1

)85sin(

85

CxCu

xu





)85cos(

5

1

cos

5

185

一般地，在计算积分的时候，有时为了化为能用公式计算，我们常根据需要作下面的凑微分公式：

（1）)()(

1

)(baxdbaxf

a

dxbaxf

**计算熟练以后，就可以省略“设”的步骤，把所设的式子当作一个整体，在心里面想着它是一个变

数，就可以使书写简化。如上面的例子，就可以简化为

Cxxdxdxx3

4

33)5(

4

3

)5(55

Cxxdxdxx)85cos(

5

1

)85()85sin(

5

1

)85sin(

例9．求dxe

x

x

1

2

1

分析：注意到我们有













x

ddx

x

11

2

解：Ce

x

dedxe

x

xxx













111

2

11

一般地，我们有凑微分公式：

（2）duuf

k

xdxf

k

dxxfxkkkk)(

1

)()(

1

)(1

特殊地，有







































x

d

x

fdx

x

f

x

1111

2

，

xdxfdxxf

x

2

1

，

2

2

1

xdxdx

等等。

除此以外，我们还可以写出许多凑微分公式：

（3）;)(sin)(sincos)(sinduufxdxfxdxxf

（4）;)(cos)(cossin)(cosduufxdxfxdxxf

（5）

.)()(sec)(2duufdtgxtgxfxdxtgxf

（6）

.)()()(duufdeefdxeefxxxx

（7）.)(ln)(ln)(lnduufxdxf

x

dx

xf

（8）

;)(arcsin)(arcsin

1

)(arcsin

2

duufxdxfdx

x

xf





（9）duufdarctgxarctgxfdx

x

arctgxf

)()(

1

)(

2





例10．求xdxx22)115(

分析：应用凑微分公式（2），有)115()115(

10

1

)115(22222xdxxdxx

解：（略）

例11．求dxxx3234

例12．求



dx

xa22

1

例13．求



dx

xa22

1

例14．求dx

xxln

1

例15．求xdxxsincos2

例16．求xdxxdxseccsc和

补充例题：



dtgxxtgxdx2

261sec



.secsec1secsecsecsec2

2

22435xdxxdxtgxdxxtg















dt

t

arctgt

xd

x

xarctg

dx

xx

xarctgxt

21

2

1

2

)1(

cxarctgcarctgttgtarctgtdarc22)()(2

2．第二换元法

这是一种与凑微分法的过程刚好相反的计算不定积分的方法。

定理2（第二换元积分法）若函数)(tx在],[可导，()atb，且0)(



t，函数)(xf在

],[ba有定义，],[t，有

).()]([)(ttftG





则函数)(xf在],[ba存在原函数，且

CxGdxxf)]([)(1

具体应用此定理计算不定积分时，其过程是这样的：

CxGCtGdtttfdxxf

xttx







)]([)()()]([)(1

)()(1



例17．求dxxa22

分析：被积函数带有根号，想办法去掉。联想到三角函数公式22cossin1，于是作变换















22

sin



ttax，则tataaxacossin22222，根号去掉了。

解：设













22

sin



ttax，则tdtadxtaxacos,cos22，于是

Ct

a

t

a

tdtatdtatadxxa2sin

42

coscoscos

22

2222

由taxsin，得22

1

cosxa

a

t，所以22

2

2

cossin22sinxa

a

x

ttt

∴Cxa

x

a

xa

Ct

a

t

a

dxxa22

222

22

2

arcsin

2

2sin

42

一般地，当被积函数是含有形如22xa)0(a的式子时，都可考虑作变量替换taxsin，目的是去

掉根号。此时,cos22taxa,costdtadx.arcsin

a

x

t

例18．求

22ax

dx

解：设













22

tan



ttax，则有taaxtdtadxsec,sec222，于是





Ctttdtdt

ta

ta

ax

dx

tanseclnsec

sec

sec2

22

要将变量还原为x，由

a

x

ttan，可得

a

ax

t

22

sec





，于是

x

a

t

22ax

CxaxC

a

x

a

ax

Ctt

ax

dx











22

22

22

lnlntansecln

一般地，当被积函数是含有形如22ax)0(a的式子时，都可考虑作变量替换taxtan，目的

是去掉根号。此时taaxtdtadxsec,sec222，.arctan

a

x

t

例19．求0

22





a

ax

dx

解：设taxsec，则有tdttadxtansec，taataaxtansec22222

∴



dt

ta

tta

ax

dx

tan

tansec

22

当

2

0



t时，

Ctttdtdt

ta

tta

ax

dx





tanseclnsec

tan

tansec

22

由taxsec，得

a

x

tsec，

a

ax

t

22

tan





，于是

CaxxCtt

ax

dx







22

22

lntansecln

当



t

2

时，

Ctttdtdt

ta

tta

ax

dx





tanseclnsec

tan

tansec

22

由taxsec，

a

x

tsec，

a

ax

t

22

tan





CaxxCaxxCtt

ax

dx











2222

22

lnlntansecln

综上所述，对任意,,aax，有

Caxx

ax

dx







22

22

ln

一般地，当被积函数是含有形如22ax)0(a的式子时，都可考虑作变量替换taxsec，目的

t

x

a

22ax

是去掉根号。此时tdttadxtansec，taataaxtansec22222

二、分部积分法

我们知道，

vuvuuv











即vuuvvu











于是，

























vdxuuvdxvuuvdxvu

或vduuvudv

这就是分部积分公式。

应用分部积分公式计算不定积分的过程一般为：







vdxuuvvduuvudvdxvu

在这里，主要是把不定积分

dxvu的计算转化为不定积分

vdxu计算。通过这样的转化，往往会达

到化未知为已知，化繁为简，化难为易的目的。

在分部积分的过程中，还是要凑微分，

例1．求xdxxsin

分析：初看这道题，会感到无从下手。尝试一下使用分部积分。可以有两个凑微分的方向：

)(sin

2

1

sin2xxdxdxx或xxdxdxxcossin

走哪条路好呢？通过尝试可以知道，第一种方法越算越复杂，无法得到结果。第二种方法刚好相反。

解：Cxxxdxxxxxdxdxxsincoscoscoscossin

从此例可以看到，原题中的积分可能有两种凑微分的方法，但选择那一种，有时是要认真考虑或尝试

一下的。

一般地，形如xdxxksin、xdxxkcos的积分，都可以用分部积分法来计算，并且计算方法和例1

的方法类似。

例2．求xdxxln

解：

xdxxxxdxxxxxdxdxx

2

1

ln

2

1

)(ln

2

1

ln

2

1

ln

2

1

ln2222

例3．求dx

x

x

3

ln

解：













)(ln

1

2

1

2

ln1

ln

2

1ln

2223

xd

xx

x

x

xddx

x

x

一般地，形如xdxxkln的积分，都可以用分部积分法来计算，并且计算方法和例1、例2的方法类

似。

特别地，k=0时，Cxxxdxxxxdxlnlnln

例4．求xdxxarctan

解：xdxxxxxdxdxxarctan

2

1

arctan

2

1

arctan

2

1

arctan222





dx

x

x

xx

2

2

2

1

2

1

arctan

2

1

一般地，形如xdxxkarctan、xdxxkarcsin等形式的积分，都可以用分部积分法计算，并且计算

方法和例4类似。

例5．求dxexx2

分析：可以用两种方法凑微分，但用哪一种行得通？要试试看。



dxxeexxdeexedxdxexxxxxxx2)(22222

虽然还不能得到结果，但次数降低了，越变越简单。再进行一次分部积分，应该行得通。

解：

xxxxxxxxexdexdxxeexxdeexedxdxex22)(222222

=Cexeexdxexeexxxxxxx222222

有些积分，用一次分部积分不行的话，可进行两次、三次或更多次的分部积分。

一般地，形如dxexxk的积分，都可以用分部积分法计算，并且计算方法和例5类似。

例6．求xdxeIxcos

分析：可以用两种方法凑微分。先看看用下面的凑微分情况怎样。



xdexeexdxdxeIxxxx











cos

1

cos

1

cos

1

cos

xdxexexx









sincos

1

变成跟原式差不多的积分。再看看用下面的凑微分：



xxxxexdxexdexdxeI











sin

1

sin

1

sin

1

cos

xdxexexx









sinsin

1

两种凑微分都差不多，都把原不定积分转化为积分xdxexsin。可以想象，把这个积分作类似的

分部积分，就会转化为原积分xdxexcos。这时采用方程的思想即可求出原积分。（略）