三角形的体积

三角形的体积

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2023年3月1日发(作者：电梯应急预案)

简单几何体的表面积和体积

[基础知识]

1．旋转体的侧面积

名称图形侧面积公式

圆柱侧面积：S侧＝______

圆锥侧面积：S侧＝______

圆台侧面积：S侧＝________

2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积

S直棱柱侧＝______(c为底面周长，h为高)S正棱锥侧＝______(c为底面周长，h′为斜高)

S正棱台侧＝

1

2

(c＋c′)h′(c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高)

3．体积公式

(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝____．(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝_____

(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝

1

3

(S′＋S′S＋S)h．

[基础练习]

1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为()

A．8B．

8

π

C．

4

π

D．

2

π

2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为()

A．

1＋2π

2π

B．

1＋4π

4π

C．

1＋2π

π

D．

1＋4π

2π

3．中心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于()

A．11∶8B．3∶8C．8∶3D．13∶8

4．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体

积之比为()

A．a∶bB．b∶aC．a2∶b2D．b2∶a2

5．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为()

A．24πcm2,12πcm3B．15πcm2,12πcm3C．24πcm2,36πcm3D．以上都不正确

6．三视图如图所示的几何体的全面积是()

A．7＋2B．

11

2

＋2C．7＋3D．

3

2

[典型例题]

例1.如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD的中点，沿图中虚线

将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，求此三棱锥的体积．

练1.如图，在正三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

中，D为棱AA

1

的中点，若截面△BC

1

D是面积为6

的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．

例2.已知五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8cm和18cm，侧面是全等

的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面积．

练2.圆台上底的面积为16πcm2，下底半径为6cm，母线长为10cm，那么，圆台的侧面积和体积各是

多少？

例3.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6

米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．

(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0．01平方米)；

(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0．3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作

图时，不需考虑骨架等因素)．

练3.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相

同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm．

例4.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使

水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．

练4.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆

锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎

样设计最省材料？

简单几何体的表面积和体积活页作业

一、选择题

1．圆柱的侧面展开图是一个边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为()

A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)

2．正棱锥的高缩小为原来的

1

2

，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的()

A.

3

2

B.

9

2

C.

3

4

D.

9

4

3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()

A.

8π

3

B.

82π

3

C．82πD.

32π

3

4．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为()

A．18πB．30πC．33πD．40π

5．(2011·福州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于()

A.

28

3

πB.

16

3

πC.

4

3

π＋8D．12π

6．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为()

A.

a3

6

B.

a3

12

C.

3

12

a3D.

2

12

a3

7.圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是()

A.

23

3

πB．23πC.

73

6

πD.

73

3

π

8．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是

32

3

π，那么这个三棱柱的体

积是()

A．963B．163C．243D．483

二、填空题

9．如图，已知正方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

的棱长为2，O为底面正方形ABCD的中心，

则三棱锥B

1

－BCO的体积为________．

10．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径

为1的半圆，则该几何体的体积是________．

11．已知球O的表面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，

DA＝AB＝BC＝3，则球O的体积等于________．

12.如图所示是一个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得该

几何体的表面积为________cm2.

三、解答题

13．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，

则该圆锥与圆柱等底等高．若圆锥的轴截面是一个正三角形，求圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比．

14如图，如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，

它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．

(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；

(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体

15．有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为

6π

5

的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱．(1)

求圆锥的体积．(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？

16．如图所示，从三棱锥P－ABC的顶点P沿着三条侧棱PA、PB、PC剪开成平面图形得到△P

1

P

2

P

3

，且

P

2

P

1

＝P

2

P

3

.

(1)在三棱锥P－ABC中，求证：PA⊥BC.(2)若P

1

P

2

＝26，P

1

P

3

＝20，求三棱锥P－ABC的体积．

简单几何体的表面积和体积答案

[基础知识]

1．旋转体的侧面积

名称图形侧面积公式

圆柱侧面积：S侧＝______

圆锥侧面积：S侧＝______

圆台侧面积：S侧＝________

2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积

S直棱柱侧＝______(c为底面周长，h为高)S正棱锥侧＝______(c为底面周长，h′为斜高)

S正棱台侧＝

1

2

(c＋c′)h′(c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高)

3．体积公式

(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝____．(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝_____

(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝

1

3

(S′＋S′S＋S)h．

答案：1．

名称图形侧面积公式

圆柱侧面积：S侧＝2πrl

圆锥侧面积：S侧＝πrl

圆台侧面积：S侧＝π(r

1

＋r

2

)l

2．ch

1

2

ch′3．(1)Sh(2)

1

3

Sh

[基础练习]

1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为()

A．8B．

8

π

C．

4

π

D．

2

π

2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为()

A．

1＋2π

2π

B．

1＋4π

4π

C．

1＋2π

π

D．

1＋4π

2π

3．中心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于()

A．11∶8B．3∶8C．8∶3D．13∶8

4．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体

的体积之比为()

A．a∶bB．b∶aC．a2∶b2D．b2∶a2

5．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为()

A．24πcm2,12πcm3B．15πcm2,12πcm3

C．24πcm2,36πcm3D．以上都不正确

6．三视图如图所示的几何体的全面积是()

A．7＋2B．

11

2

＋2

C．7＋3D．

3

2

答案：

1．B[易知2πr＝4，则2r＝

4

π

，

所以轴截面面积＝

4

π

×2＝

8

π

．]

2．A[设底面半径为r，侧面积＝4π2r2，全面积为＝2πr2＋4π2r2，其比为：

1＋2π

2π

．]

3．A[设圆锥的底面半径为r，母线长为l，

则2πr＝

3

4

πl，则l＝

8

3

r，所以

A＝

8

3

πr2＋πr2＝

11

3

πr2，B＝

8

3

πr2，

得A∶B＝11∶8．]

4．B[以长为a的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝

1

3

πb2a，以长为b的直角边所在直线旋转得

到圆锥体积V＝

1

3

πa2b．]

5．A[该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分别为24πcm2，

12πcm3．]

6．A[图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为

1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S

表面

＝2S

底

＋S

侧面

＝

1

2

(1＋2)×1×2

＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2．]

[典型例题]

例1.如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正

方形折起来，围成一个三棱锥，求此三棱锥的体积．

解析：折叠起来后，B、D、C三点重合为S点，则围成的三棱锥为S－AEF，这时SA

⊥SE，SA⊥SF，SE⊥SF，且SA＝2，SE＝SF＝1，所以此三棱锥的体积V＝

1

3

·

1

2

·1·1·2＝

1

3

.

练1.(2011·昆山模拟)如图，在正三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

中，D为棱AA

1

的中点，若截面△

BC

1

D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．

解析：由题意，设AB＝a，AA

1

＝b，再由

1

2

BD·DC

1

＝6可得a2＋

b2

4

＝12.又由BC2＋CC2

1

＝BC2

1

，

得a2＋b2＝24，

可得a＝22，b＝4，

∴V＝

3

4

×(22)2×4＝83.

答案：83

例2.已知五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8cm和18cm，侧面是全等

的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面积．

解析：如图所示的是五棱台的一个侧面，它是一个上、下底的边长分别为8cm和

18cm，且腰长为13cm的等腰梯形，由点A向BC作垂线，垂足为点E；由点D向BC作垂线，垂足为点

F.

∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴BE＝CF＝

1

2

(BC－AD)＝

1

2

(18－8)＝5cm.

在Rt△ABE中，

AB＝13cm，BE＝5cm，∴AE＝12cm，

∴S四边形ABCD＝

1

2

(AD＋BC)·AE＝

1

2

×(8＋18)×12＝156(cm2)．

∴S五棱台侧＝5×156＝780(cm2)．

即此五棱台的侧面积为780cm2.

练2.圆台上底的面积为16πcm2，下底半径为6cm，母线长为10cm，那么，圆台的侧面积和体积各是

多少？

解析：首先，圆台的上底的半径为4cm，

于是S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．

其次，如图，圆台的高h＝BC

＝BD2－OD－AB2＝102－6－42＝46(cm)，

所以V圆台＝

1

3

h(S＋SS′＋S′)

＝

1

3

×46×(16π＋16π×36π＋36π)

＝

3046π

3

(cm3)．

例3.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6

米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．

(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0．01平方米)；

(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0．3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作

图时，不需考虑骨架等因素)．

解析：由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为

9.6－8×2r

8

＝1．2－2r，

∴塑料片面积S＝πr2＋2πr(1．2－2r)

＝πr2＋2．4πr－4πr2＝－3πr2＋2．4πr

＝－3π(r2－0．8r)

＝－3π(r－0．4)2＋0．48π．

∴当r＝0．4时，S有最大值0．48π，约为1．51平方米．

(2)若灯笼底面半径为0．3米，则高为1．2－2×0．3＝0．6(米)．制作灯笼的三视图如图．

练3.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相

同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm．

解析：设球的半径为rcm，

则πr2×8＋

4

3

πr3×3＝πr2×6r．

解得r＝4(cm3)．

例4.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使

水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．

解析：由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．

根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为3r，则容器内水的体积为V＝V

圆锥

－

V

球

＝

1

3

π·(3r)2·3r－

4

3

πr3＝

5

3

πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为

3

3

h，从而容

器内水的体积是V′＝

1

3

π·(

3

3

h)2·h＝

1

9

πh3，

由V＝V′，得h＝

3

15r．

即容器中水的深度为

3

15r．

练4.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请

你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不

计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？

解析：要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须

V

圆锥

≥V

半球

，V

半球

＝

1

2

×

4

3

πr3＝

1

2

×

4

3

π×43，

V

圆锥

＝

1

3

Sh＝

1

3

πr2h＝

1

3

π×42×h．

依题意：

1

3

π×42×h≥

1

2

×

4

3

π×43，

解得h≥8．

即当圆锥形杯子杯口直径为8cm，高大于或等于8cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．

又因为S

圆锥侧

＝πrl＝πrh2＋r2，

当圆锥高取最小值8时，S

圆锥侧

最小，

所以高为8cm时，制造的杯子最省材料．

简单几何体的表面积和体积活页作业答案

一、选择题

1．圆柱的侧面展开图是一个边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为()

A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)

解析：设圆柱的底面半径为r，母线为l，则









2πr＝4π

l＝6π

或









2πr＝6π

l＝4π

，∴









r＝2

l＝6π

或









r＝3

l＝4π

，

∴圆柱的全面积为24π2＋8π或24π2＋18π，

即8π(3π＋1)或6π(4π＋3)．

答案：C

2．正棱锥的高缩小为原来的

1

2

，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的()

A.

3

2

B.

9

2

C.

3

4

D.

9

4

解析：设原棱锥高为h，底面面积为S，则V＝

1

3

Sh，新棱锥的高为

h

2

，底面面积为9S，

∴V′＝

1

3

·9S·

h

2

，∴

V′

V

＝

9

2

.

答案：B

3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()

A.

8π

3

B.

82π

3

C．82πD.

32π

3

答案：B

解析：S

圆

＝πr2＝1⇒r＝1，而截面圆圆心与球心的距离d＝1，∴球的半径为R＝r2＋d2＝2，∴V

＝

4

3

πR3＝

82π

3

，故选B.

4．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为()

A．18πB．30πC．33πD．40π

解析：由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等

于5，所以该几何体的表面积S＝2π×32＋π×3×5＝33π.

答案：C

5．(2011·福州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于()

A.

28

3

πB.

16

3

πC.

4

3

π＋8D．12π

解析：由三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，则

该几何体的体积为π×22×2＋

4

3

π＝

28

3

π.

答案：A

6．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为()

A.

a3

6

B.

a3

12

C.

3

12

a3D.

2

12

a3

解析：设正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，沿AC折起后，依题意得：当BD＝a时，BE

⊥DE，∴DE⊥面ABC，

∴三棱锥D－ABC的高为DE＝

2

2

a，

∴VD－ABC

＝

1

3

·

1

2

a2·

2

2

a＝

2

12

a3.

答案：D

7.圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是()

A.

23

3

πB．23πC.

73

6

πD.

73

3

π

解析：上底半径r＝1，下底半径R＝2.∵S

侧

＝6π，设母线长为l，则π(1＋2)·l＝6π，∴l＝2，∴高h＝

l2－R－r2＝3，∴V＝

1

3

π·3(1＋1×2＋2×2)＝

73

3

π.

答案：D

8．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是

32

3

π，那么这个三棱柱的体

积是()

A．963B．163

C．243D．483

解析：由

4

3

πR3＝

32

3

π，∴R＝2，∴正三棱柱的高h＝4，设其底面边长为a，则

1

3

·

3

2

a＝2，∴a＝43，∴

V＝

3

4

(43)2·4＝483.

答案：D

二、填空题

9．如图，已知正方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

的棱长为2，O为底面正方形ABCD的中心，则

三棱锥B

1

－BCO的体积为________．

解析：V＝

1

3

S

△BOC

·B1

B＝

1

3

×

1

2

BO·BC·sin45°·B

1

B＝

1

6

×2×2×

2

2

×2＝

2

3

.

答案：

2

3

10．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几

何体的体积是________．

解析：由三视图可知，该几何体为底面半径为1，母线长为2的圆锥的一半，所以圆锥

的高为3，因此所求体积V＝

1

2

×

1

3

×π×12×3＝

3

6

π.

答案：

3

6

π

11．已知球O的表面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝3，则球O的体积

等于________．

解析：如图，

易知球心O为DC中点，由题意可求出CD＝3，所以球O的半径为

3

2

，故球O的体积为

4

3

π×









3

2

3＝

9π

2

.

答案：

9π

2

12.如图所示是一个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得

该几何体的表面积为________cm2.

答案36

解析

由三视图可知，此几何体是一个以AA′＝2，AD＝4，AB＝2为棱的长方体被平面A′C′B截去一个

角后得到的，在△A′C′B中，因为A′C′＝BC′＝25，BA′＝22，所以S

△A′C′B

＝

1

2

×22

×252－22＝6，故几何体表面积为2×4×2＋2×2＋

1

2

×4×2×2＋

1

2

×2×2＋6＝36.

三、解答题

13．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥

与圆柱等底等高．若圆锥的轴截面是一个正三角形，求圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比．

解析：设圆锥底面半径为r，则母线为2r，高为3r，

∴圆柱的底面半径为r，高为3r，

∴

S

圆柱侧

S

圆锥侧

＝

2πr·3r

πr·2r

＝3.

14如图，如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，

它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要

求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体

解析：(1)如图所示．

(2)所求多面体体积V=V长方体-V正三棱锥=446-

1

3

1

22

2









2=

284

3

(cm3)．

15．有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为

6π

5

的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱．

(1)求圆锥的体积．(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？

解析：(1)因为圆锥侧面展开图的半径为5，所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r，则2πr

＝5×

6π

5

，解得r＝3.

所以圆锥的高为4.从而圆锥的体积V＝

1

3

πr2×4＝12π.

(2)右图为轴截面图，这个图为等腰三角形中内接一个矩形．

设圆柱的底面半径为a，则

3－a

3

＝

x

4

，从而a＝3－

3

4

x.

圆柱的侧面积S(x)＝2π(3－

3

4

x)x＝

3

2

π(4x－x2)

＝

3

2

π[4－(x－2)2](0

当x＝2时，S(x)有最大值6π.

所以当圆柱的高为2时，圆柱有最大侧面积为6π.

16．如图所示，从三棱锥P－ABC的顶点P沿着三条侧棱PA、PB、PC剪开成平面图形得到△P

1

P

2

P

3

，且

P

2

P

1

＝P

2

P

3

.

(1)在三棱锥P－ABC中，求证：PA⊥BC.

(2)若P

1

P

2

＝26，P

1

P

3

＝20，求三棱锥P－ABC的体积．

解析：(1)证明：由题设知A、B、C分别是P

1

P

3

，P

1

P

2

，P

2

P

3

的中点，且P

2

P

1

＝P

2

P

3

，从而PB＝PC，

AB＝AC，

取BC的中点D，连AD、PD，则AD⊥BC，PD⊥BC，

∴BC⊥面PAD.故PA⊥BC.

(2)由题设有AB＝AC＝

1

2

P

1

P

2

＝13，PA＝P

1

A＝BC＝10，

PB＝PC＝P

1

B＝13，

∴AD＝PD＝AB2－BD2＝12，

在等腰三角形DPA中，

底边PA上的高h＝AD2－









1

2

PA2＝119，

∴S

△DPA

＝

1

2

PA·h＝5119，又BC⊥面PAD，

∴VP－ABC

＝V

B－PDA

＋V

C－PDA

＝

1

3

BD·S

△DPA

＋

1

3

DC·S

△PDA

＝

1

3

BC·S

△PDA

＝

1

3

×10×5119

＝

50

3

119.