单位冲激函数

单位冲激函数

家庭树-幼儿园自制图书

2023年2月22日发(作者：电影的英文单词)

冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息院1132班樊列龙学号：

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冲激信号δ(t)的三种定义与相关性

质的简单讨论

信息科学与工程学院1132班樊列龙学号：

有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中

的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点：

①持续时间短.

②取值极大.

冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。

通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信

号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac）函数，在信号领域中

占有非常重要的地位.由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格

的定义如下：

定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号.如图1-1(a)的矩形脉

冲，宽为τ，高为

τ

1

，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号.现

保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0

时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：









































22

1

lim)(

0















ttt（1-1）

冲击信号的波形就如1-1(b)所示.

δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值

均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A则表示一个冲击

强度为E倍单位值得函数δ，描述为A=Eδ(t)，图形表示时，在

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箭头旁边注上E。

也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。有

















)(lim)(ktSa

k

t

k



（1-2）

对式（1-2）作如下说明：

Sa(t)是抽样信号，表达式为

t

t

ta

sin

)(S（1-3）

其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t,

1/t随t的增大而减小，sint是周

期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；

并且是一个偶函数，当t=±



,±2



,

···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其

零点．把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”，

其余的衰减部分称为“旁瓣”。0t时，1)(Sta，并且有：

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

02

)(



dttSa

因其是偶函数有





dttSa)(（1-4）

由式（1-4）知































1)(

)()(

dtktSa

k

ktdktSa





（1-5）

式（1-5）表明，)(ktSa

k



曲线下的面积为1，且k越大，函数的振幅

越大，振荡频率越高，离开原点时，振幅衰减越快，当k



时，即

得到冲激函数，波形表示如图1-3.

实际上，脉冲函数的选取并不

限于矩形脉冲与抽样函数，其他如三角形脉冲、双边指数脉冲等地极

限，

也可以变为冲激函数，作为冲激函

数的定义。相应可以表示为：

三角形脉冲：











































tt

t

t

||

1

1

lim)(

0

（1-6）

双边指数脉冲：



























||

02

1

lim)(

t

et（1-7）

钟形脉冲：







































2

0

1

lim)(







t

et（1-8）

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这些脉冲波变为相应的冲激函数，如图1-4(a)、(b)、(c).

定义二：狄拉克(Dirac)定义.狄拉克给出冲激函数的定义式为





















00(t)dt

0t1(t)dt

-

tδ

δ

（2-1）

这一定义与上述的脉冲极限的定义式一致的，因此把δ函数称为

狄拉克函数。

现给出δ函数三个有用的特性：

性质一：展缩特性.冲击函数是一个高而窄的峰，时间缩放会改

变其面积。由于δ(t)的面积为1，时间压缩的冲激信号δ(at)的面积为

|a|

1

，由于冲激信号δ(at)仍在t=0处发生，所以它可以被看做一个未

压缩的冲激)(

||

1

at

a

，即有)(

||

1

)(at

a

at。

由于时间位移不会影响面积的大小，所以有

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)(

||

1

)(

00

tt

a

tta（2-2）

式（2-2）可以用定积分中的变量代换法加以证明。特别的当

0,1

0

ta时，式（2-2）变为

)()(tt(2-3)

从式（2-3）可以看出，δ(t)是一个偶信号。

性质二：抽样特性（筛选性）.用冲激函数)(

0

tt乘以任意连续

信号

)(tf

，就可以得到一个冲激函数，它的强度等于)(tf在

0

tt处的

值。即筛选出了)(

0

tf。从而有















---

)0()()0()0()()()(fdttfdtftdttft（2-4）

类似有















-

0

-

0000

-

0

)()()()()()()(tfdttttfdttfttdttftt（2-5）

式（2-4）和式（2-5）表明：当连续时间函数)(tf与单位冲激信

号)(t或)(

0

tt相乘，并在,时间内积分，可以得到)(tf在

0

tt

处的函数值。

性质三：位移特性.性质一和性质二表明乘积

)()()()(

000

tttftttf的面积等于)(

0

tf，也就是说)(

0

tt移除了

)(tf在

0

tt处的值。

)()()(

0

-

0

tfdttftt



（2-6）

值得指出的是，冲激信号与阶跃信号的关系：

)()(

-

tudt

（2-7）

dt

tdu)(

)(（2-8）

)(t的狄拉克定义也可以表示为

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























1(t)dt

0(t)

0t0(t)

δ

δ

δ

t（2-6）

上式与式（2-1）一样都表示，0t处，是一个间断点，但作为

数学抽象式，式（2-1）中采用



1(t)dtδ的约束条件，已经概括了间

断点0t得邻域内的积分0

0-

1(t)dtδ，反映出0t时)(t的趋势，

因此采用（2-1）的描述更合适。

另一方面，狄拉克-函数的定义在数学上也是不严格的。如函数

)()('tt也满足式（2-1）

其中:)()('t

dt

d

t为冲激偶信号，但)()('tt并不是单位冲激信号。

为了给出奇异函数)(t的严格定义，我们先引入分配函数的概念。

概念引出（1950年，tz）

电压v(t)表示方法：

分析说明：

①读数并不是直接待测物理量本身，而是待测函数v(t)与测试仪

表特性h(t)二者综合结果

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②电压v(t)的存在和性质借助h(t)来体现（测量系统是检测电压

v(t)特性的手段），故称h(t)为检试函数。

下面给出分配函数定义：

定义三：用分配函数定义)(t.

)(t指定给)(t的值为)0(.

通过上面所给出的几种定义和性质，我们可以总结推导关于)(t

的一些基本运算特性。

（1）相加:

(3-1)

（2）相乘:

(3-2)

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（3）反褶:

（3-3）

证明参见性质一.

（4）尺度:

（3-4）

（5）时移:

（3-5）

证明参见性质二.

（6）卷积:

仅对i)进行如下证明：

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（7）复合函数：

（3-7）

证明：用泰勒级数展开，0)(

i

tf，忽略高次项。

复合函数形式的)(tf可化简为位于

i

tt处的一系列冲激函

数的叠加，强度为

|)('|

1

i

tf

。

参考文献：

［1］樊尚春，周浩敏.2011.信号与测试技术.2版.北京：北京航空航天大学出版社.

［2］邹云屏，林桦，邹旭东.2009.信号与系统分析.2版.北京：科学出版社.

［3］彭军，李宏.2009.信号与信息处理基础.北京：中国铁道出版社.