二次根式化简

二次根式化简

爵士乐器-国模菲菲

2023年2月22日发(作者：开放青年)

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二次根式的运算

【知识梳理】

1、当0a时，称a为二次根式，显然0a。

2、二次根式具有如下性质：

（1）02aaa；

（2）













时；，当

时，，当

0

0

2

aa

aa

aa

（3）00babaab，

；

（4）00ba

b

a

b

a

，。

3、二次根式的运算法则如下：

（1）0ccbacbca

；

（2）0aaan

n

。

4、设Qmdcba，，，，，且

m

不是完全平方数，则当且仅当dbca，时，

mdcmba

。

5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相

约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根

式的形式。

6、最简二次根式与同类二次根式

（1）一个根式经过化简后满足：

被开方数的指数与根指数互质；

被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；

被开方数不含分母。

适合上述这些条件的根式叫做最简根式。

（2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式

叫做同类根式。

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【例题精讲】

【例1】已知2

54

2

45

222















x

x

x

x

y，则22yx___________________。

【巩固一】若yx，为有理数，且

42112yxx

，则xy的值为___________。

【巩固二】已知

200911xxy

，则yx_______________________。

【拓展】若

m

适合关系yxyxmyxmyx，

求

m

的值。

【例2】当ba2时，化简二次根式

a

baba

ba

a2244

2





。

【巩固】

1、化简2

232144xxx的结果是__________________。

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2、已知0a，则22aa等于（）

A.

a

B.

a

C.a3D.a3

3、已知cab0，化简222

2cbbaaca。

【例3】多重二次根式的化简：

（1）324324；（2）223810。

【巩固】化简：（1）21027______________________；

（2）526425________________________；

（3）4156110xxxx______________________；

【拓展】化简36。

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【例4】计算：

（1）2336

23346





；（2）

21151410

21151410





。

【巩固】计算：

（1）

7523

5213515





；（2）

4266777

647511





。

【拓展】设

20082007

1

32

1

21

1











M，

2N，则

21M

N

的值是__________________________。

二次根式的化简求值

【知识梳理】

有条件的二次根式化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点，这类问题包容了有

理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着

整体代入、分解变形、构造关系式或图形等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已

知条件化简，或把已知条件变形；有时需把待求式化简或变形；有时需把已知条件和待求式

同时变形。

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【例题精讲】

【例1】设55x，55y，求66yx的值。

【巩固】

1、设

12

12

12

12











yx，，求22yxyx的值。

2、已知

32

1

32

1







yx，，求

221

1

1

1





yx

的值。

【拓展】已知

32x

，求432565xxxx的值。

【例2】已知

2

1



x

x，那么

191322



xx

x

xx

x

的值等于______________。

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【巩固】

1、若a

a

x

1

，则24xx的值为（）

A.

a

a

1

B.a

a



1

C.

a

a

1

D.不能确定

2、已知5

1



x

x，求

1122



xx

x

xx

x

的值。

【例3】已知ba、是实数，且





11122bbaa，问ba、之间有怎样的关系？

请推导。

【巩固】已知





22yyxx，求

58664322yxyxyx的值。

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【例4】已知ba、均为正数，且2ba，求1422baU的最小值。

【巩固】求代数式91242

2xx的最小值。