初二数学竞赛讲座 二次根式的运算解答提示

2024年1月12日发(作者：)

初二数学竞赛讲座 二次根式的运算解答提示

式子a (a≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础．

(1)acbc(ab)c (c≥0)；

(2)abab (a0,b0)；

(3)aba (a0,b0)；

b (4)(a)2a2(a0)．

同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．

二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等．

例题求解

【例1】 已知yx225x4x222，则x2y2= ． (重庆市竞赛题)

45x

思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．

注： 二次根式有如下重要性质：

(1)a0，说明了a与a、a2n一样都是非负数；

2 (2)

(a)a (a0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；

2 (3)

(a)a，揭示了与绝对值的内在一致性．

著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．

x2205x4x220,y2x2y26 提示：2x2045x【例2】 化简11n21(n1)2，所得的结果为（ ）(武汉市选拔赛试题)

A．111111111 B．1 C．1D．1

nn1nn1nn1nn1思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．提示：原式

- 1 -

=121n1221n112n11(1)2()() （C）

22nn(n1)nn(n1)nn1nn1

【例3】计算：

（1）64332(63)(32)； （2）1755710141521；

101415211 （3）1331533549474749；

（4）315102633218．

5231方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．（1）原式

思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等63(63)(32)3332(63)(32)1(32)3(63)(32)(63)

=62

（2）原式=10141521101415212(57)3(57)2(57)3(57)(23)(57)(23)(57)

(23)(32)(526)265

（3）考虑一般情形1(2n1)(2n1)(2n1)(2n1)12n12n1(2n12n1)

(2n12n1)2n12n1(2n12n1)(2n12n1)111()

222n12n12n12n1原式11111{()()21335(14711113)}()

217749（4）315102633218(31510)(1826)(332)

523152315(332)23(332)(332)(332)(5231)332

52315231【例4】 (1)化简423423； (北京市竞赛题)

(2)计算108322 (“希望杯”邀请赛试题)

- 2 -

(3) 计算a2a1a2a1． (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)

思路点拨 （1）把4+23万与4—23分别化成一个平方数化简，

原式由于4+23123(3)2123(3)2(13)2(13)2133123此外，与4—23是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；原式(423423)24232423423423

8242(23)28216121223

(2) 原式1081222(2)2108(12)2108(12)

42242(2)2(42)242

(3)通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．

原式122a1(a1)2122a1(a1)2(1a1)2(1a1)2

2　　　　 　当a11，即1a2时

1a11a12a1　　　当a1>1，即a2时　　　 【例5】 已知ab2a14b23c3c5，求abc的值．(山东省竞赛题)

思路点拨 已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为：

121[(a1)22a11][(b2)222a122][(c3)223c392]

21即(a11)2(b22)2](c33)20，因此有a110，得a2；b220，得b6；2c330，得c12。故abc261220。

学历训练

1．如果y2x332x2，那么4xy= ．

2．已知xy3，那么xyxy的值为 ． (成都市中考题)

xyyxxyxy提示：原式xx2y2xyxyyxy23　　　当x、y均为正xy()xy

xy23　　当x、y均为负3．计算(31)20012(31)20002(31)19992001= ．(天津市选拔赛试题)

原式(

31)1999[(31)22(31)13]2001(31)1999[(311)23]20012001

- 3 -

4．若 ab≠0，则等式ab51b3ab成立的条件是 ．(淄博市中考题)

ab1abab，即故b3b3，因此b0，∵

ab0，∴a0

ab6333bbbb5．如果式子(x1)2x2 化简的结果为2x3，则x的取值范围是( B )

A．x≤1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x >0 (徐州市中考题)

6．如果式子(1a)1 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ C ）

1a A．1a B．a1 C．a1 D．1a

7．已知x2xyy0(x0,y0)，则3xxyy5x3xy4y的值为( D )

1321A． B． C． D．

2433a21a22a18．已知a，那么的值等于（ ）

2a1aa231A．(123) B．1 C．23 D．3

9．计算：

(1)19992000200120021；

（2）3225267212922011230132421525617272；

11574677766421997(19971999)(19972001)（3）（4）；

1999(19991997)(19992001)2001(20011997)(20011999)

(“希望杯”邀请赛试题)

10．(1)已知913与913的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值；

(2)设xn1nn1n，yn1nn1n，n为自然数，如果2x2197xy2y21993成立，求n．

11．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响．

（1）问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由；

(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?

- 4 -

(供选用数据：21.4，31.7) (贵阳市中考题)

12．已知x3232，y3232，那么yx2xy2= ．(杯全国初中数学联赛题)

13．若有理数x、y、z满足xy1z21(xyz)，则(xyz)3= ．

2(北京市竞赛题)

14．设27102ab，其中a为正整数，b在0，1之间，则ab= ．

ab15．正数m、n满足m4mn2m4n4n3，则(北京市竞赛题)

16．化简232217122等于( )

m2n8m2n2002= ．

A．5—42 B．42一1 C． 5 D．1 (全国初中数学联赛题)

17．若1x1x，则(x1)2等于( ) (2004年武汉市选拔赛试题)

Ax1 B．1x C．1 D．－1

18．若ab,a、b、ab都是有理数，那么a和b ( ) (“希望杯”邀请赛试题)

A．都是有理数 B．一个是有理数，另一个是无理数

C．都是无理数 D．有理数还是无理数不能确定

19．下列三个命题：

①若α，β是互不相等的无理数，则αβ+α－β是无理数；

 ②若α，β是互不相等的无理数，则是无理数；

③若α，β是互不相等的无理数，则3是无理数．

其中正确命题的个数是( )

A． 0 B．1 C．2 D．3 (全国初中数学联赛试题)

提示：①(21)(21)[(21)(21)]123是有理数；答案A

②22221是有理数； ③222323323262620是有理数。

20．计算：

（1）2532306243； （2）8215106532；

（3）121121322311009999100；

- 5 -

(4)

2(6232515)； (5)525152322．

提示：（1）原式25326526326225326(532)1266；（2）原式

12(52153)2(53)(53)22(53)(53)(532)53；

532532532（3）先看通项1(n1)nnn11n1n(n1n)

n1nn1n(n1n)(n1n)n1nn1n1n1n1

故原式(11112)(123)(991100)1110910

（4）原式124345215435223225215

(235)2235352； （5）525252)(51)51512221(52)(51)(51)(51)((51)(51)(21)2

55255135251(21)3547354(21)

5251856598(21)(51)2(53)288(21)

24(51)24(35)(21)24(13)(21)1

21．(1)求证a21a2b2(ab1)2a1abab1；

(2)计算119992199922000212000．（“祖冲之杯”邀请赛试题）

提示：（1）因为2a21ab12abab12aab1(a1b)2aab1ab1b2ab，所以原式左边=

21a2aa2a1a1a2b2(ab1)22b2ab12bab1(abab1)右边

- 6 -

原式

(1a2)(a1)2a2a211（2）设a1999，则原式1a

(a1)2a1a1a12(a1)2a2(a1)2a2(a1)2a2[(a1)21]11

a1a1a1a1(a1)2a2(a22a2)(a1)2a42a2(2a2)11

a1a1a1a1(a1a2)21a1a21a1999

a1a1a1a122．(1)f(x)13x2x1x1x2x123232，求f(1)f(3)f(999)的值；

(2)设x、y都是正整数，且使x116x100y，求y的最大值． (上海市竞赛题)

提示：(1)注意到1abab，原f(x)可化为：

a2abb2(a2abb2)(ab)a3b311(x1)x1x1(x1)323332f(x)3(x1)(x1)(x1)(x1)3322

x13x113(x13x1)

故f(1)f(3)x1(x1)23f(999)=

1[(3230)(3432)211(310003998)](3100030)105

222x116m22（2）设216nm(nm)(nm)2108454，ymn108

2x100n

23．试将实数112(15)(17)改写成三个正整数的算术根之和．

(2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)

提示：题目的意思是：112(15)(17)(abc)2，因此配方使112(15)(17)=

112(17535)1752725235(175)2

故

112(15)(17)(175)2175

24．求比(65)6大的最小整数． (西安交通大学少年班入学试题)

提示：设x

65，y65，则xy26，xy1

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那么

x2y2(xy)22xy(26)2222，

x3y3(xy)(x2xyy2)26(221)426，

x6y6(x3y3)22x3y3(426)2210582

即

(65)6(65)610582，由于0651，故0(65)61

010582(65)61， 同减10582，得10582(65)610581，同乘1得

10582(65)610581，即10581(65)610582

6故比(65)大的最小整数为10582 。

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