反比例函数难题

反比例函数难题

演员表格式-实腹钢柱

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在平面直角坐标系内，双曲线：y=（x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣

x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD．

（1）求出双曲线的解析式；

（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．

【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，

∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°，

∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，

∴∠AOB=∠ABO=45°，

∴△CEO∽△DEB

∴==3，

设D（10﹣m，m），其中m＞0，

∴C（3m，3m），

∵点C、D在双曲线上，

∴9m2=m（10﹣m），

解得：m=1或m=0（舍去）

∴C（3，3），

∴k=9，

∴双曲线y=（x＞0）

（2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0），∴OE=3，EF=6，DF=1，

BF=1，

∴S四边形OCDB

=S△OCE

+S梯形CDFE

+S

△DFB

=×3×3+×（1+3）×6+×1×1=17，

∴四边形OCDB的面积是17

【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x

和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知==3，然后设设

D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函

数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面

积即可求出答案．

2．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等

于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：

（1）一次函数和反比例函数的解析式；

（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．

【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得：0=﹣1+b，

∴b=1，

∴一次函数解析式为：y=x+1，

∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，

∴n=1+1，

∴n=2，

∴点A的坐标是（1，2）．

∵反比例函数的图象过点A（1，2）．

∴k=1×2=2，

∴反比例函数关系式是：y=

（2）解：反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当

x=6时，y=，

∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2

【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数

解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的

坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出

当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．

3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y

1

=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反

比例函数y

2

=（c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出y

1

＞y

2

时x的取值范围；

（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不

存在，请说明理由．

【答案】（1）解：把B（3，2）代入得：k=6

∴反比例函数解析式为：

把C（﹣1，n）代入，得：

n=﹣6

∴C（﹣1，﹣6）

把B（3，2）、C（﹣1，﹣6）分别代入y

1

=ax+b，得：，解得：

所以一次函数解析式为y

1

=2x﹣4

（2）解：由图可知，当写出y

1

＞y

2

时x的取值范围是﹣1＜x＜0或者x＞3．

（3）解：y轴上存在点P，使△PAB为直角三角形

如图，

过B作BP

1

⊥y轴于P

1

，

∠BP

1

A=0，△P

1

AB为直角三角形

此时，P

1

（0，2）

过B作BP

2

⊥AB交y轴于P

2

∠P

2

BA=90，△P

2

AB为直角三角形

在Rt△P

1

AB中，

在Rt△P

1

AB和Rt△P

2

AB

∴

∴P

2

（0，）

综上所述，P

1

（0，2）、P

2

（0，）．

【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后

用再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用图象直接得出结论；（3）分三种情

况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论．

4．给出如下规定：两个图形G

1

和G

2

，点P为G

1

上任一点，点Q为G

2

上任一点，如果

线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G

1

和G

2

之间的距离．在平面直角坐

标系xOy中，O为坐标原点．

（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为________，点C

（﹣2，3）和射线OA之间的距离为________；

（2）如果直线y=x+1和双曲线y=之间的距离为，那么k=________；（可在图1中

进行研究）

（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O顺时针旋转120°，得到射线OF，在

坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．

①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以

用阴影表示）．

②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形

N，请求出图形W和图形N之间的距离．

【答案】（1）3；

（2）﹣4

（3）解：①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF

垂直），

；

②由①知OH所在直线解析式为y=﹣x，OG所在直线解析式为y=x，

由得，即点M（﹣，），

由得：，即点N（﹣，），

则﹣≤x≤﹣，

图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），

即图形W与图形N之间的距离为d，

d=

=

=

∴当x=﹣时，d的最小值为=，

即图形W和图形N之间的距离．

【解析】【解答】解：（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（﹣2，3）和射线

OA之间的距离为=，

故答案分别为：3，；

（2）直线y=x+1和双曲线y=kx之间的距离为，

∴k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y=相交，它们之间的距离为0）．

过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y=交于点E、F，过点E作EG⊥x轴，如图

1，

由得，即点F（﹣，），

则OF==，

∴OE=OF+EF=2，

在Rt△OEG中，∠EOG=∠OEG=45°，OE=2，

则有OG=EG=OE=2，

∴点E的坐标为（﹣2，2），

∴k=﹣2×2=﹣4，

故答案为：﹣4；

【分析】（1）由题意可得出点B（2，3）到射线OA之间的距离为B点纵坐标，根据新定

义得点C（﹣2，3）和射线OA之间的距离；

（2）根据题意即可得k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y=kx相交，它们之间的距离为

0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y=kx交于点E、F，过点E作EG⊥x

轴，如图1，将其联立即可得点F坐标，根据两点间距离公式可得OF长，再由OE=OF+EF

求出OE长，在Rt△OEG中，根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标为（﹣2，2），

将E点代入反比例函数解析式即可得出k值.

（3）①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂

直）；

②由①知OH所在直线解析式为y=﹣x，OG所在直线解析式为y=x，分别联立即

可得出点M、N坐标，从而得出x取值范围，根据题意图形N（即线段MN）上点的坐标

可设为（x，﹣2x﹣4），从而求出图形W与图形N之间的距离为d，由二次函数性质知d

最小值.

5．如图，过原点O的直线与双曲线交于上A（m，n）、B，过点A的直线交x轴正

半轴于点D，交y轴负半轴于点E，交双曲线于点P.

（1）当m＝2时，求n的值；

（2）当OD：OE＝1：2，且m＝3时，求点P的坐标；

（3）若AD＝DE，连接BE，BP，求△PBE的面积.

【答案】（1）解：∵点A（m，n）在双曲线y＝上，

∴mn＝6，

∵m＝2，

∴n＝3；

（2）解：由（1）知，mn＝6，

∵m＝3，

∴n＝2，

∴A（3，2），

∵OD：OE＝1：2，

设OD＝a，则OE＝2a，

∵点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，

∴D（a，0），E（0，﹣2a），

∴直线DE的解析式为y＝2x﹣2a，

∵点A（3，2）在直线y＝2x﹣2a上，

∴6﹣2a＝2，

∴a＝2，

∴直线DE的解析式为y＝2x﹣4①，

∵双曲线的解析式为y＝②，

联立①②解得，（点A的横纵坐标，所以舍去）或，

∴P（﹣2，﹣3）；

（3）解：∵AD＝DE，点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，A（m，n），

∴E（0，﹣n），D（m，0），

∴直线DE的解析式为y＝x﹣n，

∵mn＝6，

∴m＝，

∴y＝x﹣n③，

∵双曲线的解析式为y＝④，

联立③④解得，

∴（点A的横纵坐标，所以舍去）或，

∴P（﹣2m，﹣2n），

∵A（m，n），

∴直线AB的解析式为y＝x⑤.

联立④⑤解得，（点A的横纵坐标，所以舍去）或

∴B（﹣m，﹣n），

∵E（0，﹣n），

∴BE∥x轴，

∴S△PBE

＝BE×|y

E

﹣y

P

|＝×m×|﹣n﹣（﹣2n）|＝mn＝3.

【解析】【分析】（1）把A（2，n）代入解析式即可求出n；（2）先求出A点坐标，设

OD＝a，则OE＝2a，得D（a，0），E（0，﹣2a），直线DE的解析式为y＝2x﹣2a，把点

A（3，2）代入求出a，再联立两函数即可求出交点P；（3）由AD＝DE，点D在x轴坐标

轴上，点E在y轴负半轴上，故A（m，n），E（0，﹣n），D（m，0），求得直线DE

的解析式为y＝x﹣n，又mn＝6，得y＝x﹣n，与y＝联立得

，即为P点坐标，由直线AB的解析式为y＝x与双曲线联立解得B

（﹣m，﹣n），再根据S

△PBE

＝BE×|y

E

﹣y

P

|＝×m×|﹣n﹣（﹣2n）|求出等于3.

6．如图①所示,双曲线y=(k≠0)与抛物线y=ax2+bx(a≠0)交于A、B、C三点,已知B(4,2),C(-

2,-4),直线CO交双曲线于另一点D,抛物线与x轴交于另一点E.

（1）求双曲线和抛物线的解析式;

（2）在抛物线上是否存在点P,使得∠POE+∠BCD=90°?若存在,请求出满足条件的点P的坐

标;若不存在,请说明理由;

（3）如图②所示,过点B作直线L⊥OB,过点D作DF⊥L于F,BD与OF交于点P,求的值.

【答案】（1）解：把B(4,2)代人y=(k≠0)得2=元,解得k=8z，

∴双曲线的解析式为y=，

把B(4,2),C(-2,-4)代入y=ax2+bx得，

，

∴，

∴抛物线的解析式为y=

（2）解：连接DB,

∵C(-2,-4),

∴直线OC的解析式为y=2x且与y=的另一个交点D(2,4)，

∴由两点间距离公式得BC=,DB=,CD=，

∴BC2+DB2=CD2，

∴∠CBD=90°，

∴tan∠BDC=.

∵∠POE+∠BCD=90°,∠BCD+∠BDC=90°,

∴∠POE=∠BDC.即tan∠POE=3.

∴P在直线y=3x或y=-3x上,故有两种情况:

解得(0,0)(舍)或(-6,-18)(舍);

，

解得(0,0)(舍)或(18,-54)，

故可得出满足条件的P点有一个(18,-54)；

（3）解：由B(4,2)可得直线OB解析式y=，

由OB⊥l可得l的解析式为y=-2x+b

1

,把(4,2)代入求出b

1

=10,

∴l的解析式为y=-2x+10，

由DF⊥l，OB⊥l可得DF∥OB,

∴可设DF解析式y=x+b

2

，把D(2，4)代入得b

2

=3.

∴DF的解析式为y=x+3，

把DF的解析式与l的解析式联立可得：

解得：

∴，

∴DF=，OB=

.∵DF∥OB，

∴

【解析】【分析】(1)因为双曲线与抛物线交于点A、B、C，且B（4，2），C（-2，-4），

所以用待定系数法即可求得两个函数的解析式；

（2）连接DB,因为直线CO与双曲线交于点D，所以C、D两点关于原点成中心对称，所以

点D（2，4），则可将BC、CD、BD放在直角三角形中，用勾股定理求得这三边的长，然

后计算可得，由勾股定理的逆定理可得∠CBD=90°，则∠BDC的正切值可

求出来，由已知条件∠POE+∠BCD=90°可得∠BDC=∠POE，则tan∠BDC=tan∠POE,点P所

在的直线解析式可得，将点P所在的直线解析式与抛物线的解析式联立解方程组，即可求

得点P的坐标；

（3）由题意直线L⊥OB，根据互相垂直的两条直线的k值互为负倒数易求得直线l的解析

式，因为DF⊥L于F,所以同理可求得直线DF的解析式，把DF的解析式与l的解析式联立

可得点F的坐标，则DF和OB的长可用勾股定理求得，因为DF∥OB，所以由平行线分线

段成比例定理可得比例式;,将DF和OB的值代入即可求解。

7．【阅读理解】对于任意正实数a、b，因为≥0，所以≥0，

所以≥2，只有当时，等号成立．

【获得结论】在≥2（a、b均为正实数）中，若为定值，则≥2，

只有当时，有最小值2．

（1）根据上述内容，回答下列问题：若>0，只有当=________时，有最小值

________．

（2）【探索应用】如图，已知A（－3，0），B（0，－4），P为双曲线（＞

0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最

小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

【答案】（1）1；2

（2）解：设P（x，），则C（x，0），D（0，），∴CA=x+3，BD=+4，∴S四边形

ABCD

=CA×BD=（x+3）（+4），化简得：S=2（x+）+12．∵x＞0，＞0，∴x+≥2

=6，只有当x=，即x=3时，等号成立，∴S≥2×6+12=24，∴四边形ABCD的面积

有最小值24，此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，∴四边形

ABCD是菱形．

【解析】【解答】解：（1）根据题目所给信息可知m+≥2，且当m=时等号，

∴当m=1时，m+≥2，即当m=1时，m+有最小值2．故答案为：1，2；

【分析】（1）此题是一道阅读题，根据题中所给的信息可知：，只有当

m=时等号成立，一个正数只有1和它的倒数相等，从而得出答案；

（2）根据双曲线上点的坐标特点设出P点的坐标，根据垂直于坐标轴上的点的坐标特点表

示出C,D两点的坐标，从而表示出AC,BD的长，根据对角线互相垂直的四边形的面积等于

两对角线积的一半建立出S与x的函数关系式，根据题干提供的信息得出得出

,只有在，即x=3时，等号成立，从而得出S的最小值，从而得出

P,C,D三点的坐标，进而算出AB=BC=CD=DA=5，根据四边相等的四边形是菱形得出结论。

8．如图，直线y=kx与双曲线=－交于A、B两点，点C为第三象限内一点．

（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值；

（2）当k=－，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标；

（3）当△ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式．

【答案】（1）解：把（a，3）代入=－，得，解得a=－2；

（2）解：连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，

则∠ADO=∠CEO=90°，

∴∠DAO+∠AOD=90°，

∵直线y=kx与双曲线=－交于A、B两点，∴OA=OB，

当CA=CB，∠ACB=90°时，∴CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，

∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，

∴△ADO≌△OEC，

又k=－，由y=－x和y=－解得，，所以A点坐标为（－

2，3），

由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，

所以C（-3，-2）；

（3）解：连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，

则∠ADO=∠CEO=90°，

∴∠DAO+∠AOD=90°，

∵直线y=kx与双曲线=－交于A、B两点，∴OA=OB，

∵△ABC为等边三角形，∴CA=CB，∠ACB=60°，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，

∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，

∴△ADO∽△OEC，

∴，

∵∠ACO=∠ACB=30°，∠AOC=90°，∴，

∵C的坐标为（m，n），∴CE=-m，OE=-n，∴AD=－n，OD=－m，

∴A（n，－m），代入y=－中，

得mn=18.

【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出a的值；

（2）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，根据垂直的定义得出

∠ADO=∠CEO=90°，故∠DAO+∠AOD=90°，根据双曲线的对称性得出OA=OB，当CA=CB，

∠ACB=90°时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形的三线合一得出

CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，根据等角的余角相等得出∠DAO=∠EOC，从而

利用AAS判断出△ADO≌△OEC，，解联立直线与双曲线的解析式组成的方程组，得出A

点的坐标，由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，进而得出C点坐标；

（3）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，根据垂直的定义得出

∠ADO=∠CEO=90°，故∠DAO+∠AOD=90°，根据双曲线的对称性得出OA=OB，△ABC为等

边三角形，故CA=CB，∠ACB=60°，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，根据等角的余角相

等得出∠DAO=∠EOC，从而判断出△ADO∽△OEC，根据相似三角形的旋转得出

,根据锐角三角函数的定义，及特殊锐角三角函数值得出

,C的坐标为（m，n），故CE=-m，OE=-n，AD=－n，OD=－

m，从而得出A点的坐标，再代入反比例函数的解析式即可求出mn=18.

9．如图，P

1

、P

2

是反比例函数y=（k＞0）在第一象限图象上的两点，点A

1

的坐标为

（4，0）．若△P

1

OA

1

与△P

2

A

1

A

2

均为等腰直角三角形，其中点P

1

、P

2

为直角顶

点．

（1）求反比例函数的解析式．

（2）①求P

2

的坐标．②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点

P

1

、P

2

的一次函数的函数值大于反比例函数y=的函数值．

【答案】（1）解：过点P

1

作P

1

B⊥x轴，垂足为B∵点A

1

的坐标为（4，0），△P

1

OA

1

为

等腰直角三角形

∴OB=2，P

1

B=OA

1

=2

∴P

1

的坐标为（2，2）

将P

1

的坐标代入反比例函数y=（k＞0），得k=2×2=4

∴反比例函数的解析式为

（2）①过点P

2

作P

2

C⊥x轴，垂足为C∵△P

2

A

1

A

2

为等腰直角三角形

∴P

2

C=A

1

C

设P

2

C=A

1

C=a，则P

2

的坐标为（4+a，a）

将P

2

的坐标代入反比例函数的解析式为，得

a=，解得a

1

=，a

2

=（舍去）

∴P

2

的坐标为（，）

②在第一象限内，当2＜x＜2+时，一次函数的函数值大于反比例函数的值．

【解析】【分析】（1）先根据点A

1

的坐标为（4，0），△P

1

OA

1

为等腰直角三角形，求得

P

1

的坐标，再代入反比例函数求解；（2）先根据△P

2

A

1

A

2

为等腰直角三角形，将P

2

的坐

标设为（4+a，a），并代入反比例函数求得a的值，得到P

2

的坐标；再根据P

1

的横坐标和

P

2

的横坐标，判断x的取值范围．

10．如图1，已知双曲线y=（k＞0）与直线y=k′x交于A、B两点，点A在第一象限，试

回答下列问题：

（1）若点A的坐标为（3，1），则点B的坐标为________；当x满足：________时，

≤k′x；

（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=（k＞0）于P，Q两点，点P在第

一象限．

四边形APBQ一定是________；

（3）若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积．

（4）设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若

可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．

【答案】（1）（﹣3，﹣1）

；﹣3≤x＜0或x≥3

（2）平行四边形

（3）∵点A的坐标为（3，1），

∴k=3×1=3，∴反比例函数的解析式为y=，∵点P的横坐标为1，∴点P的纵坐标为3，∴

点P的坐标为（1，3），

由双曲线关于原点对称可知，点Q的坐标为（﹣1，﹣3），点B的坐标为（﹣3，﹣1），

如图2，过点A、B分别作y轴的平行线，过点P、Q分别作x轴的平行线，分别交于C、

D、E、F，

则四边形CDEF是矩形，

CD=6，DE=6，DB=DP=4，CP=CA=2，

则四边形APBQ的面积=矩形CDEF的面积﹣△ACP的面积﹣△PDB的面积﹣△BEQ的面积

﹣△AFQ的面积

=36﹣2﹣8﹣2﹣8=16．

（4）解：mn=k时，四边形APBQ是矩形，不可能是正方形，理由：当AB⊥PQ时四边形

APBQ是正方形，此时点A、P在坐标轴上，由于点A，P可能达到坐标轴故不可能是正方

形，即∠POA≠90°．因为mn=k，易知P、A关于直线y=x对称，所以PO=OA=OB=OQ，所以

四边形APBQ是矩形．

【解析】【解答】解：（1）∵A、B关于原点对称，A（3，1），

∴点B的坐标为（﹣3，﹣1）．由图象可知，当﹣3≤x＜0或x≥3时，≤k′x．

故答案为（﹣3，﹣1），﹣3≤x＜0或x≥3；（2）∵A、B关于原点对称，P、Q关于原点对

称，

∴OA=OB，OP=OQ，∴四边形APBQ是平行四边形．故答案为：平行四边形；

=36﹣2﹣8﹣2﹣8=16．

【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数的图象的交点关于原点对称，即可解决问题，

利用图象根据正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，即可确定自变量x的范

围．（2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．(3)利用分割法求面积即

可．（3）根据矩形的性质、正方形的性质即可判定．

11．如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A

（1，a），B两点．

（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．

【答案】（1）解：∵点A（1，a）在一次函数y=﹣x+3的图象上，

∴a=﹣1+3=2，

∴点A（1，2）．

∵点A（1，2）在反比例y=（k为常数，且k≠0）的图象上，

∴k=1×2=2，

∴反比例函数的表达式为y=．

联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，得：

，解得：，，

∴点B（2，1）

（2）解：作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，如

图所示．

∵点B、B′关于x轴对称，

∴PB=PB′．

∵点A、P、B′三点共线，

∴此时PA+PB取最小值．

设直线AB′的函数表达式为y=mx+n（m≠0），

将A（1，2）、B（2，﹣1）代入y=mx+n，

，解得：，

∴直线AB′的函数表达式为y=﹣3x+5．

当y=﹣3x+5=0时，x=，

∴满足条件的点P的坐标为（，0）．

【解析】【分析】（1）将x=1代入直线AB的函数表达式中即可求出点A的坐标，由点A

的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式，联立两函数表

达式成方程组，通过解方程组即可求出点B的坐标；（2）作B点关于x轴的对称点B′

（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，由两点之间线段最短可得出此时PA+PB

取最小值，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的函数表达式，再利用一次

函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．

12．在平面直角坐标系中，我们定义点P（a，b）的“变换点”为Q．且规定：当a≥b时，Q

为（b，﹣a）；当a＜b时，Q为（a，﹣b）．

（1）点（2，1）的变换点坐标为________；

（2）若点A（a，﹣2）的变换点在函数y=的图象上，求a的值；

（3）已知直线l与坐标轴交于（6，0），（0，3）两点．将直线l上所有点的变换点组成

一个新的图形记作M．判断抛物线y=x2+c与图形M的交点个数，以及相应的c的取值范

围，请直接写出结论．

【答案】（1）（1，﹣2）

（2）解：当a≥﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（﹣2，﹣a），

代入y=可得﹣a=，解得a=；

当a＜﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（a，2），

代入y=可得2=，解得a=，不符合题意；

综上可知a的值为；

（3）解：设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），将点（6，0）、（0，3）代入y=kx+b

得：，解得，

∴直线l的解析式为y=﹣x+3．

当x=y时，x=﹣x+3，解得x=2．

点C的坐标为（2，﹣2），点C的变换点的坐标为C′（2，﹣2），

点（6，0）的变换点的坐标为（0，﹣6），点（0，3）的变换点的坐标为（0，﹣3），

当x≥2时，所有变换点组成的图形是以C′（2，﹣2）为端点，过（0，﹣6）的一条射线；

即：y=2x﹣6，其中x≥2，

当x＜2时，所有变换点组成的图形是以C′（2，﹣2）为端点，过（0，﹣3）的一条射线，

即y=x﹣3，其中，x＜2．

所以新的图形M是以C′（2，﹣2）为端点的两条射线组成的图形．

如图所示：

由和得：x2﹣x+c+3=0①和x2﹣2x+c+6=0②

讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C′的位置关系可得：

①当方程①无实数根时，即：当c＞﹣时，抛物线y=x2+c与图形M没有交点；

②当方程①有两个相等实数根时，即：当c=﹣时，抛物线y=x2+c与图形M有一个交

点；

③当方程②无实数根，且方程①有两个不相等的实数根时，即：当﹣5＜c＜﹣时，抛

物线y=x2+c与图形M有两个交点；

④当方程②有两个相等实数根或y=x2+c恰好经过经过点C′时，即：当c=﹣5或c=﹣6

时，抛物线y=x2+c与图形M有三个交点；

⑤当方程②方程①均有两个不相等的实数根时，且两根均小于2，即：当﹣6＜c＜﹣5

时，抛物线y=x2+c与图形M有四个交点；

⑥当c＜﹣6时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点．

【解析】【解答】解：（1）∵2≥﹣1，

∴点（2，1）的变换点坐标为（1，﹣2），

故答案为：（1，﹣2）；

【分析】（1）由变换点的定义可求得答案；（2）由变换点的定义可求得A的变换点，代

入函数解析式可求得a的值；（3）先求得直线y=x与直线l的交点坐标，然后分为当x≥2

和x＜2两种情况，求得M的关系式，然后在画出M的大致图象，然后将抛物线y=x2+c与

M的函数关系式组成方程组，然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可．

13．如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），D为B点关于AC的对称点，反

比例函数y=的图象经过D点．

（1）证明四边形ABCD为菱形；

（2）求此反比例函数的解析式；

（3）已知在y=的图象（x＞0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN是平行

四边形，求M点的坐标．

【答案】（1）解：∵A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），

∴OA=4，OB=3，OC=2，

∴AB==5，BC=5，

∴AB=BC，

∵D为B点关于AC的对称点，

∴AB=AD，CB=CD，

∴AB=AD=CD=CB，

∴四边形ABCD为菱形

（2）解：∵四边形ABCD为菱形，

∴D点的坐标为（5，4），反比例函数y=的图象经过D点，

∴4=，

∴k=20，

∴反比例函数的解析式为：y=

（3）解：∵四边形ABMN是平行四边形，

∴AN∥BM，AN=BM，

∴AN是BM经过平移得到的，

∴首先BM向右平移了3个单位长度，

∴N点的横坐标为3，

代入y=，

得y=，

∴M点的纵坐标为：﹣4=，

∴M点的坐标为：（0，）

【解析】【分析】（1）由A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），利用勾股定理可求得

AB=5=BC，又由D为B点关于AC的对称点，可得AB=AD，BC=DC，即可证得

AB=AD=CD=CB，继而证得四边形ABCD为菱形；（2）由四边形ABCD为菱形，可求得点D

的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式；（3）由四边形ABMN

是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求

得点N的坐标，继而求得M点的坐标．

14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，

B．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．

①当m=1时，求线段AB上整点的个数；

②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整

点，结合函数的图象，求m的取值范围．

【答案】（1）解：将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标

为（1，-1）；

（2）解：①m=1时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为（0，0）和

（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；②抛物线顶点

为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1

或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令

y=0，则，得到A、B两点坐标分别为（，0），

（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，

∴．

【解析】【分析】（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）①m=1

时，抛物线表达式为，即可得到A、B的坐标，可得到线段AB上的整点个

数；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点

的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；令

y=0，则，解方程可得到A、B两点坐标分别为（，0），

（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，

即可得到结论．

15．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三

角形”.

（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=________°；

（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5.若AD是∠BAC的平分线，不难证

明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准

互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由.

（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是

“准互余三角形”，求对角线AC的长.

【答案】（1）15

（2）解：如图①中，

在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD，

∴∠B+2∠BAD=90°，

∴△ABD是“准互余三角形”，

∵△ABE也是“准互余三角形”，

∴只有2∠B+∠BAE=90°，

∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°，

∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°，

∴△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，

∴CE=，

∴BE=5﹣=.

（3）解：如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF.

∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，

∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，

∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，

∴A、B、F共线，

∴∠A+∠ACF=90°

∴2∠ACB+∠CAB≠90°，

∴只有2∠BAC+∠ACB=90°，

∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F，

∴△FCB∽△FAC，

∴CF2=FB•FA，设FB=x，

则有：x（x+7）=122，

∴x=9或﹣16（舍去），

∴AF=7+9=16，

在Rt△ACF中，AC=

【解析】【解答】（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，

∴2∠B+∠A=90°，

解得，∠B=15°；

【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明

△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解决问题；（3）如图②中，将△BCD沿BC翻

折得到△BCF.只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，

推出x=9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；