等差数列ppt

时间： 2023-06-03 admin 文学

等差数列ppt

2023年2月10日发(作者：班组长培训心得总结)

专题三数列

第1讲等差数列与等比数列

[真题再现]

1．(2018·课标Ⅰ)记S

为等差数列{a

}的前n项和，若3S

＝S

＋S

，a

＝2，则a

＝( )

A．－12 B．－10

C．10D．12

[解析] 设等差数列{a

}的公差为d，由3S

＝S

＋S

，得3＝2a

1[3a1＋



－



＋×d＋4a

＋×d，将a

＝2代入上式，解得d＝－3，故a

＝a

＋(5－



－





－



1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.

[答案] B

2．(2018·北京)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出

半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，

依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都

等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )122

.f32322

.f12251227

[解析] 由题知，这十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，则第八个122

单音的频率为()7f＝f.故选D.1221227

[答案] D

3．(2018·北京)设{a

}是等差数列，且a

＝3，a

＋a

＝36，则{a

}的通项公式为

________．

[解析] 设公差为d.∵a

＋a

＝36，∴(a

＋d)＋(a

＋4d)＝36，∴2a

＋5d＝

方法

：

36.∵a

＝3，∴d＝6，∴通项公式a

＝a

＋(n－1)d＝6n－3.

设公差为d，∵a

＋a

＝a

＋a

＝36，a

＝3，∴a

＝33，∴d＝＝6.∵

方法

：

a6－

＝3，∴通项公式a

＝6n－3.

[答案] a

＝6n－3

4．(2018·课标Ⅰ)记S

为数列{a

}的前n项和．若S

＝2a

＋1，则S

＝________.

[解析] ∵S

＝2a

＋1，当n≥2时，S

n－1

＝2a

n－1

＋1，∴a

＝S

－S

n－1

＝2a

－2a

n－1

，

即a

＝2a

n－1

当n＝1时，a

＝S

＝2a

＋1，得a

＝－1.∴数列{a

}是首项a

为－1，公比q为2的等

比数列，∴S

＝＝＝1－2n，∴S

＝1－26＝－63.

a1

－

qn

－



－

2n

－

[答案] －63

5．(2018·课标Ⅰ文)已知数列{a

}满足a

＝1，na

n＋1

＝2(n＋1)a

.设b

＝.

(1)求b

，b

；

(2)判断数列{b

}是否为等比数列，并说明理由；

(3)求{a

}的通项公式．

[解] (1)由条件可得a

n＋1

＝a



＋



将n＝1代入得，a

＝4a

，而a

＝1，所以a

＝4.

将n＝2代入得，a

＝3a

，所以a

＝12.

从而b

＝1，b

＝2，b

＝4.

(2){b

}是首项为1，公比为2的等比数列．

由条件可得＝，即b

n＋1

＝2b

，

＋

2an

又b

＝1，所以{b

}是首项为1，公比为2的等比数列．

(3)由(2)可得＝2n－1，

所以a

＝n·2n－1.

6．(2018·课标Ⅲ)等比数列{a

}中，a

＝1，a

＝4a

(1)求{a

}的通项公式；

(2)记S

为{a

}的前n项和．若S

＝63，求m.

[解] (1)设{a

}的公比为q，由题设得a

＝qn－1.

由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.

故a

＝(－2)n－1或a

＝2n－1.

(2)若a

＝(－2)n－1，则S

＝.

－



－

n

由S

＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．

若a

＝2n－1，则S

＝2n－1.

由S

＝63得2m＝64，解得m＝6.

综上，m＝6.

[看透高考]

高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：

1．以选择题、填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列的通项公式、前n项和公

式及其性质解决与项、和有关的计算问题，属于基础题；

2．以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及

其性质等知识交汇综合命题，考查用数列知识分析问题、解决问题的能力，属低、中档

题．

[核心素养]

1．等差、等比数列的通项及前n项和公式

等差数列等比数列

通项公式a

＝ a

＋(n－1)d a

＝ a

qn－1(q≠0)

前n项和

＝



a1＋

an

＝ na

＋d



－



(1)q≠1，

＝

a1

－

qn

－

＝；

a1－

anq

－

(2)q＝1，S

＝ na

2.等差、等比数列的性质

类型等差数列等比数列

＝a

＋a

(m，k，l∈N*且m，k，l

成等差数列)

a＝a

·a

(m，k，l∈N*且m，k，l成等差2k

数列)

项的性质

＋a

＝a

＋a

(m，n，p，q∈N*，

且m＋n＝p＋q)

·a

＝a

·a

(m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋

当n为奇数时：S

＝na

＋

当n为偶数时：

＝q(公比)

S偶

S奇

和的性质

依次每k项的和：S

，S

－S

，S

－

，…构成等差数列

依次每k项的和：S

，S

－S

，S

－S

，…

构成等比数列(k不为偶数且公比q≠

－1)

3.证明(或判断)数列是等差(比)数列的四种基本方法

(1)定义法：a

n＋1

－a

＝d(常数)(a∈N*)⇒{a

}是等差数列；＝q(q是非零常数)⇒{a

}

＋

是等比数列；

(2)等差(比)中项法：2a

n＋1

＝a

＋a

n＋2

(n∈N*)⇒{a

}是等差数列；a＝a

·a

n＋2

(n∈N*，2n

＋

≠0)⇒{a

}是等比数列；

(3)通项公式法：a

＝pn＋q(p，q为常数)⇒{a

}是等差数列；a

＝a

·qn－1(其中a

，q为

非零常数，n∈N*)⇒{a

}是等比数列．

(4)前n项和公式法：S

＝An2＋Bn(A，B为常数)⇒{a

}是等差数列；S

＝Aqn－A(A为非

零常数，q≠0,1)⇒{a

}是等比数列．

4．数列中项的最值的求法

(1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数f(n)＝a

，利用求解函数最值的方

法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数的限制．

(2)利用数列的单调性求解，利用不等式a

n＋1

≥a

(或a

n＋1

≤a

)求解出n的取值范围，从

而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值．

(3)转化为关于n的不等式组求解，若求数列{a

}的最大项，则可解不等式组Error!若求

数列{a

}的最小项，则可解不等式组Error!求出n的取值范围之后，再确定取得最值的项．

【易错警示】

(1)在使用等比数列前n项和公式时，若公比q不能确定是否为1，应分q＝1和q≠1两

种情况讨论．

(2)三个数a，b，c成等差数列的弃要条件是b＝，但三个数a，b，c成等比数列的

＋

必要条件是b2＝ac.

(3)a＝a

n－1

n＋1

(n≥2，n∈N*)是{a

}为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判2n

断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.

(4)根据基本量建立方程组求解时忽略题目中的隐含条件，导致增根或失根．

考向一等差、等比数列的基本运算

【例1】

1．(2018·山师大附中高三三模)等比数列{a

}的前n项和为S

，已知a

＝2a

，且a

与2a

的等差中项为，则S

等于( )

A．29 B．31

C．33D．36

[解析] 法一：设等比数列{a

}的首项为a

，公比为q，由题意知Error!，解得Error!，

所以S

＝＝31，故选B.

a1

－

q5

－

法二：由a

＝2a

，得a

＝2.又a

＋2a

＝，所以a

＝，所以q＝，所以a

＝16，所

以S

＝＝31，故选B.

a2

－

q5

－

[答案] B

2．(2018·吉林二调)是公差不为0的等差数列，满足a＋a＝a＋a，则该数列

{an}24252627

的前10项和S

等于( )

A．－10 B．－5 C．0 D．5

[解析] 由题意，得a－a＝a－a，即＝，24272625(a4－

a7)(a4＋

a7)(a6－

a5)(a6＋

a5)

即－3d＝d，又因为d≠0，所以a

＋a

＝a

＋a

＝0，则该数列的前10项

(a4＋

a7)(a6＋

a5)

和S

＝＝5＝0.故选C.



a1＋

a10

(a6＋

a5)

[答案] C

3．(2018·南昌二模)已知递增数列{a

}对任意n∈N*均满足a

∈N*，aa

＝3n，记b

＝a

·3n

－1(n∈N*)，则数列{b

}的前n项和等于( )

A．2n＋nB．2n＋1－1

C.D.

＋

1－

＋

1－

[解析] 因为aa

＝3n，所以a

≤3，若a

＝1，那么a

＝aa

＝3×1＝3≠1矛盾，若a

＝

2，那么a

＝aa

＝3×1＝3成立，若a

＝3，那么a

＝aa

＝3×1＝3＝a

矛盾，所以a

＝b

＝

2，当aa

＝3a

＝a

，所以b

＝a

·3n－1＝a

·2·3n－2＝3a

·3n－2＝3b

n－1

，即＝3，数列{b

}

－

是首项为2，公比为3的等比数列，所以前n项和为＝＝，故选D.

b1

－

qn

－



－

33

－

＋

1－

[答案] D

【方法提升】

方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用

等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a

、d(或q)、n、a

与S

这五个量，如

果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a

和d(或q)是两个基本量，所以等差数列

与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式，求和公式构建这

两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．

[题组训练]

1．(2018·深圳市二模试卷)设等差数列{a

}的前n项和为S

，若a

＋a

＝4，S

＝60则a

等于( )

A．4 B．6 C．10 D．12

[解析] 等差数列{a

}的前n项和为S

，

∵a

＋a

＝4，S

＝60，∴Error!，

解得a

＝，d＝，∴a

＝a

＋19d＝＋19×＝10.故选C.

[答案] C

2．(2018·山西省太原市模拟)在等差数列{a

}中，2(a

＋a

)＋3(a

＋a

)＝36，则a

等于( )

A．8B．6C．4D．3

[解析] 由等差数列的性质可知，2(a

＋a

)＋3(a

＋a

)＝2×3a

＋3×2a

＝6(a

＋a

)

＝6×2a

＝12a

＝36，∴a

＝3.故选D.

[答案] D

3．(2018·东北三省四市联考)已知等比数列{a

}的前n项和为S

，a

＋a

＝30，S

＝120，

设b

＝1＋log

，那么数列{b

}的前15项和为( )

A．152B．135C．80D．16

[解析] 设等比数列{a

}的公比为q，由a

＋a

＝30，a

＋a

＝S

－(a

＋a

)＝90，所以公

比q＝＝3，首项a

＝＝3，所以a

＝3n，b

＝1＋log

3n＝1＋n，则数列{b

}是等

a2＋

a1＋

＋

差数列，前15项的和为＝135，故选B.



＋



[答案] B

考向二等差、等比数列的性质及应用

【例2】

1．(2018·亳州二模)已知数列{a

}，{b

}满足b

＝log

，n∈N*，其中{b

}是等差数列，

且a

·a

2008

＝，则b

＋b

＋…＋b

2015

等于( )

A．log

2015B．2015C．－2015D．1

008

[解析] ∵数列{a

}，{b

}满足b

＝log

，n∈N*，其中{b

}是等差数列，∴数列{a

}是

等比数列，由a

·a

2008

＝，可得a＝，即a

1008

＝，∴a

·a

2015

＝a

·a

2014

＝…＝a

1007

·a

21008

009

＝a＝，∴b

＋b

＋…＋b

2015

＝log

·a

·…·a

2015

)＝log

2015＝－2015.21008

4(1

[答案] C

2．(2018·江西省宜春市二模)各项均为正数的等比数列{a

}的前n项和为S

，若S

＝10，

＝130，则S

等于( )

A．－30B．40

C．40或－30D．40或－50

[解析] ∵数列{a

}为等比数列且数列{a

}的前n项和为S

，∴S

，S

－S

，S

－S

也构

成等比数列．

∴(S

－S

)2＝S

·(S

－S

)，

∵S

＝10，S

＝130，各项均为正数的等比数列{a

}，

∴(S

－10)2＝10·(130－S

)，∴S

＝40.故选B.

[答案] B

3．(2018·洛阳一模)等比数列{a

}的首项为，公比为－，前n项和为S

，则当n∈N*

时，S

－的最大值与最小值之和为( )

A．－B．－

C.D.

[解析] 依题意得，S

＝

2[1

－(－

2)n]

－(－

＝1－n.当n为奇数时，S

＝1＋随着n的增大而减小，1＜S

＝1＋≤S

＝，S

n(－

2)1

－随着S

的增大而增大，0＜S

－≤；当n为偶数时，S

＝1－随着n的增大而增大，

＝S

≤S

＝1－＜1，S

－随着S

的增大而增大，－≤S

－＜0.因此S

－的最大值

与最小值分别为、－，其最大值与最小值之和为－＝＝，选C.

[答案] C

【方法提升】

(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点

入手选择恰当的性质进行求解．

(2)等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问

题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时

需要进行适当变形．

[题组训练]

1．(2018·福州五校二模联考)在等比数列{a

}中，a

，a

是方程x2－7x＋12＝0的两根，

则的值为( )

a1a17

A．2B．4C．±2D．±4

[解析] ∵a

，a

是方程x2－7x＋12＝0的两根，∴a

＝12，a

＋a

＝7，∵{a

}为等

比数列，又a

，a

同号，∴a

＞0，∴a

＝＝2，∴＝＝a

＝2.故选A.

a3a153

a1a17

a29

[答案] A

2．设公差为d的等差数列{a

}的前n项和为S

，若a

＝1，－

取最

大值时n的值为________．

[解析] 因为等差数列{a

}的公差d为负值，所以{a

}是递减数列．又a

＝1，所以由a

＝a

＋(n－1)d>0得n<，即n<1－，因为－

－

即当n≤9时，a

>0，当n≥10时，a

<0.所以当S

取得最大值时n的值为9.

[答案] 9

3．(2018·湘中名校联考)若{a

}是等差数列，首项a

＞0，a

2016

＋a

2017

＞0，a

2016

·a

2017

＜

0，则使前n项和S

＞0成立的最大正整数n是( )

A．2016 B．2017C．4032D．4033

[解析] 因为a

＞0，a

2016

＋a2017＞0，a2016·a

2017

＜0，所以d＜0，a

2016

＞0，a

2017

＜

0，所以S

4032

＝＝＞0，S

4033

＝＝4033a

4032



a1＋

a4032

4032



a2016＋

a2017

4033



a1＋

a4033

017

＜0，所以使前n项和S

＞0成立的最大正整数n是4032，故选C.

[答案] C

考向三等差、等比数列的综合问题

【例3】

(2018·深圳一模)已知等差数列{a

}的公差为－1，且a

＋a

＝－6.

(1)求数列{a

}的通项公式a

与前n项和S

；

(2)将数列{a

}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b

}的前3

项，记{b

}的前n项和为T

，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S

＋λ恒成立，求

实数λ的取值范围．

[解] (1)由a

＋a

＝－6，得a

＝－2，∴a

＝4，

∴a

＝5－n，从而S

＝.



－



(2)由题意知b

＝4，b

＝2，b

＝1，设等比数列{b

}的公比为q，则q＝＝，

∴T

＝＝8，

4[1

－(1

2)m]

－

－(1

2)m]

∵m随m增加而递减，(1

∴{T

}为递增数列，得4≤T

<8.

又S

＝＝－(n2－9n)



－



＝－，

2[(n

－

2)2－

故(S

)

max

＝S

＝10，若存在m∈N*，使对任意n∈N*总有S

＋λ，

则102.即实数λ的取值范围为(2，＋∞)．

【方法提升】

关于等差、等比数列的综合问题多属于两者运算的综合题以及相互之间的转化，关键是

求出两个数列的基本量：首项和公差(或公比)，灵活运用性质转化条件，简化运算，准确记

忆相关的公式是解决此类问题的关键．

[题组训练]

(2018·山东青岛市二模)已知数列{a

}中，a

＝1，a

·a

n＋1

＝n，记T

为{a

}的前2n(1

项的和，b

＝a

＋a

2n－1

，n∈N*.

(1)判断数列{b

}是否为等比数列，并求出b

；

(2)求T

[解析] (1)∵a

·a

n＋1

＝n，(1

∴a

n＋1

·a

n＋2

＝n＋1，∴＝，即a

n＋2

＝a

.(1

2)an

＋

∵b

＝a

＋a

2n－1

，∴＝＝＝

＋

a2n

＋

2＋

a2n

＋

a2n＋

a2n

－

a2n＋

a2n

－

a2n＋

a2n

－

所以{b

}是公比为的等比数列．

∵a

＝1，a

·a

＝，∴a

＝⇒b

＝a

＋a

＝.

∴b

＝×n－1＝.

2(1

2)3

(2)由(1)可知a

n＋2

＝a

，

所以a

，a

，…是以a

＝1为首项，以为公比的等比数列；a

，a

，…是以a

＝为首项，以为公比的等比数列．

∴T

＝(a

＋a

＋…＋a

2n－1

)＋(a

＋a

＋…＋a

)

＝＋＝3－.

－(1

2)n

－

2[1

－(1

2)n]

－

数列与其他知识的交汇

数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化，特殊

数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基

本运算与应用．

[典题示例]

【典例】 (2018·宜昌月考)已知等差数列{a

}的前n项和为S

，若＝a

＋a

→

016

，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S

2016

等于( )

→

A．1007 B．1008 C．2015 D．2016

[解析] ∵A、B、C三点共线∴＝λ

→

∴－＝λ(－)，＝(1－λ)＋λ

→

又∵＝a

·＋a

2016

，∴a

＝1－λ，a

2016

＝λ

→

∴a

＋a

2016

＝1

∴S

2016

＝＝1008，∴选B.

2016



a1＋

a2016

[答案] B

【方法点睛】

本题巧妙地利用三点共线的条件＝λ：利用待定系数法与等差数列求和公式，解决

→

本题的关键是抓住整体求值思想．

[跟踪训练]

1．(2018·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{a

}中，若a

＝3π，则sin(log

＋log

＋…＋log

)的值为( )

A.B.

C．1D．－

[解析] 因为a

＝3π＝a，所以a

＝3，即log

＋log

＋…＋log

＝log

…a

)34

＝log

a＝7log

3＝，所以sin(log

＋log

＋…＋log

)＝.74

7π

[答案] B

2．(2018·中原名校联考)已知各项都为正数的等比数列{a

}满足a

＝a

＋2a

，存在两项

，a

使得＝4a

，则＋的最小值为( )

am·an

A.B.

C.D.

[解析] 由a

＝a

＋2a

，得a

q6＝a

q5＋2a

q4，整理得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－

1(不合题意，舍去)，又由＝4a

，得a

＝16a，即a2m＋n－2＝16a，即有m＋n－2＝

am·an212121

4，亦即m＋n＝6，那么＋＝(m＋n)

6(1

＋

＝≥＝，当且仅当＝，即n＝2m＝4时取得最小值.

6(4m

＋

5)1

6(2

＋

5)3

[答案] A

3．(2018·吉林省吉林市普通中学调研)艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31

日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作

切线”的方法求函数f(x)的零点时给出一个数列满足x

n＋1

＝x

－，我们把该数

{xn}



xn

′



xn

列称为牛顿数列．如果函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有两个零点1,2，数列为牛顿数列，

{xn}

设a

＝ln，已知a

＝2，x

>2，则的通项公式a

＝________.

xn－

{an}

[解析] ∵函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有两个零点1,2，

∴Error!解得Error!

∴f(x)＝ax2－3ax＋2a，则f′(x)＝2ax－3a.

则x

n＋1

＝x

－＝x

－＝，

ax2n－

3axn＋

2axn－

x2n－

3xn＋

2xn－

x2n－

2xn－

∴＝＝＝2，

＋

1－

＋

1－

x2n－

2xn－

－

x2n－

2xn－

－

x2n－

－



2xn－



x2n－

－



2xn－

(xn－

xn－

则数列a

是以2为公比的等比数列，又∵a

＝2，∴数列是以2为首项，以

{an}

2为公比的等比数列，则a

＝2·2n－1＝2n.

[答案] 2n

一、选择题

1．(2018·广西名校猜题卷)等比数列{a

}中，a

＝2，a

＝5，则数列{lga

}的前10项和

等于( )

A．2 B．lg50

C．10 D．5

[解析] ∵等比数列{a

}中，a

＝2，a

＝5，

∴a

＝a

＝…＝a

＝10，∴数列{lga

}的前10项和S＝lga

＋lga

＋…＋lga

＝lg

…a

＝lg105＝5，故选D

[答案] D

2．(2018·海南省海南中学、文昌中学联考)在正项等比数列{a

}中，已知a

＝64，则a

＋a

的最小值为( )

A．64B．32

C．16D．8

[解析] 在正项等比数列{a

}中，∵a

＝64，∴a

＝a

＝64，∴a

＋a

≥2＝2

a1a764

＝2×8＝16，当且仅当a

＝a

＝8时取等号，∴a

＋a

的最小值为16，故选C.

[答案] C

3．(2018·三湘名校教育联盟联考)一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，

且所有项的积为64，则该数列的项数是( )

A．13B．12

C．11D．10

[解析] 设等比数列为{a

}，其前n项积为T

，由已知得a

＝2，a

n－1

n－2

＝4，可

得(a

)3＝2×4，a

＝2，∵T

＝a

…a

，∴T＝(a

…a

)2＝(a

)(a

n－1

)…(a

)＝(a

＝2n＝642＝212，∴n＝12.

[答案] B

4．(2018·大连模拟)在数列{a

}中，若a

＝2，且对任意正整数m，k，总有a

m＋k

＝a

＋

，则{a

}的前n项和S

等于( )

A．n(3n－1)B.



＋



C．n(n＋1)D.



＋



[解析] 依题意得a

n＋1

＝a

＋a

，即有a

n＋1

－a

＝a

＝2，所以数列{a

}是以2为首项，2

为公差的等差数列，a

＝2＋2(n－1)＝2n，S

＝＝n(n＋1)，选C.



＋



[答案] C

5．(2018·山西高三考前质量检测)记S

为正项等比数列{a

}的前n项和，若－

S12－

7·－8＝0，且正整数m，n满足a

＝2a，则＋的最小值是( )

S6－

A.B.

C.D.

[解析] ∵{a

}是等比数列，设{a

}的公比为q，

∴＝q6，＝q3，∴q6－7q3－8＝0，

S12－

S6－

解得q＝2(负值舍去)．

又a

＝2a，∴a·2m＋2n－2＝2(a

24)3＝a213，353131

∴m＋2n＝15，∴＋＝(m＋2n)

15(1

＋

＝≥＝，

＋

当且仅当＝，即m＝3，n＝6时等号成立，

∴＋的最小值是，故选C.

[答案] C

6．(2018·安徽省蚌埠市教学质量检查)数列是以a为首项，b为公比的等比数列，

{an}

数列满足b

＝1＋a

＋a

＋…＋a

(n＝1,2，…)，数列满足c

＝2＋b

＋b

＋…＋

{bn}{cn}

(n＝1,2，…)，若为等比数列，则a＋b等于( )

{cn}

A.B．3C.D．6

[解析] 由题意知，当b＝1时，{c

}不是等比数列，所以b≠1.由a

＝abn－1，则b

＝1＋

＝1＋－，得c

＝2＋n－·＝2－＋n＋



－

bn

－

abn

－

b(1

＋

－

b)a

－



－

bn

－



－

2

－

＋

－

，要使为等比数列，必有Error!得Error!a＋b＝3，故选B.

abn

＋



－

2

{cn}

[答案] B

二、填空题

7．(2018·河南六市第一次联考)数列{a

}的通项a

＝n2·，其前n项和为(cos2

nπ

－

sin2

nπ

，则S

＝________.

[解析] 由题意可知，a

＝n2·cos，若n＝3k－2，则a

＝(3k－2)2·＝

2nπ

3(－

(k∈N*)；

－

9k2＋

12k

－

若n＝3k－1，则a

＝(3k－1)2·＝(k∈N*)；若n＝3k，则a

＝(3k)2·1＝(－

2)－

9k2＋

－

9k2(k∈N*)，∴a

3k－2

＋a

3k－1

＋a

＝9k－，k∈N*，∴S

＝＝×10＝

10∑

＝

1(9k

－

2)9

－

＋

－

470.

[答案] 470

8．(2018·云南师大附中月考)已知数列{a

}满足a

＝2，且a

＝(n≥2，n∈

2nan

－

1＋

－

N*)，则a

＝________.

[解析] 由a

＝，得＝＋，于是－1＝(n≥2，n∈N*)．

2nan

－

1＋

－

2an

－

2(n

－

又－1＝－，∴数列是以－为首项，为公比的等比数列，故－1＝－，∴a

2{n

－

1}1

＝(n∈N*)．

n·2n

2n－

[答案]

n·2n

2n－

9．(2018·广东省潮州市二模)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：

今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一

十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日

相逢？( )

A．8日B．9日C．12日D．16日

[解析] 由题可知，良马每日行程a

构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马

每日行程b

构成一个首项为97，公差为－0.5的等差数列，则a

＝103＋13(n－1)＝13n＋

90，b

＝97－0.5(n－1)＝97.5－0.5n，则数列{a

}与数列{b

}的前n项和为1125×2＝2250，

又∵数列{a

}的前n项和为×(103＋13n＋90)，数列{b

}的前n项和为×(97＋97.5－0.5n)，

(103＋3n＋90)＋(97＋97.5－0.5n)＝2250，整理得：25n2＋775n－9000＝0，即n2＋31n－360

＝0，解得：n＝9或n＝－40(舍)，即九日相逢．故选B.

[答案] B

10．(2018·河北第二次大联考)数列{log

}是首项为4，公差为2的等差数列，其中

k>0，且k≠1.设c

＝a

lga

，若{c

}中的每一项恒小于它后面的项，则实数k的取值范围为

________．

[解析] 由题意得log

＝2n＋2，则a

＝k2n＋2，∴＝＝k2，即数列{a

}是以

＋



＋



＋

k2n

＋

k4为首项，k2为公比的等比数列，c

＝a

lga

＝(2n＋2)·k2n＋2lgk，要使c

n＋1

对一切n∈N*

恒成立，即(n＋1)lgk1时，lgk>0，n＋1<(n＋2)k2

对一切n∈N*恒成立；当0

＋

min

.∵＝1－单调递增，∴当n＝1时，取得最小值，即

min

＝，∴k2＜，

＋

2(n

＋

2)2

且0

3(0

，

[答案] ∪(1，＋∞)(0

，

三、解答题

11．(2018·内蒙古包头模拟)已知数列的前n项和为S

，且S

＝2a

－3n(n∈

{an}

N*)．

(1)求a

，a

的值；

(2)是否存在常数λ，使得数列{a

＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a

；

若不存在，请说明理由．

[解] (1)当n＝1时，由S

＝2a

－3×1，得a

＝3；

当n＝2时，由S

＝2a

－3×2，可得a

＝9；

当n＝3时，由S

＝2a

－3×3，得a

＝21.

(2)令(a

＋λ)2＝(a

＋λ)·(a

＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)·(21＋λ)，解得λ＝3.

由S

＝2a

－3n及S

n＋1

＝2a

n＋1

－3(n＋1)，两式相减，得a

n＋1

＝2a

＋3.

由以上结论得a

n＋1

＋3＝(2a

＋3)＋3＝2(a

＋3)，所以数列{a

＋3}是首项为6，公比为2

的等比数列，因此存在λ＝3，使得数列{a

＋3}为等比数列，所以a

＋3＝(a

＋3)×2n－1，a

＝3(2n－1)(n∈N*)．

12.(2018·东北三省四市联考)已知数列{a

}的前n项和为S

，且S

－1＝3(a

－1)，n∈

N*.

(1)求数列{a

}的通项公式；

(2)设数列{b

}满足a

n＋1

＝a

·b

，若b

≤t对于任意正整数n都成立，求实数t的(3

取值范围．

[解] (1)由已知得S

＝3a

－2，令n＝1，得a

＝1，又a

n＋1

＝S

n＋1

－S

＝3a

n＋1

－3a

⇒a

＋1

＝a

，所以数列{a

}是以1为首项，为公比的等比数列，所以a

＝n－1.(2)由a

n＋1

2(3

＝a

·b

，得b

＝loga

n＋1

＝()n－1log()n＝n·n－1，所以b

n＋1

－b

＝(n＋(3

2)1

2(2

1)·n－n·n－1＝(2－n)，所以(b

)

max

＝b

＝，所以t≥.(2

3)(2

3)2n

－