反比例函数图像
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2023年2月12日发(作者：)学习文档仅供参考
第六章反比例函数
2.反比例函数的图象与性质〔二〕
一、学生知识状况分析
函数是研究现实世界变化规律的一个重要数学模型，学生曾在七年级下册和
八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等相关知识，对函数的概
念和研究函数的方法有了初步的认识和了解．特别是在学习一次函数时，学生已
经掌握了如何画一次函数的图象，探究过一次函数的性质，积累了一定的活动经
验和方法感悟，在此基础上学习反比例函数的图象与性质，可以让学生进一步领
悟函数的概念，进一步积累探究函数图象和性质的方法，为后续探究二次函数的
图像和性质做好知识上和方法上的铺垫．
二、教学任务分析
《反比例函数的图象与性质》安排在北师大版教材九年级上册，共分两课时，
本节课是第二课时．在第一课时中，学生已经学会如何画反比例函数的图象，并
对0k和0k时函数图象的特点有了初步的认识，本节课主要是在第一课时的
基础上，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数的自身规律，在质
疑、讨论、交流中增强学生对图象的感知能力，加深对反比例函数
k
y
x
性质的
理解和掌握。由此，本节课的教学目标制定如下：
知识与技能目标：
能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解反比例函数的
主要性质．
提高学生观察、分析能力和对图象的感知水平，领会研究函数的一般要求．
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过程和方法目标：
让学生经历知识的探究过程，通过全面的观察和比较，积累数学方法和活动
经验．
逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合和分类讨论的数学思想．
情感、态度和价值观目标：
经历小组合作与交流活动，在质疑、追问、讨论中达成共识，发展合作能力
和语言表达能力.
在教学目标的基础上制定如下的教学重点、教学难点：
重点：探索反比例函数的主要性质.
难点：理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑
问题．
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：
第一环节：要点回忆铺平道路；第二环节：设问质疑探究尝试；第三
环节：实际运用稳固新知；第四环节：激趣质疑再探新知；第五环节：活学
活用稳固提高；第六环节：总结串联纳入系统；第七环节：分层达标课后
延伸.
第一环节：要点回忆铺平道路
内容：
1.以下函数中，哪些是反比例函数？
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〔1〕
1
1
y
x
〔2〕
3
y
x
〔3〕
2
1
y
x
〔4〕
2
y
x
〔5〕
1
3
y
x
2.你能想到
2
y
x
的图象吗？它是什么形状？有什么特点？
3
y
x
呢？
教学策略：
让学生找出题目中的反比例函数，运用空间想象能力，勾勒出反比例函数
2
y
x
，
3
y
x
的图象，并回忆每个函数的图象特点，在具体问题中加深对反比
例函数定义以及图象的再认知．
设计意图：
反比例函数的定义以及函数图象的特点，是继续进行本节内容学习的重要知
识储备．本环节防止单纯的复习定义以及对知识的简单复述，力图通过具体问题，
让学生在解决问题的过程中加深对知识本身的理解，培养学生的空间想象能力和
对知识的实际运用能力．
第二环节：设问质疑探究尝试
内容1：试一试
观察反比例函数
2
y
x
，
4
y
x
，
6
y
x
的图象，你能发现它们的共同特征吗?
(1)函数图象分别位于哪几个象限内？
(2)在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是
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为什么吗？
(3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？
教学策略：
1．本环节的问题串，能有效的激发学生的思考热情，教师要善于运用启发
性的语言，调动起学生思维的“小宇宙”．
2．对于问题〔2〕、〔3〕，教师要给学生留有充分的讨论、交流的时间和空
间，让学生对图象进行细致的观察、类比、分析、交流，鼓励学生尽可能多的从
图象中获取信息，并对信息进行分析、综合、概括、归纳，形成知识系统．
3．在讨论、交流过程中，教师要指导学生勇于表达自己的想法，善于倾听
他人的见解，让讨论在质疑、追问中进行．
设计意图：
本环节意在通过观察三个反比例函数的图象，分析、归纳、概括出反比例函
数的主要性质．在问题的设置上，引导学生从对图象的直观观察开始，逐步上升
到理性的分析，顺应学生思维的发展，在有效的问题引领下，培养学生的逻辑思
维能力和数形结合能力．
内容2：议一议
考察当k=-2，-4，-6时，反比例函数
k
y
x
的图象，它们有哪些共同特征？
教学策略：
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前面已经对0k时，反比例函数图象的特征进行了分析，此处可以完全放
手给学生，让学生通过类比，分析、归纳、概括出0k时图象的共同特征，教
师只需进行适时的点拨．
设计意图：
通过对0k时反比例函数图像特征的探究，培养学生利用数形结合探究问
题的意识，发展学生类比分析问题的能力，使学生在知识上更加完善，在能力上
逐步提高．
内容3：说一说
你能尝试着说说反比例函数
k
y
x
的图象有哪些共同特征吗？
教学策略：
1．在具体问题探究的基础上，让学生尝试着总结反比例函数
k
y
x
的图象
性质，从具体问题的分析进一步上升到理性的概括、归纳．
2．鼓励学生大胆表述自己的想法，语言即使不标准、不完整，教师也要给
以充分的肯定、表扬，在讨论、交流的基础上使语言更加完善．
设计意图：
“试一试”、“议一议”已经对反比例函数的图象特征进行了细致的分析，内
容3主要是将知识进行了系统的归纳、概括，通过讨论、交流，形成完整、标准
的结论，培养了学生的语言表达能力和对知识的归纳、概括能力．
第三环节：实际运用稳固新知
内容：练一练
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1.以下函数：①
1
y
x
；②
3
y
x
；③
1
2
y
x
；④
7
y
x
中
〔1〕图象位于二、四象限的有；
〔2〕在每一象限内，y随x的增大而增大的有；
〔3〕在每一象限内，y随x的增大而减小的有．
2.假设函数
2m
y
x
的图象在其象限内，y随x的增大而增大，则m的取
值范围是．
3.点
1,1
()Axy，
2,2
()Bxy都在反比例函数
3
y
x
的图象上，假设
12
0xx，
则
1,2
yy的大小关系是．
变式：
点
1,1
()Axy，
2,2
()Bxy都在反比例函数
3
y
x
的图象上，假设
21
xx，则
1,2
yy
的大小关系是．
教学策略：
1．留有充分的时间，让学生独立完成。在此基础上，小组交流，每名成员
完成一个题目的讲解，力争让所有学生都积极地投入到知识的学习中．
2．问题3的变式中蕴含分类讨论思想，教学中让学生独立思考，然后交流
各自的想法，关注学生思维的广度和深度．
设计意图：
1.通过几个小题目的练习，及时运用、稳固所学的知识，使学生加深对反比
例函数性质的理解．
2.运用变式训练，拓展学生思维的广度，渗透分类讨论的数学思想．
3.课堂上以小组合作讲解的形式，让每个学生都融入到表达与倾听中，调动
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每个学生的主观能动性，夯实基础．
第四环节：激趣质疑再探新知
内容1：想一想
在一个反比例函数图象任取两点P、Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，
与坐标轴围成的矩形面积为
1
S；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围
成的矩形面积为
2
S，
1
S与
2
S有什么关系？为什么？
〔1〕让我们从具体的反比例函数
x
y
2
开始考虑：
此时，
1
S与
2
S有什么关系？为什么？
〔2〕对于一般的反比例函数
x
k
y呢？
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教学策略：
1.给出具体的反比例函数
x
y
2
，让学生按题目要求，取点、构造矩形
1
S、
2
S，自主探究
1
S与
2
S之间的关系，然后由学生讲解，教师进行方法的总结和点
拨．
2．在前面探究的基础上，对于一般的反比例函数
x
k
y，可以完全放手给
学生，充分利用小组成员间的合作，探究、归纳、概括出一般性的结论——矩形
面积总等于k，教师在整个过程中要给以适时的点拨和及时的总结．
设计意图：
如果直接探究函数
x
k
y，对于有些学生来说有一定的困难．为了突破这一
难点，先给出简单的反比例函数
x
y
2
，在探究了具体函数的基础上，再由特殊
到一般，进一步探究
x
k
y，符合学生的认知规律．
内容2：变一变
在一个反比例函数图象任取两点P、Q，过点P作x轴的垂线，连接PO〔O
为原点〕，与坐标轴围成的三角形面积为
1
S；过点Q作x轴的垂线，连接QO，
与坐标轴围成的三角形面积为
2
S，
1
S与
2
S有什么关系？为什么？
教学策略：
将问题直接抛给学生，类比前面探究问题的方法，让学生来寻求解决问题的
策略．
设计意图：
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通过变式探究，开阔学生的思路，促进学生思维的发展，形成有效的知识建
构．
第五环节：活学活用稳固提高
1．如图，),(yxP是反比例函数
x
y
3
的图象在第一象限分支上的一个动点，
，轴于点AxPA，轴于点ByPB随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积
〔〕
A．不变B.增大C.减小D.无法确定
2．如图，),(yxP是反比例函数
x
y
3
的图象在第一象限分支上的一个动点，
过点P作APAx轴于点，连接PO，则△PAO的面积为．
3．已知点)2,3(P、点),2(aQ都在反比例函数
x
k
y的图象上.过点P分别
作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积是
1
S；过点Q分别作两坐标轴的
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垂线，垂线与两坐标轴围成的面积是
2
S.求
21
SS、、a的值.
教学策略：
3个题目都比较基础，教师可以让学生独立完成，然后共同交流，总结知识，
提炼方法．
设计意图：
稳固所学知识，加深对反比例函数性质的理解．
第六环节：归纳总结纳入系统
内容：
本节课你学到了反比例函数的哪些新知识?
你有哪些感悟和收获？
你还有想继续探究的问题吗？
你对小组成员有什么评价和建议呢？
教学策略：
引导学生对自己的学习过程进行提炼、反思，从知识上和方法上进行总结．
设计意图：
引导学生关注数学的学习过程，及时总结、反思、交流，同时重视小组内的
合作和交流，倾听小组成员的评价、建议，取长补短，共同提高．
第七环节：分层达标课后延伸
A层：
1.以下函数中，图象位于第一、三象限的有；在图象所在象限内，y的值
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随x的增大而增大的有．
(1)
x
y
3
2
；〔2〕
x
y
1.0
；〔3〕
x
y
5
；〔4〕
x
y
75
2
2.已知点A〔-1，
1
y〕、B〔-2，
2
y〕在双曲线
1
y
x
上，则
1
y
2
y(填“>、
<或=”〕．
B层：
已知点
1
(2,)y，
2
(1,)y，
3
(1,)y，
4
(2,)y都在反比例函数
1
y
x
的图象上，比较
1
y、
2
y、
3
y与
4
y的大小．
C层：
已知点
1
(2,)y，
2
(1,)y，
3
(3,)y都在反比例函数
k
y
x
的图象上，比较
1
y、
2
y、
3
y的大小．
教学策略：让学生根据自身的学习情况，自主选择适合的题目。尽可能当堂反馈
检测结果，如果时间不允许，可以课后反馈，但一定要及时．
设计意图：设置不同层次、具有选择性的题目，供不同的学生选择，实现“不同
的人在数学上得到不同的发展”．
作业：
A层：习题1、2
B层：习题3、4
C层：习题5
附：板书设计
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四、教学设计反思
1．学生在学习本节课前经历过一次函数图象和性质的探索过程，对函数图
象和性质的探究方法有了初步的认识，这些对本节课知识的学习起到了很好的铺
垫作用．本节课又不同于研究一次函数，由于反比例函数的图象相对于一次函数
图象的特殊性，使得对反比例函数图象和性质的探索过程更加细致、全面．教学
设计中，特别注重了比例函数性质的探索过程，通过问题的引领让生更全面的对
函数进行观察和比较，给学生创设了充足的讨论时间和空间，鼓励学生用自己的
语言对观察和概括的结论进行充分的表达和描述．
2．学生能做的让学生做，学生能说的让学生来说，教学设计中关注了学生
主体作用的发挥，教师进行适时的引领和点拨，教学中教师要用煽动性的语言，
激发学生探究的热情，点燃学生学习的激情．
反比例函数的图象与性质〔二〕
一、探究过程二、性质提炼
结论：；
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3．本节课学生的参与度较高，教师要了解学生参与活动中情感与智力的参
与程度，及时进行多角度的积极评价，帮助学生建立自信，发挥评价的教育功能．