求函数的值域

求函数的值域

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2023年2月15日发(作者：总时差和自由时差)

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.z.

函数值域求法小结

一、基本知识

1．定义：因变量y的取值*围叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2．函数值域常见的求解思路：

⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。

⑵．反解函数，将自变量*用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，

解不等式即可获解。

⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数

()yfx

看作是关于自变量

x

的方

程，在值域中任取一个值

0

y，

0

y对应的自变量

0

x一定为方程

()yfx

在定义域中的一个解，

即方程

()yfx

在定义域内有解；另一方面，若

y

取*值

0

y，方程

()yfx

在定义域内有解

0

x，

则

0

y一定为

0

x对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于

x

的方程

()yfx

在

定义域内有解的

y

得取值*围。特别地，若函数可看成关于

x

的一元二次方程，则可通过一元

二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。

⑷．可以用函数的单调性求值域。

⑸．其他。

3．函数值域的求法

一、观察法（直接法）（从自变量

x

的*围出发，推出()yfx的取值*围。或由函数的定义域结

合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。）

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.z.

1、求函数1yx的值域2、求

242xy

的值域。

3、求函数的值域。4、求函数

1

11

y

x





的值域

二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域）

1、求函数242yxx的值域。

2、求函数2256yxx（[1,1]x）的值域。

三、最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。

1、求函数)4,0(422xxxy的值域。

2、已知(2*2-*-3)/(3*2+*+1)≤0，且满足*+y=1，求函数z=*y+3*的值域。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制。

四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，

得到原函数的值域。

1、求函数

1

1







x

x

e

e

y的值域。

2、求函数

1

2





x

x

y的值域。

五、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为

0)()()(2yCxyBxyA的形式，再利用判别式加以判断）

1、求函数

32

742

2

2







xx

xx

y

的值域。

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.z.

2、求函数

22

1

2



xx

xy

的值域。

六、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用

三角代换）等）

1、求函数xxy41332的值域。

2、求函数212yxx的值域。

注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的*围，否则将会发生错误。

七、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转

化为为

)(xfky

(为k常数)的形式）

1、求函数

12

2







xx

xx

y的值域。

2、求函数23

1





x

xy

的值域。

3、求函数

1

25

x

y

x







的值域。

注意到分时的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得

函数值域。

八、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后

利用函数图像求其值域）

1、求函数13yxx的值域。

2、求函数

|3||5|yxx

的值域。

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.z.

九、有界性法：利用*些函数有界性求得原函数的值域。

1、求函数

2

2

1

1

x

y

x







的值域。

2、求函数

12

12







x

x

y的值域

十、函数的单调性法：确定函数在定义域（或*个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值

域。

1、求函数12yxx的值域。

2、求函数

x

xy

1



在区间,0x

上的值域。

3、求函数xxy863的值域。

十一、复合函数法：对函数

(),()yfuugx

，先求

()ugx

的值域充当

()yfu

的定义域，从

而求出

()yfu

的值域的方法。

1、求函数

13

3





x

x

y的值域

2、求函数2

1

2

log(253)yxx

的值域。

十二、“平方开方法”

求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开

方法”等等.每一种方法都适用于求*一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方

开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.

1.适合采用“平方开方法”的函数特征

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.z.

设()fx（xD）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特

征：

（1）()fx的值总是非负，即对于任意的xD，()0fx恒成立；

（2）()fx具有两个函数加和的形式，即

12

()()()fxfxfx（

xD

）；

（3）()fx的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即

22

12

()[()()]()fxfxfxcgx（xD，c为常数），

其中，新函数()gx（xD）的值域比较容易求得.

2.“平方开方法”的运算步骤

若函数()fx（xD）具备了上述的三个特征，则可以将()fx先平方、再开方，从而得到

()()fxcgx（xD，c为常数）.然后，利用()gx的值域便可轻易地求出()fx的值域.例如

()[,]gxuv，则显然()[,]fxcucv.

1、求函数xxy53的值域

2、求函数()fxbxxa（

[,]xab

，

ab

）的值域.