微积分计算

微积分计算

-

2023年2月10日发(作者：杏树根)

微积分公式与定积分计算练习（附加三角函

数公式）

一、基本导数公式

⑴

0c





⑵

1xx

⑶

sincosxx





⑷

cossinxx





⑸

2tansecxx





⑹

2cotcscxx





⑺

secsectanxxx





⑻

csccsccotxxx





⑼

xxee





⑽

lnxxaaa





⑾



1

lnx

x





⑿

1

log

ln

x

axa





⒀



2

1

arcsin

1

x

x







⒁



2

1

arccos

1

x

x







⒂



2

1

arctan

1

x

x







⒃



2

1

arccot

1

x

x







⒄

1x





⒅

1

2

x

x





二、导数的四则运算法则

uvuv





uvuvuv





2

uuvuv

vv















三、高阶导数的运算法则

（1)

n

nnuxvxuxvx





(2）



n

ncuxcux





(3）



n

n

nuaxbauaxb





（4）



()

0

n

n

nk

kk

n

k

uxvxcuxvx











四、基本初等函数的n阶导数公式

（1）



!n

nxn

（2)

n

axbnaxbeae

(3)



lnn

xxnaaa

(4)



sinsin

2

n

naxbaaxbn















（5)



coscos

2

n

naxbaaxbn















（6）





1

1!

1

n

n

n

n

an

axb

axb















（7）







1

1!

ln1

n

n

n

n

an

axb

axb













五、微分公式与微分运算法则

⑴

0dc

⑵

1dxxdx

⑶

sincosdxxdx

⑷

cossindxxdx

⑸

2tansecdxxdx

⑹

2cotcscdxxdx

⑺

secsectandxxxdx

⑻

csccsccotdxxxdx

⑼

xxdeedx

⑽

lnxxdaaadx

⑾



1

lndxdx

x



⑿

1

log

ln

x

a

ddx

xa



⒀



2

1

arcsin

1

dxdx

x





⒁



2

1

arccos

1

dxdx

x





⒂



2

1

arctan

1

dxdx

x





⒃



2

1

arccot

1

dxdx

x





六、微分运算法则

⑴

duvdudv

⑵

dcucdu

⑶

duvvduudv

⑷

2

uvduudv

d

vv











七、基本积分公式

⑴

kdxkxc

⑵

1

1

x

xdxc















⑶

ln

dx

xc

x



⑷

ln

x

x

a

adxc

a



⑸

xxedxec

⑹

cossinxdxxc

⑺

sincosxdxxc

⑻

2

2

1

sectan

cos

dxxdxxc

x



⑼

2

2

1

csccot

sin

xdxxc

x



⑽

2

1

arctan

1

dxxc

x







⑾

2

1

arcsin

1

dxxc

x







八、补充积分公式

tanlncosxdxxccotlnsinxdxxc

seclnsectanxdxxxccsclncsccotxdxxxc

22

11

arctan

x

dxc

axaa





22

11

ln

2

xa

dxc

xaaxa









22

1

arcsin

x

dxc

a

ax





22

22

1

lndxxxac

xa







九、下列常用凑微分公式

积分型换元公式



1

faxbdxfaxbdaxb

a



uaxb

1

1

fxxdxfxdx



ux



1

lnlnlnfxdxfxdx

x

lnux

xxxxfeedxfedexue

1

ln

xxxxfaadxfada

a

xua

sincossinsinfxxdxfxdxsinux

cossincoscosfxxdxfxdx

cosux

2tansectantanfxxdxfxdx

tanux

2cotcsccotcotfxxdxfxdx

cotux



2

1

arctanarcnarcn

1

fxdxftaxdtax

x







arctanux



2

1

arcsinarcsinarcsin

1

fxdxfxdx

x





arcsinux

十、分部积分法公式

⑴形如

naxxedx

,令

nux

，

axdvedx

形如

sinnxxdx

令

nux

，

sindvxdx

形如

cosnxxdx

令

nux

,

cosdvxdx

⑵形如

arctannxxdx

，令

arctanux

，

ndvxdx

形如

lnnxxdx

，令

lnux

，

ndvxdx

⑶形如

sinaxexdx

，

cosaxexdx

令

,sin,cosaxuexx

均可。

十一、第二换元积分法中的三角换元公式

（1）

22ax

sinxat

（2)

22ax

tanxat

(3)

22xa

secxat

【特殊角的三角函数值】

（1）

sin00

（2）

1

sin

62





（3）

3

sin

32





（4)

sin1

2





（5）

sin0

(1）

cos01

(2）

3

cos

62





（3）

1

cos

32





（4）

cos0

2





(5)

cos1

（1）

tan00

（2）

3

tan

63





(3）

tan3

3





（4）

tan

2



不存在（5)

tan0

（1）

cot0

不存在（2)

cot3

6





（3）

3

cot

33





（4）

cot0

2





(5）

cot

不存在

十二、重要公式

（1）0

sin

lim1

x

x

x



（2)

1

0

lim1x

x

xe





（3)

lim()1n

n

aao





（4）

lim1n

n

n





（5）

limarctan

2x

x







（6）

limtan

2x

arcx







（7）

limarccot0

x

x





（8）

limarccot

x

x





（9）

lim0x

x

e





（10）

limx

x

e





（11）0

lim1x

x

x





（12）

0

0

1

01

1

01

lim0

nn

n

mm

x

m

a

nm

b

axaxa

nm

bxbxb

nm



































（系数不为0的情况）

十三、下列常用等价无穷小关系（

0x

）

sinxxtanxxarcsinxxarctanxx

2

1

1cos

2

xx

ln1xx

1xex1lnxaxa

11xx

十四、三角函数公式

1。两角和公式

sin()sincoscossinABABABsin()sincoscossinABABAB

cos()coscossinsinABABABcos()coscossinsinABABAB

tantan

tan()

1tantan

AB

AB

AB







tantan

tan()

1tantan

AB

AB

AB







cotcot1

cot()

cotcot

AB

AB

BA







cotcot1

cot()

cotcot

AB

AB

BA







2。二倍角公式

sin22sincosAAA2222cos2cossin12sin2cos1AAAAA

2

2tan

tan2

1tan

A

A

A





3。半角公式

1cos

sin

22

AA



1cos

cos

22

AA



1cossin

tan

21cos1cos

AAA

AA







1cossin

cot

21cos1cos

AAA

AA







4。和差化积公式

sinsin2sincos

22

abab

ab



sinsin2cossin

22

abab

ab





coscos2coscos

22

abab

ab



coscos2sinsin

22

abab

ab





sin

tantan

coscos

ab

ab

ab







5.积化和差公式



1

sinsincoscos

2

ababab







1

coscoscoscos

2

ababab







1

sincossinsin

2

ababab







1

cossinsinsin

2

ababab





6。万能公式

2

2tan

2

sin

1tan

2

a

a

a





2

2

1tan

2

cos

1tan

2

a

a

a





2

2tan

2

tan

1tan

2

a

a

a





7。平方关系

22sincos1xx22secn1xtax22csccot1xx

8。倒数关系

tancot1xxseccos1xxcsin1csxx

9。商数关系

sin

tan

cos

x

x

x



cos

cot

sin

x

x

x



十五、几种常见的微分方程

1。可分离变量的微分方程：



dy

fxgy

dx



，



1122

0fxgydxfxgydy

2.齐次微分方程：

dyy

f

dxx









3。一阶线性非齐次微分方程：



dy

pxyQx

dx



解为：

pxdxpxdxyeQxedxc











高考定积分应用常见题型大全

一．选择题(共21小题）

1．（2012•福建)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部

分的概率为()

A．B．C．D．

2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）

A．B．C．D．

3．设f(x）=,函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）

A．B．C．D．

4．定积分的值为（）

A．B．3+ln2C．3﹣ln2D．6+ln2

5．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（)

A．1B．C．D．

6．=（)

A．πB．2C．﹣πD．4

7．已知函数f（x）的定义域为［﹣2，4]，且f（4）=f(﹣2）=1，f′（x）为f(x）的导函数，

函数y=f′(x）的图象如图所示，则平面区域f(2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是(）

A．2B．4C．5D．8

8．∫0

1exdx与∫0

1exdx相比有关系式()

A．

∫0

1exdx＜∫0

1exdx

B．

∫0

1exdx＞∫0

1exdx

C．

（∫0

1exdx）2=∫0

1exdx

D．

∫0

1exdx=∫0

1exdx

9．若a=,b=，则a与b的关系是（）

A．a＜bB．a＞bC．a=bD．a+b=0

10．的值是（）

A．B．C．D．

11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=(）

A．

+e2﹣e

B．

+e

C．

﹣e2+e

D．

﹣+e2﹣e

12．已知f（x)=2﹣｜x|，则()

A．3B．4C．3.5D．4.5

13．设f（x）=3﹣｜x﹣1|，则∫﹣2

2f（x）dx=（）

A．7B．8C．7.5D．6。5

14．积分=()

A．B．C．πa2D．2πa2

15．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为(）

A．1/2B．1C．2D．3/2

16．由函数y=cosx（0≤x≤2π)的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积是

()

A．4B．C．D．2π

17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）

A．B．C．D．

18．图中,阴影部分的面积是（）

A．16B．18C．20D．22

19．如图中阴影部分的面积是()

A．B．C．D．

20．曲线与坐标轴围成的面积是（)

A．B．C．D．

21．如图,点P（3a,a）是反比例函y=（k＞0)与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为

10π，则反比例函数的解析式为（）

A．

y=

B．

y=

C．

y=

D．

y=

高考定积分应用常见题型大全(含答案）

参考答案与试题解析

一．选择题（共21小题）

1．(2012•福建）如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影

部分的概率为()

A．B．C．D．

考点：定积分在求面积中的应用；几何概型．501974

专题：计算题．

分析：

根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=

围成,由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．

解答：解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1,

而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫0

1（﹣x）dx=（﹣）|0

1=，

则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；

故选C．

点评：本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用,关键是正确计算出阴影部分

的面积．

2．（2010•山东)由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为(）

A．B．C．D．

考点:定积分在求面积中的应用．501974

专题：计算题．

分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫0

1（x2

﹣x3）dx即可．

解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是(1，1）,（0,0)故积分区间是［0，1]

所求封闭图形的面积为∫0

1（x2﹣x3）dx═,

故选A．

点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．

3．设f(x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）

A．B．C．D．

考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应

用．501974

专题：计算题；数形结合．

分析：利用坐标系中作出函数图象的形状，通过定积分的公式，分别对两部分用定积分求出

其面积，再把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积．

解答:解：根据题意作出函数的图象：

根据定积分，得所围成的封闭区域的面积

S=

故选C

点评：本题考查分段函数的图象和定积分的运用,考查积分与曲边图形面积的关系，属于中档

题．解题关键是找出被积函数的原函数,注意运算的准确性．

4．定积分的值为(）

A．B．3+ln2C．3﹣ln2D．6+ln2

考点：定积分；微积分基本定理；定积分的简单应用．501974

专题:计算题．

分析：由题设条件，求出被积函数的原函数,然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可．

解答:

解：=（x2+lnx）｜1

2=（22+ln2）﹣（12+ln1）=3+ln2

故选B．

点评：本题考查求定积分,求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属于

基础题．

5．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图(阴影部分），其面积是(）

A．1B．C．D．

考点:定积分；定积分的简单应用．501974

专题：计算题．

分析:

联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈(0,1）区间上利

用定积分的方法求出围成的面积即可．

解答：

解：联立得,

解得或，

设曲线与直线围成的面积为S,

则S=∫0

1（﹣x2）dx=

故选：C

点评：考查学生求函数交点求法的能力,利用定积分求图形面积的能力．

6．=（)

A．πB．2C．﹣πD．4

考点：微积分基本定理；定积分的简单应用．501974

专题：计算题．

分析：

由于F（x）=x2+sinx为f（x)=x+cosx的一个原函数即F′（x）=f(x），根据∫a

bf（x）

dx=F（x）｜a

b公式即可求出值．

解答：

解：∵(x2++sinx）′=x+cosx，

∴(x+cosx）dx

=(x2+sinx）

=2．

故答案为：2．

点评：此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道基础题．

7．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f(4)=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，

函数y=f′（x)的图象如图所示，则平面区域f(2a+b)＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（)

A．2B．4C．5D．8

考点：定积分的简单应用．501974

分析:根据导函数的图象,分析原函数的性质或作出原函数的草图,找出a、b满足的条件，画

出平面区域，即可求解．

解答：解：由图可知［﹣2,0）上f′(x）＜0,

∴函数f（x）在［﹣2，0）上单调递减，(0，4］上f′（x）＞0，

∴函数f（x)在(0,4］上单调递增，

故在[﹣2,4]上，f（x）的最大值为f（4)=f（﹣2）=1，

∴f（2a+b）＜1（a≥0,b≥0）⇒

表示的平面区域如图所示：

故选B．

点评：本题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题．解

决时要注意数形结合思想应用．

8．∫0

1exdx与∫0

1exdx相比有关系式（）

A．

∫0

1exdx＜∫0

1exdx

B．

∫0

1exdx＞∫0

1exdx

C．

（∫0

1exdx）2=∫0

1exdx

D．

∫0

1exdx=∫0

1exdx

考点：定积分的简单应用;定积分．501974

专题:计算题．

分析：

根据积分所表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=ex或y=ex在图象第一象

限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可．

解答：解:∫0

1exdx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=ex在图象第一象限内圆弧与

坐标轴围成的面积，

∫0

1exdx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=ex在图象第一象限内圆

弧与坐标轴围成的面积，

如图

∵当0＜x＜1时，exx＞ex，故有：∫0

1exdx＞∫0

1exdx

故选B．

点评：本题主要考查了定积分,定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利

用几何意义进行求解，属于基础题．

9．若a=，b=，则a与b的关系是（)

A．a＜bB．a＞bC．a=bD．a+b=0

考点：定积分的简单应用．501974

专题：计算题．

分析:

a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈sin24。6°，

b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57。3°．

解答：

解：∵a==（﹣cosx）=(﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈﹣

cos114.6°=sin24。6°,

b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57。3°，

∴b＞a．

故选A．

点评：本题考查定积分的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

10．的值是（）

A．B．C．D．

考点：定积分的简单应用．501974

专题：计算题．

分析：根据积分所表示的几何意义是以(1,0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2

在第一象限的部分坐标轴围成的面积,只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第

一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积即可．

解答：解；积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线

y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，

故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成

的图形的面积之差．

即=﹣=﹣=

故答案选A

点评:本题主要考查了定积分,定积分运算是求导的逆运算,解题的关键是求原函数，也可利

用几何意义进行求解,属于基础题

11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（)

A．

+e2﹣e

B．

+e

C．

﹣e2+e

D．

﹣+e2﹣e

考

点：

定积分的简单应用．501974

专题:计算题．

分

析：

由于函数为分段函数，故将积分区间分为两部分，进而分别求出相应的积分，即可得

到结论．

解

答：

解:===

故选C．

点

评：

本题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积分．

12．已知f（x)=2﹣|x|，则（)

A．3B．4C．3.5D．4。5

考

点：

定积分的简单应用．501974

专

题：

计算题．

分

析:

由题意，，由此可求定积分的

值．

解

答：

解:由题意，

=+

=2﹣+4﹣2=3。5

故选C．

点

评:

本题考查定积分的计算，解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和．

13．设f（x）=3﹣｜x﹣1｜，则∫﹣2

2f(x）dx=(）

A．7B．8C．7。5D．6.5

考点：定积分的简单应用．501974

专题:计算题．

分析:∫﹣2

2f（x）dx=∫﹣2

2（3﹣｜x﹣1|）dx,将∫﹣2

2（3﹣｜x﹣1|）dx转化成∫﹣2

1（2+x）

dx+∫1

2(4﹣x）dx,然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．

解答：

解：∫﹣2

2f（x）dx=∫﹣2

2（3﹣|x﹣1|）dx=∫﹣2

1(2+x）dx+∫1

2（4﹣x）dx=（2x+x2）｜

﹣2

1+（4x﹣x2）|1

2=7

故选A．

点评：本题主要考查了定积分,定积分运算是求导的逆运算,同时考查了转化与划归的思想,属

于基础题．

14．积分=(）

A．B．C．πa2D．2πa2

考点：定积分的简单应用;定积分．501974

专题:计算题．

分析:

本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与x轴所围成的

图形的面积,围成的图象是半个圆．

解答：

解:根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的

上半圆的面积，

故==．

故选B．

点评：本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识,考查考查数形结合

思想．属于基础题．

15．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（)

A．1/2B．1C．2D．3/2

考点：定积分在求面积中的应用．501974

专题:计算题．

分析：根据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积，求出函数f（x）的积分，求

出所求即可．

解答：

解：由题意图象与x轴所围成图形的面积为

=（﹣)|0

1+sinx

=+1

=

故选D．

点评：本题考查定积分在求面积中的应用，求解的关键是正确利用定积分的运算规则求出定

积分的值，本题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误，牢固掌握好基础知

识很重要．

16．由函数y=cosx（0≤x≤2π)的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积是

（)

A．4B．C．D．2π

考点：定积分在求面积中的应用．501974

专题：计算题．

分析：

由题意可知函数y=cosx（0≤x≤2π)的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图

形可利用定积分进行计算,只要求∫0(1﹣cosx)dx即可．然后根据积分的运算公式

进行求解即可．

解答:

解：由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形

的面积，

就是：∫0(1﹣cosx)dx=(x﹣sinx）｜0

=．

故选B．

点评:本题考查余弦函数的图象，定积分，考查计算能力,解题的关键是两块封闭图形的面积

之和就是上部直接积分减去下部积分．

17．曲线y=x3在点(1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）

A．B．C．D．

考点：定积分在求面积中的应用．501974

专题：计算题．

分析：欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的

值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切

线的斜率，从而问题解决．

解答:解：∵y=x3，

∴y’=3x2，当x=1时，y’=3得切线的斜率为3,所以k=3；

所以曲线在点(1，1）处的切线方程为：

y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．

令y=o得：x=，

∴切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：

S=×（1﹣）×1=

故选B．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等

基础知识，属于基础题．

18．图中,阴影部分的面积是（)

A．16B．18C．20D．22

考点：定积分在求面积中的应用．501974

专题:计算题．

分析:从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4)．过（2,﹣2）作x轴

的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加

即可得到阴影部分的面积．

解答：解:从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为(2，﹣2）,（8，4）．过（2,﹣2)作x轴

的垂线把阴影部分分为S1,S2两部分，分别求出它们的面积A1，A2：

A1=∫0

2［]dx=2dx=,

A2=∫2

8[]dx=

所以阴影部分的面积A=A1+A2==18

故选B．

点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的

部分积分为负（积分的几何意义强调代数和)，属于基础题．考查学生利用定积分求

阴影面积的方法的能力．

19．如图中阴影部分的面积是（）

A．B．C．D．

考

点：

定积分在求面积中的应用．501974

专

题:

计算题．

分

析：

求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内,分别对三部分进行积分求和

即可．

解

答:

解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）

抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0)

设阴影部分面积为s,则

=

=

所以阴影部分的面积为，

故选C．

点

评：

本题考查定积分在求面积中的应用,解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分

积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．

20．曲线与坐标轴围成的面积是（）

A．B．C．D．

考点:定积分在求面积中的应用．501974

专题：计算题．

分析:

先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为，从而利用

定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．

解答:解：先根据题意画出图形，

得到积分上限为，积分下限为0

曲线与坐标轴围成的面积是：

S=∫0（﹣)dx+∫dx

=

∴围成的面积是

故选D．

点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想,同时会利用定

积分求图形面积的能力,解题的关键就是求原函数．

21．如图，点P(3a，a）是反比例函y=（k＞0)与⊙O的一个交点,图中阴影部分的面积为

10π，则反比例函数的解析式为（）

A．

y=

B．

y=

C．

y=

D．

y=

考点：定积分在求面积中的应用．501974

专题:计算题；数形结合．

分析：

根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，

即可求得圆的半径,再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．

解答：解:设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：

πr2=10π

解得：r=2．

∵点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点．

∴3a2=k且=r

∴a2=×（2）2=4．

∴k=3×4=12，

则反比例函数的解析式是:y=．

故选C．

点评：本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点,解决本题的关键是利用反比例函数

的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．