牛顿—莱布尼茨与微积分

2024年2月15日发(作者：)

贵州师范大学

研究生作业（论文）专用封面

作业（论文）题目： 牛顿—莱布尼兹与微积分

课程名称： 《自然辩证法概论专题讲座》

任课教师姓名： 龙 健

研究生姓名： 熊胜兰

学 号： 42

年 级： 2009级研

专 业： 课程与教学论

学院（部、所）：数计学院

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年 月 日

牛顿—莱布尼茨与微积分

（数计学院 课程与教学论 熊胜兰42）

【摘要】微积分的创立，被誉为是“人类精神的最高胜利”，是由常量数学向变量数学转变的一件具有划时代意义的大事。16世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在许多数学家所做的大量准备工作的基础上，各自独立地创立了微积分。

【关键词】牛顿 莱布尼茨 微积分

0．引言

微积分的出现是由常量数学向变量数学转变的一件具有划时代意义的大事，时至今日，它不仅成了学习高等数学各分支必不可少的基础，而且也是学习和掌握近代的任何一门自然科学和工程技术的工具。提起微积分，人们自然会想到英国的牛顿（1642~1727）和德国的莱布尼茨（1646~1716），这主要是因为他们提出了微积分的基本概念和运算方法，发现了微积分的内在联系，建立了著名的牛顿—莱布尼茨公式。

在历史上微积分的萌芽出现得比较早，中国战国时代的《庄子·天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，万事不竭”，就蕴含了无穷小的思想。古希腊物理学、数学两栖科学大师阿基米德在公元前三世纪依据前人的穷竭法，用“切片”方法并借助杠杆原理建立了球体的体积公式，这其中就包含了定积分的思想。但在当时，微积分并没有受到人们的广泛关注。直到公元17世纪，在欧洲资本主义开始萌芽、科学和生产技术开始发展的情况下，航海、天文、力学、军事、生产等科学技术给数学提出了一系列迫切需要解决的问题。从数学角度归纳起来主要集中在以下4个方面：①由距离和时间的函数关系，求物体在任意时刻的速度和加速度；反之，由物体的加速度和时间的函数关系，求速度和距离。②确定运动物体在其轨道上任一点处的运动方向，以及研究光线通过透镜的通道而提出求曲线的切线问题。③求函数的最大值最小值。④寻求曲线的长度，曲线所围成图形的面积、体积，物体的重心等等的一般方法。正是这些外部条件的产生，让许多数学家开始利用微积分的思想解决有关问题。17世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨都明确地认识到求积问题与作切线问题之间的互逆关系，于是，在此基础上，他们建立了微积分基本定理，并且系统地总结出了一套强有力的无穷小算法（这一时期的微积分主要是以“无穷小量分析”为标志）。

1．牛顿与其“流数术”

牛顿（1642~1727），英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分。传记作家理查德·威斯法说，伊萨克·牛顿是“塑造了人类才智诸领域的寥寥无几的超级天才之一，一个无法归结为我们用以理解同类的标准的人”，因为微积分仅仅是他对我们理解周围世界作出重大贡

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献的许多领域中的一个。在17世纪60年代的短短几年里牛顿成功地将他17世纪的前辈们发展出的关于切线和面积的所有材料统一并推广成为我们今天的微积分教科书中展示的神奇的解决问题的工具。

牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。牛顿在通过自学掌握了17世纪的全部成就后，从1664年后期到1666年后期花费了两年时间理出了他关于微积分的基本思想。就数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。

1．1流数术的初建

牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。就在此时，牛顿首创了小记号表示x的无限小且最终趋于零的增量。

1665年至1667年，牛顿继续探讨微积分并取得了突破性进展。他将1665年发明的“正流数术”（微分法）和1666年建立的“反流数术”（积分法）整理成一篇总结性论文，此文以《流数简论》著称，是历史上第一篇系统的微积分文献。《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景，该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）概念。文中提出了微积分的基本问题：ⅰ设有两个或更多个物体A，B，C，……在同一时刻内描画线段x,y,z,……。已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度p,q,r,……的关系。ⅱ已知表示线段x和运动速度p、q之比p的q关系方程式，求另一线段y。对于这两个问题，牛顿都给出了解答，而对于问题ⅱ的解法实际上是问题ⅰ的解的逆运算。特别重要的是，《流数简论》中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”。当然，《流数简论》中对微积分基本定理的论述还不能算了现代意义下的严格证明。牛顿在后来的著作中对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明。

在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积。虽然面积计算与求切线问题的互逆关系以往也曾被少数人在特殊场合模糊地指出，但牛顿却能以足够的敏锐与能力将这种互逆关系明确地作为一般规律提示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础。在《流数简论》的其余部分，牛顿将他建立的统一算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等16类问题，展示了他的算法的极大的普遍性与系统性。

1．2流数术的发展

《流数简论》标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的。从1667年到1693年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积

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分学说，先后写成了三篇微积分论文，分别是：《运用无限多项方程的分析》，简称《分析学》，完成于1669年；《流数法与无穷级数》，简称《流数法》，完成于1671年；《曲线求积术》，简称《求积术》，完成于1691年。这三篇论文反映了牛顿微积分学说的发展过程，并且可以看到牛顿对于微积分先后给出了不同的解释。

第一篇论文《分析学》是牛顿为了维护自己在无穷级数方面的优先权而作。《分析学》利用无穷级数来计算流数、积分以及解方程等，因此《分析学》体现了牛顿的微积分与无穷级数紧密结合的特点。关于微积分，《分析学》一开始就叙述了计算曲线yf(x)下面积的法则。设有yaxmn表示的曲线，牛顿论证所求面na(mn)n积为z。牛顿在论证中取x而不是时间t的无限小增量“瞬”为，xmn(mn)nan以x代x，zy代z，则zy。用二项式定理展示后以(x)mn除两边，略去的项，即得yaxnazxmnmnnmn。反过来就知曲线yaxmn下的面积是。牛顿接着给出了另一条法则：若y值是若干项之和，那么所求面积就是由其中每一项得到的面积之和，这相当于逐项积分定理。由上述可知，牛顿《分析学》以无限小增量“瞬”为基本概念，但却回避了《流数简论》中的运动学背景而将“瞬”看成是静止的无限小量，有时直截了当令其为零。

第二篇论文《流数法》可以看作是1666年《流数简论》的直接发展。《流数法》开始于他在给莱布尼茨第二封信中仅用密码作过暗示的问题，也是他认为是微积分两个基本方面的问题：“1.连续地给出距离的长度（就是说，在任何时间的），求任何指定时间的运动的速度。2.连续地给出运动的速度，求在任何指定时间走过的距离。”对牛顿说来，微积分的基本思想是同运动有关的。一个方程中的所有变量都被看作是——至少是隐含地——依赖于时间的距离。当然，这一思想不是牛顿首创造的，但他使得运动的思想成为主导思想：“我把量看成好像是当运动的物体绘出轨迹时由连续增加的距离产生的。”牛顿实际上把时间的稳定增加本身看作是一条公理，因为他没有定义时间。他作过定义的是流数的概念：依赖于时间的量x（称为流变）的流数x•是x在生成运动中增加的速度。在这一早期著作中，牛顿没有试图给对速度作进一步的定义，牛顿相信连续变化着的运动的概念是完全直觉的。《流数法》的第二个问题是给定速度求距离，牛顿在他的研究中很早就意识到该问题等价于根据曲线的方程求曲线下的面积。

为了用有限方程求曲线面积（即求曲线下的面积），人们需要一张积分表。他a的表中的第一项是那个简单的曲线yaxn1下的面积是xn，但其余就复杂得多。n在这个牛顿的表的一小段摘录中，右边的函数z表示左边的函数y下的面积：

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axn1(a/nb)xny,z,n2n(bcx)bcx2ayaxn1bcxn,z(bcxn)3/2,3nc

2a2b1n2n1nn3/2yaxbcx,z(x)(bcx),nc15c5ax2n12a2b1ny,z(x)b3c3bcxn同现代的积分表相比，人们注意到牛顿的表没有列出超越函数，没有正弦、余弦甚至没有对数。尽管牛顿知道这些函数的幂级数，他从未将它们与代数函数同等看待。他没有通过将正弦、余弦和对数同多项式和其它的代数表达式结合起来的方式处理过它们。但是，牛顿确实将他的表扩展到了那些其积分在今天要用超越函数来表示的函数，他将这些积分表示为由某些圆锥曲线围成的面积，这些面积可以用幂级数的技巧来计算。但是他的表对一些曲线是无法给出答案的，即那些用几何方法定义的曲线，例如旋轮线。

牛顿的《流数法》中还有许多其它内容，包括相当于现代的代换法则的技巧、分部积分法以及求弧长的方法。因此，这一从未发表过的著作实际上包含了任何现代微积分教程最初几章里所有重要的思想，但缺少的一个思想是极限的思想。

第三篇论文《曲线求积术》是牛顿最成熟的微积分著述。牛顿在其中改变了对无限小量的依赖并批评自己过去那种随意忽略无限小瞬的做法：“在数学中，最微小的误差也不能忽略。……在这里，我认为数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的”。在此基础上定义了流数概念之后，牛顿写道：“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比。确切地说，它们构成增量的最初比”。牛顿接着借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比。

牛顿对于发表自己的科学著作态度谨慎。上述三篇论文发表都很晚，其中最先发表的是最后一篇《曲线求积术》，1704年载于《光学》附录；《分析学》发表于1711年；而《流数法》则迟至1736年才正式发表，当时牛顿已去世。牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》（简称《原理》）之中，因此《原理》也成为数学史上的划时代著作。《原理》中并没有明显的分析形式的微积分，整部著作是以综合几何的语言写成的。虽然《原理》中的微积分命题都采用了几何形式来叙述、证明，但正如牛顿本人后来解释的那样：发现原理中的绝大多数命题是是依靠使用了“新分析法”，然后再“综合地证明”。

2．莱布尼茨与其微积分

莱布尼茨（1646~1716），德国数学家、哲学家。莱布尼茨在数学上的成绩是

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多方面的，创建微积分是他最重要的贡献。他与牛顿并称为微积分学的创始人。莱布尼茨在治学上思想奔放，厚积薄发。1672年到1677年间他写下了大量的数学笔记，却从未发表，而正是这段时间，他引进了常量、变量与参变量等概念，从研究几何入手，完成了微积分的基本计算理论。他研究了巴罗的著作，理解到微分和积分是互逆的运算，在笔记中他断言：作为求和过程的积分是微分的逆。他创造了微分符号dx,dy，并指出d意味着差，用dx表示两个相邻x的差，用dy表示相邻y值的差，即曲线上相邻两点的纵坐标之差，并认为dx和dy可以任意的小。他还给出积分符号“”并明确指出“”意味着和。现在使用的“微分学”、“积分学”、“坐标”等名称也是他创造的。由于他的影响，表示相等的记号“=”和表示乘法的记号“•”才得以通用。

2．1微积分的建立

早在1666年，莱布尼茨在《组合艺术》中讨论过数列问题并得到许多重要结论。大约从1672年开始，莱布尼茨将他对数列研究的结果与微积分运算联系起来。借助于笛卡尔解析几何，莱布尼茨可以把曲线的纵坐标用数值表示出来，并想象一个由无穷多个纵坐标值y组成的序列，以及对应的x值的序列，而x被看作是确定纵坐标序列的次序。同时考虑任意两相继的y值之差的序列。莱布尼茨后来在致洛必达的一封信中总结说：这使他发现“求切线不过是求差，求积不过是求和” ！1677年，莱布尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理。给定一条曲线，其纵坐标为y，求该曲线下的面积。莱布尼茨假设可以求出一条曲线（他称之为“割圆曲线“），其纵坐标为z，使得：dzy即ydxdz。于是原来曲线下的面积是：dxydxdzz，莱布尼茨通常假设曲线z通过原点。这就将求积问题化成了反切线问题，即：为了求出在纵坐标为y的曲线下的面积，只需求出一条纵坐标为z的曲线，使其切线的斜率为bdz如果是在区间a,b上，由0,b上的面积减去0,ay。dx上的面积，便得到：ydxz(b)z(a)。

a2．2微积分的发表

1684年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》（简称《新方法》），刊登在《教师学报》上，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。该文是莱布尼茨对自己1673年以来微分学研究的概括，

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其中定义了微分并广泛彩了微分记号dx,dy。莱布尼茨假设横坐标x的微分dx是任意的量，纵坐标y的微分dy就定义为它与dx之比等于纵坐标与次切距之比的那个量。《新方法》中明确陈述了莱布尼茨1677年已得到的函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式：

d(zywx)dzdydwdx,d(xv)xdvvdx,vydvvdyd(),2yydxaaxa1dx,abababdxxdx.b《新方法》还包含了微分法在求极大、极小值、拐点以及光学等方面的广泛应用。

1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》。这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系。在这篇论文中，莱布尼茨给出了摆线方程y2xx2在这篇论文中，积分号第一次出现于印刷出版物上。

dx2xx2

。而正是3．牛顿与莱布尼茨

牛顿和莱布尼茨都是时代的巨人，在创立微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当。但是17世纪末，在欧洲却爆发了一场激烈的旷日持久的微积分发明权之争。就发明时间而言，牛顿早于莱布尼茨；就发表时间而言，莱布尼茨则先于牛顿。通过争论和调查，人们公认为：牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明人，他们的微积分各有特色。

牛顿和莱布尼茨从不同的角度工作，各自独立地发现微积分基本定理，并建立了一套有效的微分和积分算法，他们都把微积分从几何形式中解脱出来，采用了代数方法和记号，从面扩展了它的应用范围，都把面积、体积及以前作为和来处理的问题归结到积分（反微分）。这样，速度、切线、极值、求和的问题全都归结为微分和积分。但是他们的微积分研究工作各有特色，主要表现在以下三个方面：

首先，牛顿对微积分的研究是从力学或运动学的角度，从速度概念开始，考虑了速度的问题。牛顿把自己的发现称为“流数术”，他把连续变化的量称为流动量或流量；把无限小的时间间隔叫做瞬；而流量的速度，也就是流量在无限小时

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间内的变化率，则称为流动率或流数。因此牛顿的“流数法”就是以流量、流数和瞬为基本概念的微积分学。莱布尼茨则更多地从几何学的角度，从求切线问题开始，突出了切线的概念。他研究了求曲线的切线问题和求曲线下的面积问题的相互联系，明确指出了微分和积分是互逆的两个运算过程。

其次，牛顿作为物理学家和力学家，他的工作方式是经验的、具体的和谨慎的，他将微积分成功地应用到许多具体问题以推广他的研究成果，并从实际应用中证明微积分方法的价值。莱布尼茨身兼哲学家，他的研究工作带有明显的哲学倾向，他的思想表现得富于想象和大胆。虽然他也注重实际应用，但他更着重于把微积分从各种特殊问题中概括和提升出来，寻求普遍化和系统化的运算方法。

最后，牛顿在使用符号方面不甚用心，而莱布尼茨则化费心思选取最好的符号。注重符号的选择和改善，是莱布尼茨研究工作的一大特色。在微积分方法的表达形式上，人们公认，莱布尼茨的符号确实优于牛顿的符号。历史不负其苦心，由于莱布尼茨的微分符号和积分符号都简明易懂、方便好用，所以一直被人们沿用至今。

这场旷日持久、影响深远的微积分发明权之争早已烟消云散，但新的科学发现优先权之争却此起彼伏，通过关于微积分发明权争认的分析，可以获得一些启示：第一，应全面认识获取科学发现优先权的意义。科学实践是一种连续的概念结构与物质操作共同作用的过程，同样也是各种社会因素——目的、利益、社会结构等共同作用的过程。第二，要辩证地看待科学同行之间相互交流与彼此保密之间的关系。其实更为崇高的境界或许是：忘掉优先权，真正为探索自然奥秘，谋求人类共同的利益而奋斗和努力。

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