凹函数
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2023年3月20日发(作者：低碳出行倡议书)函数的凹凸性专题
一、函数凹凸性的定义
1、凹函数定义：设函数)(xfy在区间I上连续，对Ixx
21
,，若恒有
2
)()(
)
2
(2121
xfxfxx
f
，
则称)(xfy的图象是凹的，函数)(xfy为凹函数；
2、凸函数定义：设函数)(xfy在区间I上连续，对Ixx
21
,，若恒有
2
)()(
)
2
(2121
xfxfxx
f
，
则称)(xfy的图象是凸的，函数)(xfy为凸函数.
二、凹凸函数图象的几何特征
1、形状特征
如图，设
21
,AA是凹函数)(xfy图象上两点，它们对应的横坐标)(,
2121
xxxx，则
111
(,())Axfx，
222
(,())Axfx，过点12
2
xx
作
x
轴的垂线交函数图象于点A，交
21
AA于点B.
凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点
1
A与
2
A之间的部分位于弦
21
AA的下方；
凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点
1
A与
2
A之间的部分位于弦
21
AA的上方.
简记为：形状凹下凸上.
2、切线斜率特征
凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率k随
x
增大而增大即)(xfy的二阶导数0)(''xf；
凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率k随
x
增大而减小即)(xfy的二阶导数0)(''xf.
简记为：斜率凹增凸减.
3、增量特征
设函数)(xg为凹函数，函数)(xf为凸函数，其函数图象如图所示.当自变量
x
依次增加一个单位增量x
时，函数)(xg的相应增量
,,,
321
yyy越来越大；函数)(xf的相应增量,,,
321
yyy越来越小.
由此，对
x
的每一个单位增量x，函数y的对应增量
),3,2,1(iy
i
凹函数的增量特征是：
i
y越来越大；凸函数的增量特征是：
i
y越来越小.
三、常用的不等式
1、二次函数2)(xxf中，
2
)
2
(
22
2
baba
；
2、反比例函数)0(
1
)(x
x
xf中，
2
11
2
ba
ba
；
3、指数函数)1,0()(aaaxfx中，
2
2
yx
yxaa
a
；
4、对数函数)10(log)(axxf
a
中，
2
loglog
2
log
yx
yx
aa
a
；
5、对数函数)1(log)(axxf
a
中，
2
loglog
2
log
yx
yx
aa
a
；
6、幂函数)0()(3xxxf中，
2
)
2
(
33
3
baba
；
7、幂函数2
1
)(xxf中，
22
baba
；
8、正弦函数)0(sin)(xxxf中，
2
sinsin
2
sin
BABA
；
9、余弦函数)
2
0(cos)(
xxxf，
2
coscos
2
cos
BABA
；
10、正切函数)
2
0(tan)(
xxxf，
2
tantan
2
tan
BABA
.
四、函数凹凸性在高考中的应用
1、（05湖北理6）在xy2，xy
2
log，2xy，xy2cos四个函数中，当10
21
xx时，使得
2
)()(
)
2
(2121
xfxfxx
f
恒成立的函数的个数是·······································（）
、A0、B1、C2、D3
2、（06重庆理9）如图所示，单位圆中弧AB的长为
x
，)(xf表示弧AB与弦AB所围成弓形面积的2倍，
则函数)(xfy的图象是·······························································（）
3、（07江西理8）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、
杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左
到右依次为
4321
,,,hhhh，则它们的大小关系正确的是·····································（）
A、
412
hhhB、
321
hhh
C、
423
hhhD、
142
hhh
4、（98全国理10）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量
v
与水深h的函数关系的图象如下图
所示，那么水瓶的形状是·······························································（）
5、（09广东理8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙
车的速度曲线分别为
甲
v和
乙
v.（如图2所示）．那么对于图中给定的
0
t和
1
t，下列判断中一定正确的是（）
A、在
1
t时刻，甲车在乙车前面B、
1
t时刻后，甲车在乙车后面
C、在
0
t时刻，两车的位置相同D、
0
t时刻后，乙车在甲车前面
6、（00江西理7）若1ba，baPlglg，)lg(lg
2
1
baQ，
2
lg
ba
R
，则·······（）
、AQPR、BRQP、CRPQ、DQRP
7、（11山东理9）函数x
x
ysin2
2
的图象大致是········································（）
8、（13新课标I文9）函数xxxfsin)cos1()(在],[上的图象大致为··················（）
9、（16新课
标7）函数
xexy22
在]2,2[
的图象大
致
为·································（）
10、（13江西理10）如图，半径为1的半圆O与正ABC夹在两平行直线
1
l，
2
l之间，
1
//ll，l与半圆相
交于F，G两点，与ABC两边相交于E，D两点.设弧FG的长为
x
（x0），CDBCEBy，
若l从
1
l平行移动到
2
l，则函数)(xfy的图象大致是······································（）
11、（17全国II理23）已知0a，0b，233ba，则ba的最大值为_____________.
12、已知0a，0b，1ba，则22ba的最小值为____________.
AB
C
D
13、已知0,0ba，且ba，1n，则nnba__________
12
)(
n
nba
.（填,,,）
14、已知0a，0b，0c，且2cba，则5
55
5
55
5
55cacbba的最小值为________.
15、在ABC中，CBAsinsinsin的最大值为______________.
16、已知0a，0b，0c，且1cba，则
cba
111
的最小值为_____________.
17、已知0a，0b，0c，且1cba，则
cba
111
的最小值为_____________.
18、已知0a，0b，0c，0d，16dcba，则2222dcba的最小值为________.
19、已知0,0ba，且4ba，则22)
1
()
1
(
b
b
a
a的最小值为____________.
20、（10安徽文16）若2,0,0baba，则下列不等式对一切满足条件ba,恒成立的是__________.
①1ab；②
2ba
；③222ba；④333ba；⑤2
11
ba
21、（14新课标理24）若0,0ab，且
11
ab
ab
.则33ab的最小值_____________.
22、（15重庆文14）已知0,0ba，且5ba，则31ba的最大值为___________.
23、（05全国卷理22）（1）设函数)10)(1(log)1(log)(
22
xxxxxxf，求)(xf的最小值；
（2）设正数
npppp
2
321
,,,,满足：1
2
321
npppp.
求证：.loglogloglog
2
2
2
323222121
nppppppppnn
24、（06四川理22）已知函数)0(ln
2
)(2xxa
x
xxf，)(xf的导函数是)('xf.对任意两个不相等
的正数
1
x，
2
x，证明：当0a时，)
2
(
2
)()(
2121
xx
f
xfxf
.