抽象函数的定义域

抽象函数的定义域

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抽象函数的定义域

总结解题模板

1.已知)(xf的定义域，求复合函数][xgf的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此

可得其方法为：若)(xf的定义域为bax,，求出)]([xgf中bxga)(的解

x

的范围，即为)]([xgf的定

义域。

2.已知复合函数][xgf的定义域，求)(xf的定义域

方法是：若][xgf的定义域为bax,，则由bxa确定)(xg的范围即为)(xf的定义域。

3.已知复合函数[()]fgx的定义域，求[()]fhx的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由][xgf定义域求得xf的定义域，再

由xf的定义域求得][xhf的定义域。

4.已知()fx的定义域，求四则运算型函数的定义域

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的

定义域，再求交集。

例1已知函数()fx的定义域为15，，求(35)fx的定义域．

分析：若()fx的定义域为axb≤≤，则在()fgx中，()agxb≤≤，从中解得

x

的取值范围即为

()fgx的定义域．本题该函数是由35ux和()fu构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由

于()fx与()fu是同一个函数，因此这里是已知15u≤≤，即1355x≤≤，求

x

的取值范围．

解：()fx的定义域为15，，1355x≤≤，

410

33

x≤≤．

故函数(35)fx的定义域为

410

33







，．

变式训练：

若函数)(xfy的定义域为













2,

2

1

，则)(log

2

xf的定义域为。

分析：由函数)(xfy的定义域为













2,

2

1

可知：2

2

1

x；所以)(log

2

xfy中有2log

2

1

2

x。

解：依题意知：

2log

2

1

2

x解之，得：42x

∴)(log

2

xf的定义域为42|xx

例2已知函数2(22)fxx的定义域为03，，求函数()fx的定义域．

分析：若()fgx的定义域为mxn≤≤，则由mxn≤≤确定的()gx的范围即为()fx的定义域．这

种情况下，()fx的定义域即为复合函数()fgx的内函数的值域。本题中令222uxx，则

2(22)()fxxfu，

由于()fu与()fx是同一函数，因此

u

的取值范围即为()fx的定义域．

解：由03x≤≤，得21225xx≤≤．

令222uxx，则2(22)()fxxfu，15u≤≤．

故()fx的定义域为15，．

变式训练：

已知函数的定义域为，则的定义域为________。

解：由，得

所以，故填

例3.函数定义域是，则的定义域是（）

A.B.C.D.

分析：已知的定义域，求的定义域，可先由定义域求得的定义域，再

由的定义域求得的定义域

解：先求的定义域

的定义域是，

即的定义域是，再求的定义域

的定义域是，故应选A

变式训练：

已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域.

分析：先求2x的值域为M则log2x的值域也是M，再根据log2x的值域求定义域。

解∵y=f(2x)的定义域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴

2

1

≤2x≤2.

∴函数y=f(log2x)中

2

1

≤log2x≤2.即log2

2

≤log2x≤log24,∴

2

≤x≤4.

故函数f(log2x)的定义域为［

2

，4］

例4若()fx的定义域为35，，求()()(25)xfxfx的定义域．

分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后

再求交集．

解：由()fx的定义域为35，，则()x必有

35

3255

x

x











，

，

≤≤

≤≤

解得40x≤≤．

所以函数()x的定义域为40，．

变式训练：

已知函数的定义域是，求的定义域。

分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。

解：由已知，有

，即

函数的定义域由确定

函数的定义域是

例5若函数f(x+1)的定义域为[－

2

1

，2]，求f(x2)的定义域．

分析：已知f(x+1)的定义域为[－

2

1

，2]，x满足－

2

1

≤x≤2，于是

2

1

＜x＋1＜3，得到f(x)的定义域，然

后f(x2)的定义域由f(x)的定义域可得．

解：先求f(x)的定义域：

由题意知－

2

1

≤x≤2，则

2

1

＜x＋1＜3，即f(x)的定义域为[

2

1

，3]，

再求f[h(x)]的定义域：

∴

2

1

＜x2＜3，解得－

3

＜x＜－

2

2

或

2

2

＜x＜

3

．

∴f(x2)的定义域是{x|－

3

＜x＜－

2

2

或

2

2

＜x＜

3

}．

例6、某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x、y(单

位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8cm2.问x、y分别为

多少(精确到0.001m)时用料最省?

分析：应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效

范围。实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：

（1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；

（2）销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）；

（3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满足题设；（4）路程问题中，要考虑

路程的范围。本题中总面积为8

4

1

2xxySS

矩形

三角形

，由于0xy，于是8

4

1

2x，即24x。又

0x，∴x的取值范围是240x。

解：由题意得

xy+

4

1

x2=8,∴y=

x

x

4

8

2



=

4

8x

x

(0

于是,框架用料长度为

l=2x+2y+2(x

2

2

)=(

2

3

+2)x+

x

16

≥4246.

当(

2

3

+2)x=

x

16

,即x=8－42时等号成立.

此时,x≈2.343,y=22≈2.828.

故当x为2.343m,y为2.828m时,用料最省.

变式训练：

13.（2007·北京理，19）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形

状,下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上.记CD=2x,梯形面积为S.

(1)求面积S以x

(2)求面积S的最大值.

解（1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O-xy（如图），

则点C的横坐标为x,点C的纵坐标y满足方程

1

42

2

2

2



r

y

r

x

(y≥0),

解得y=222xr(0

2

1

(2x+2r)·222xr

=2(x+r)·22xr,其定义域为{x|0

（2）记f(x)=4(x+r)2(r2-x2),0

令f′(x)=0,得x=

2

1

r.因为当0

2

r

时，f′(x)>0;

当

2

r

2

1

r）是f(x)的最大值.

因此，当x=

2

1

r时，S也取得最大值，最大值为2

2

33

)

2

1

(rrf

.

即梯形面积S的最大值为

.

2

33

2r

巩固训练（各专题题目数量尽量一致，各题均附答案及解析）

1.设函数的定域为，则

（1）函数的定义域为________。

（2）函数的定义域为__________。

分析：做法与例题1相同。

解：（1）由已知有，解得

故的定义域为

（2）由已知，得，解得

故的定义域为

2、已知函数的定义域为，则的定义域为________。

分析：做法与例题2相同。

解：由，得

所以，故填

3、已知函数的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为________。

分析：做法与例题3相同。

解：由，得

所以，所以0≤3x-5≤1,所以5/3≤x≤2.

4、设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，q求y=f()

3

1

()

3

1

xfx定义域。

分析：做法与例题4相同。

解：由条件，y的定义域是f)

3

1

(x与)

3

1

(x定义域的交集.

列出不等式组

,

3

2

3

1

3

4

3

1

3

2

3

1

1

3

1

0

1

3

1

0









































x

x

x

x

x

故y=f)

3

1

()

3

1

(xfx的定义域为













3

2

,

3

1

.

【党员个人总结与自我评价(四)】

一年里，在学校领导的教育和培养下，在同事们的关心和帮助下，自己的思想、工

作、学习等各方面都取得了一定的成绩。现总结如下：

一、自觉加强理论学习，努力提高政治思想素质和个人业务能力。在过去的一年中，

主动加强对政治理论知识的学习,系统学习了邓小平理论和“三个代表”的重要思想，

通过学习，提高了自己的政治敏锐性和鉴别能力，坚定了立场，坚定了信念。其间，

我认真的学习了《保持共产党员先进性教育读本》一书党委及支部工作有关的文件

材料。只有不断加强学习，才能适应社会发展的需要，只有不断的提高自己的政治

理论素质，才能适应社会经济发展的客观要求。

二、积极开展工作，力求更好的完成自己的本职工作。工作中能够始终保持一种积

极向上的心态，努力开展工作。特别是党支部的工作，促使我养成更加严谨、更加

细致的工作作风，更好的完成领导交给的各项工作任务。

三、严格遵守学校各项规章制度。不迟到不早退，团结同事，尊师爱生，虚心求教，

不耻下问，将工作以外的时间合理的利用起来，养成良好的工作、生活习惯。

四、坚持党性原则。遵纪守法，敢于抵制不正之风和腐败行为，自觉树立正确的世

界观、人生观、价值观，用党章规范言行，自觉遵守公民道德规范，在党的教育事

业中体现党员的先进性。

五、在工作岗位上保持先进性。自觉树立终身学习的观念，结合本部门工作特点和

教学工作需要，参加专业知识、基本技能的学习，提升知识层次，扩大知识面，以

自已的实际行为践行党的宗旨，争当教育教学工作领域的带头人，在建功立业中保

持党员先进性。

六、自觉履行党员义务，按时交纳党费，积极参加组织活动，坚决执行党的决定，

始终与党中央保持一致，积极为党工作，努力完成党的各项任务。

当然，在自己的思想、工作、学习等方面还存在着许多的不足。在在思想上，与新

时期党员的标准之间还存在着一定的差距；在业务知识上，与自己本职工作要求还

存在一定的差距。在今后的工作中，还需要进一步的努力，不断提高自己的综合素

质，克服畏难心理，更加出色的完成好各项工作任务。