考研数学第六弹
Intro：解二重积分步骤：①观察积分区域D的性质，如果D或者D的一部分是关于x，y轴对称的，则考虑使用奇偶对称性；如果D是关于y=x对称的，则考虑使用轮换对称性；②观察被积函数的性质，倘若原式积不出来，则考虑交换积分次序；③若积分区域“太丑陋”，可以考虑使用换元法；若被积函数或积分区域出现 x^{2}+y^{台湾屏东2} 或者 \\frac{x}{y} ，则考虑使用极坐标变换；④若出现极限+二重积分，则考虑使用中值定理；积分不等式见文尾。
1.几何意义：
\\iint_{D}f(x,y)dxdy 表示以D为底，z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积； \\frac{\\iint_{D}f(x,y)dxdy}{D} 称为f(x,y)在D上的平均值。
实际上就是积分函数为1的三重积分。
2.基本性质：
线性性，区域可加性，几何度量性，保号性，保序性，绝对值不等式，积分正则性，估值定理略；
中值定理： \\iint_{D}f(x,y)dxdy=f(\\xi,\\eta)\\sigma , \\sigma 表示D的面积， f(\\xi,\\eta) 为D上一点。
3.对称性：
（1）奇偶对称性：设f(x,y)在有界闭区域D上连续
①若D关于x轴对称，D位于x轴上方的藏獒书部分记为D1，则
\\iint_{椅子设计D}f(x,y)dxdy=\\begin{equation} \\left\\{ \\begin{array}{哈利波特与被诅咒的孩子lr} 0, &若f(x,y)关于y为奇函数 \\\\ 2\\iint_{D1}f(x,y)dxdy, & 若f(x,短篇恐怖故事y)关于y为偶函数\\\\ \\end{array} \\right. \\end{equation}
②若D关于y轴对称，D位于y轴上方的部分记为D1，则
\\iint_{D}f(x,y)dxdy=\\begin{equation} \\left\\{ \\begin{array}{lr} 0, &若f(x,y)关于x为奇函数 \\\\ 2\\iint_{D1}f(x,y)dxdy, & 若f(x,y)关于x为偶函数\\\\ \\end{array} \\right. \\end{equation}
③若D关于原点对称，D1为x≥0或者y≥0的部分，则
\\iint_{D}f(x,y)dxdy=\\begin{equation} \\left\\{ \\begin{array}{lr} 0, & f(-x,-y)=-f(x,y) \\\\ 2\\iint_{D1}f(x,y)dxdy, & f(-x,-y)= f(x,y)\\\\ \\end{array} \\right. \\end{equation}
（2）轮换对称性：
设D为有界闭区域，D1为D关于y=x对称的区域，则 \\iint_{D}f(x,y)dxdy=\\iint_{D1}f(y,x)dxdy ，特别的若D关于y=x对称，则 \\iint_{D}f(x,y)dxdy=\\iin人生与伴侣t_{D}f(y,x)dxdy
4.计算：
（1）直角坐标系：
①x型区域： D=\\begin{equation} \\left \\{(x,y)|a\\leq x\\leq b,f1(x)\\leq y\\leq f2(x)\\right \\} \\end{equation}
②y型区域： D=\\begin{equation} \\left \\{(x,y)|c\\leq y\\leq d,g1(y)\\leq x\\leq g2(y)\\right \\} \\end{equation}
判断是x还是y型区域：两条曲线在其开区间内不相交。
①x型区域： D=\\begin{equation} \\left \\{(x,y)|a\\leq x\\leq b,f1(x)\\leq y\\leq f2(x)\\right \\} \\end{equation}则：
\\iint_{D}f(x,y)dxdy=\\int_{a}^{b}dx\\int_{f1(x)}^{f2(x)}f (x,y)dy
②y型区域： D=\\begin{equation} \\left \\{(x,y)|c\\leq y\\leq d,g1(y)\\leq x\\leq g2(y)\\right \\} \\end{equation}则：
\\iint_{D}f(x,y)dxdy=\\int_{c}^{d}dy\\int_{g1(y)}阿良良木历^{g2(y)}f (x,y)dx
若一个区域既不是x型区域，也不是y型区域，则可以通过分割变成若干个x型y型区域；
交换积分次序：将x（y）型转换为y（x）型区域；或者极坐标的极径与夹角交换
例：计算 I=\\int_{0}^{2\\pi}d\\theta\\int_{\\frac{\\theta}{2}}^{\\pi}\\theta^2e^{r^2}dr
解：交换积分次序得 I=I=\\int_{0}^{ \\pi}dr\\int_{0}^{2r}\\theta^2e^{r^2}d\\theta=\\frac{4}{3}e^{\\pi^2}(\\pi^2-1)+\\frac{4}{3}
（2）极坐标：直线也可以极坐标，当一个区域有直线构成边界时，发现XY型区域均不好积，可以考虑极坐标。
换元法：设f(x,y)在有界闭区域D上连续，令 \\begin{equation} \\left\\{ \\begin{array}{lr} x=x(u,v) \\\\ y=y(u,v)\\\\ \\end{array钱学森后代} \\right. \\end{equation} 一对一将区域变为D1 ，其雅可比行列式（参考第五弹）J_{uv}=\\frac{\\partial(x,y)}{\\partial(u,v)}\\ne0 ，则 \\iint_{D}f(x,y)dxdy=\\iint_{D1}f(x(u,v),y(u,v))|\\frac{\\partial(x,y)}{\\partial(u,v)}|dudv
①令 \\begin{equation} \\left\\{ 母猫绝育 \\begin{array}{lr} x=rcos\\theta \\\\ y=rsin\\水流指示器theta\\\\ \\end{array} \\right. \\end{equation} ， 则J_{r\\theta}=\\frac{\\partial(海事局待遇x,y)}{\\partial(r,\\theta)}= \\begin{equation} \\left|\\begin18k钻戒{array}{cc} cos\\theta & -rsin\\theta\\\\ sin\\theta & rcos\\theta \\en王夫d{array}\\right| \\end{equation}=r ，故 \\iint_{D直}f(x,y)d中国精算师xdy=\\iint_{D极}f(rcos\\theta,rsin\\theta)rdrd\\theta
②广义的极坐标1：球形 D：(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\\leq南通车展 R^{2}
令 \\begin{equation} \\left\\{ \\begin{array}{lr} x=a+rcos\\theta \\\\ y=b+rsin\\theta\\\\ \\end{array} \\right. \\end{equation} ，则 \\iint_{D直}f(x,y)dxdy=\\iint_{D极}f(a+rcos\\theta,b+rsin\\theta)rdrd\\theta
③广义的极坐标2：椭圆形 D：\\frac{(x-a)^{2}}{A^{2}}+\\frac{(y-b)^{2}}{B^{2}}\\leq 1，A\\ne B
令 \\begin{equation} \\left\\{ \\begin{array}{lr} x=a+Arcos\\theta \\\\ y=b+Brsin\\theta\\\\ \\end{array遵义会议的意义} \\right. \\end{equation} ，则 \\刘梦熊iint_{D直}f(x,y)dxdy=\\iint_{D极}f(a+Arcos\\theta,b+Brsin\\theta)ABrdrd\\theta
5.反常二重积分：
高斯积分：\\int_{-∞}^{+∞}e^{-x^{2}}dx=\\sqrt{\\pi}。（证明参考第二弹）
6.空间曲面的面积：
S=\\iint_{D_{xy}}\\sqrt{1+f_{x}^{2}(x,y)+f_{y}^{2}(x,y)}dxdy , D_{xy} 表示为曲面在xOy平面的面积；相应的xy均可换为yz，xz。
二重积分还可计算平面图形D所围成的面积： \\iint_DdS
7.物理应男士香水推荐用：
设一平面薄片占xOy上的有界区域D，在(x,y)的面密度为u(x,y)在D上连续，
（1）质量：M=\\iint_{D}u(x,y)dxdy
（2）静力矩：关于x轴和y轴的分别为 M_{x}=\\iint_{D}yu(x,y)dxdy，M_{y}=\\iint_{D}xu(x,y)dxdy
闪翼工作室（3）质心坐标： \\bar{x}=\\frac{\\iint_{D}xu(x,y)dxdy}{M}，\\bar{y}=\\frac{\\iint_{D}yu(x,y)dxdy}{M} ，M为质量；
一重积分形式： \\bar{x}=\\frac{\\int x \\cdot 弧长微分 }{弧长} 比如 x=x(t),y=y(t) 则 \\bar{x}=\\frac{\\int_{a}^{雌性激素的作用b} x (t)\\cdot\\sqrt{x^{,2}+y^{,2}}dt }{\\int_{a}^{b} \\sqrt{x^{,2}+y^{,2}}dt}
（4）形心坐标：当u(x,y)为常数时， \\bar{x}=\\frac{\\iint_{D}xdxdy}{A}，\\bar{y}=\\frac{\\iint_{D}ydxdy}{A} ，A为D的面积；
（5）惯性矩（转动惯量）：对x轴，y轴，原点的分别为 I_{x}=\\iint_{D}y^{2}u(x,y)dxdy，I_{y}=\\iint_{D}x^{2}u(x,y)dxdy，I_{O}=\\iint_{D}(x^{2}+y^{2})u(x,y)dxdy
实际上是点到目标函数的距离的平方。
（6）引力：D外有一单位质量的质点 P_{0}(x_{0},y_{0}) ，则引力为 F=\\begin{equation} \\left \\{F_{x},F_{y}\\right \\} =\\left \\{\\iint_{D}\\frac{ku(x,y)(x-x_{0})}{r^{3}}dxdy,\\iint_{D}\\frac{ku(x,y)(y-y_{0})}{r^{3}}dxdy\\right \\} \\end{equation} ，其中k为引力常数， r=\\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}
8.关于积分不等式的证明：
（1）柯西-施瓦茨不等式： (\\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^{2}\\leq\\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx\\int_{a}^{b}g^{2}(x)dx
证：采用二重积分
（2）一些例子：
第一个也可以用上述C-S不等式。
Outro：关于积分不等式先给到这里，后期会单独出一篇关于积分等式以及不等式的相关文章。