考研数学1

发布时间：2023-06-16 作者：admin 来源：文学

考研数学1

2023年3月19日发(作者：固原新闻)

2017年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有

一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸

．．．

指定位置上．

1若函数

1cos

()



















在

0x

处连续,则

ab．B

ab．C0ab．D2ab．

答案A

详解由

1cos1

lim

axa



,得

ab.

2设函数fx

可导,且()'()0fxfx则

A11ff

．B11ff

．

C11ff

．D11ff

答案C

详解

2()

()()[]0

fxfx



,从而2()fx单调递增,22(1)(1)ff.

3函数22(,,)fxyzxyz在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n的方向导数为

．B

．C

．D

．

答案D

详解方向余弦

cos,coscos

,偏导数22,,2

xyz

fxyfxfz





,代入

coscoscos

xyz

fff



即可.

4甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10单位：m处.图中,实线表示甲的速度

曲线

()vvt单位：m/s,虚线表示乙的速度曲线

()vvt单位：m/s,三块阴影部分面

积的数值一次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为单位：s,则

10t．B

1520t．C

25t．D

25t．

答案C

详解在

25t时,乙比甲多跑

m,而最开始的时候甲在乙前方

m处.

5设α为n维单位列向量,

为n阶单位矩阵,则

ATEαα不可逆．BTEαα不可逆．

CT2Eαα不可逆．DT2Eαα不可逆．

答案A

详解可设T,则T的特征值为1,0,,0,从而TE的特征值为

011,,,,因此TE不可逆.

6设有矩阵

200

021

001











210

020

001





















与

相似,

与

相似．B

与

相似,

与

不相似．

与

不相似,

与

相似．D

与

不相似,

与

不相似．

答案B

详解,AB的特征值为221,,,但

有三个线性无关的特征向量,而

只有两个,

所以

可对角化,

则不行.

.7设,AB为随机事件,若0()1PA,0()1PB,则(|)(|)PABPBA的充分必要条

件

A(|)(|)PBAPBA．B(|)(|)PBAPBA．

C(|)(|)PBAPBA．D(|)(|)PBAPBA．

答案A

详解由(|)(|)PABPAB得

()()()()

()()1()

PABPABPAPAB

PBPBPB







,即()>()()PABPAPB;

由(|)(|)PBAPBA也可得()>()()PABPAPB.

8设

,,,(2)

XXXn为来自总体(,1)N

的简单随机样本,记



,则下列结

论不正确的是

()

X



服从2分布．B2

2()

XX服从2分布．

()



服从2分布．D2()nX服从2分布．

答案B

详解2222

~(0,1)()~(),()~(1)

NXnXXn









;

~(,),()~(1);XNnX



()

~(0,2),~(1)

XXN



.

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸

．．．

指定位置上．

9已知函数

(),





(3)(0)f．

答案0

详解24

()1(11)

fxxxx





,没有三次项.

10微分方程032







yyy的通解为．

答案

e(cos2sin2)xyCxCx

详解特征方程2230rr得12ri,因此

e(cos2sin2)xyCxCx.

11若曲线积分





Lyx

aydyxdx

122

在区域1),(22yxyxD

内与路径无关,则a

．

答案

1

详解有题意可得







,解得

1a

12幂级数1

1)1(





n

nnx在-1,1内的和函数()Sx．

答案

(1)x

详解11

(1)[()]

(1)

nnn

nxx













.















110

211

101

321

，，是3维线性无关的列向量,则

321

,,AAA的秩

为．

答案2

详解

123

(,,)()2rrAAAA

14设随即变量

的分布函数

()0.5()0.5()

Fxx



,其中)(x为标准正态分布

函数,则

EX

．

答案2

详解

0.54

()d[0,5()()]d2

EXxfxxxxx





.

三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请

将答案写在答题纸

．．．

指定位置上．

15本题满分10分．

设函数(,)fuv具有2阶连续偏导数,(e,cos),xyfx求

dydy

dxdx



答案(e,cos)xyfx

16本题满分10分．

求

limln(1)

nn

.

答案

17本题满分10分．

已知函数)(xy由方程333320xyxy确定,求)(xy的极值.

答案333320xyxy①,

方程①两边对x求导得：22''33330xyyy②,

令'0y,得233,1xx.

当

1x

时1y,当

1x

时0y.

方程②两边再对x求导：'22''''66()330xyyyyy,

令'0y,2''6(31)0xyy,

当

1x

,1y时''

y,当

1x

,0y时''6y.

所以当

1x

时函数有极大值,极大值为1,当

1x

时函数有极小值,极小值

为0.

18本题满分10分．

设函数()fx在区间[0,1]上具有2阶导数,且(1)0f,

()

lim0

x

.证明：

I方程()0fx在区间(0,1)内至少存在一个实根;

II方程2()''()['()]0fxfxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.

答案

()

lim0

x

,由极限的局部保号性,(0,),()0cfc使得,又(1)0,f由零点存

在定理知,(c,1),使得,()0f.

2构造

()()'()Fxfxfx,(0)(0)'(0)0Fff,()()'()0Fff,

()

lim0,'(0)0,

x



由拉格朗日中值定理知

(1)(0)

(0,1),'()0

f







,'(0)'()0,ff所以由零点

定理知

(0,)(0,1),使得

'()0f,

111

()()'()0,Fff所以原方程至少

有两个不同实根;

19本题满分10分．

设薄片型物体

是圆锥面22yxz被xz22割下的有限部分,其上任意一

点处的密度为2229),,(zyxzyx

,记圆锥面与柱面的交线为C；

I求C在xOy平面上的投影曲线的方程；

II求S的质量M;

答案1

的方程为

zxy















,投影到

xoy

平面的方程为：

22(1)1











20本题满分11分．

设

矩阵

123

(,,)A有3个不同的特征值,

312

2

I证明：(A)2r;

II若

123

,求方程组Ax的解.

答案

又

有三个不同的特征值,故0

为单根,且

一定能相似对角化.

（2）由1,

0Ax

的通解为Tk1,2,1,

321

,故有













TA1,1,1

321

，即.

21本题满分11分．

设二次型222

(,,)2282fxxxxxaxxxxxxx在正交变换Qyx下的

标准形为22

1122

yy,求a的值及一个正交矩阵Q;

答案二次型的矩阵

















111

412

因为二次型在正交变换下的标准形为22

1122

yy,故

有特征值0,

0A

,故

2a

由0)6)(3(

214

111

412













AE得特征值为

0,6,3

321

.

解齐次线性方程组0xAE

,求特征向量.

对3

,





































000

110

101

514

121

415

3AE,得















；

对6

,



































000

010

101

414

171

414

6AE,得

















；

对0

,

































000

210

101

214

111

412

0AE,得















；

因为

123

,,属于不同特征值,已经正交,只需规范化：

令TTT1,2,1

,1,0,1

,1,1,1









,

所求正交矩阵为

















Q,对应标准形为2

63yyf.

22本题满分11分．

设随机变量

与

相互独立,且

的概率分布为

{X0}{X2}

PP,

的概

率密度为

2,01

()











其他.

I求{YEY}P

II求

ZXY

的概率密度;

答案1

d2d)(1





yyyyyyfEY



d2d)(3



yyyyfEYYP

（2）

的分布函数为

故

的概率密度函数为











































其它,0

32,2

10,

3,0

32,2

21,0

10,

0,0

)2()(

)()(zz

zfzfzFzf

ZZ.

23本题满分11分．

某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做n次测量,该物

体的质量



是已知的.设n次测量结果

XXX,,

相互独立且均服从正态分布

),(2N.该工程师记录的是n次测量的绝对误差

),,2,1(niXZ



.利用

ZZZ,,

估计.

I求

Z的概率密度；

II利用一阶矩求的矩估计量；

III求的最大似然估计量.

答案

Z的分布函数为























PzXPzZPzF

)(

所以

Z的概率密度均为

e,0

()()

fzFz



















其他





（2）















































tt

ettezezEZ

令

令ZEZ

,即Z





,得的矩估计量为：



,其中



3记

ZZZ,,,

的观测值为

zzz,,,

,当),,2,1(0niz

时,

似然函数为









n

eezfL1

)2(2

);()(





,







ln)2ln(

2ln)(ln



,

令





1)(ln







，得







ˆ的最大似然估计量为.

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