2022考研数学

2022考研数学

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2023年3月17日发(作者：描写长城的诗句)



2022年全国硕士研究生入学考试数学一试题

一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分.以下每题给出的四个选项中，

只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1、当x0时，假设xtanx与xk是同阶无穷小，那么k是〔〕

(A)1(B)2(C)3(D)4

xx,x0,

2、设函数f(x)



xlnx,x0,

那么x=0是f(x)的〔〕

(A)可导点，极值点。

(B)不可导点，极值点。

(C)可导点，非极值点。

(D)不可导点，非极值点。

3、设{u

n

}是单调增加的有界数列，那么以下级数中收敛的是〔〕

u

n



n

1

u

n



22

(A)



n1

(B)(-1)

n1

(C)

u

n

(1-

n1

)

n1

(D)(u

n1

u

n

)

n1

4、设函数(x,y)

x

，如果对上半平面〔y>0〕内的任意有向光滑封闭曲线C都

y2

有c

P(x,y)dx(x,y)dy0，那么函数P(x,y)可取为〔〕

(A)

x2y(B)

1x2

(C)

1



1

(D)

x

1

y3yy3xyy

5、设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，假设A2A2E,且A4,那么

二次型xTAx的标准形为()

-1-

u

n

6、如下图，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程

a

i1

xa

i2

ya

i3

zd

i

(i1,2,3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为



A,A,那么〔〕

(A)



r(A)2,r(A)3。

(B)



r(A)2,r(A)2。

(C)



r(A)1,r(A)2。

(D)



r(A)1,r(A)1。

7、设A,B为随机事件,那么P(A)P(B)的充分必要条件为〔〕

(A)P(AB)P(A)P(B)。

(B)P(AB)P(A)P(B)。



(C)P(AB)P(BA)。



(D)P(AB)P(AB)。

8、设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布N(,2)，那么P{XY1}〔〕

(A)与无关，而与2有关。

-2-

(A)y2y2y2

123

(B)y2y2-y2

123

(C)y2-y2-y2

123

(D)-y2-y2-y2

123

n0

(C)与，2都有关。

(D)与，2都无关。

二、填空题：9～14小题，每题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置

上.

9、设函数f(u)可导，zf(sinysinx)xy，那

么

1

cosx



z





x

1

cosy



z

=。

y

10、微分方程2yy'y220满足条件y(0)1的特解y=。

(1)n

n

11、幂级数

(2n)!

x

在(0,)内的和函数S(x)=。

12、设为曲面x2y24z24(z0)的上侧，那

么



z

4x24z2dxdy=。

13、设A(

1

,

2

,

3

)为3阶矩阵，假设

1

,

2

线性无关，且

3

-

1

2

2

，那么线性方

程组Ax0的通解为。





x

,0x2,

14、设随机变量X的概率密度为f(x)



2

，F(x)为X的分布函数，EX为





0,其他,

X的数学期望，那么P{F(X)EX1}=。

-3-

(B)与有关，而与2无关。

-4-

三、解答题：15～23小题，共94分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步

骤.请将答案写在答题纸指定位置上.

15、(此题总分值10分)

设函数y(x)是微分方程y'xye



x2

2满足条件y(0)0的特解。

（1）求y(x)；

（2）求曲线yy(x)的的凹凸区间及拐点。

16、(此题总分值10分)

设a,b为实数，函数z2ax2by2在点〔3,4〕处的方向导数中，沿方向

l3i4j的方向导数最大，最大值为10。

（1）求a,b；

（2）求曲面z2ax2by2〔z0〕的面积。

17、(此题总分值10分)

求曲线yexsinx(x0)与x轴之间图形的面积。

设a

n

1xn

0

1x2dx,n(0,1,2)

（1）证明数列{a

n

}单调减少，且a

n



n1

a

n2n2

(n2,3)；

（2）求lim

a

n。

na

n1

19、(此题总分值10分)

设是锥面x2(y2)2(1z)2(0z1)与平面z0围城的椎体，求的形心坐

标。

20、(此题总分值11分)

设向量组(1,2,1)T,(1,3,2)T,(1,a,3)T，为R3的一个基，(1,1,1)T在

123

这个基下的坐标为(b,c,1)T。

（1）求a,b,c；

（2）证明，为R3的一个基，并求，到,的过渡矩阵。

2,32,312,3

-5-

18、(此题总分值10

分)



0



0y









0



0

2



221



210



矩阵

A



2x2



与B



010



相似









（1）求x,y；

（2）求可逆矩阵P,使得P1APB。

22、(此题总分值11分)

设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为

P{Y1}p,P{Y1}1p,(0p1)，令ZXY

（1）求z的概率密度；

（2）p为何值时，X与Z不相关。

（3）X与Z是否相互独立。

23、(此题总分值11

分)



A

(xu)2

设总体X的概率密度为f(x,2)



e



22

0

,

x,

x,

其中是参数，0是

未知参数，A是常数，X

1

,X

2

,X

n

来自总体X的简单随机样本。

（1）求A；

（2）求2的最大似然估计量。

-6-

21、(此题总分值11

分)