合力矩定理
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2023年3月19日发(作者：理事会决议)2-第⼆章⼒矩与⼒偶理论
第⼆章⼒矩与⼒偶理论
§2.1⼒在坐标轴上的投影、合⼒投影定理
⼀、⼒的投影
1.⼒在平⾯上的投影是⼀个分⼒，是⽮量。[F]xoy=Fxy
2.⼒在轴上的投影是代数量
a直接投影法：设⼒F与x、y、z轴的夹⾓为α、β、γ，则：
αcos?=FX
βcos?=FYγcos?=FZ
b⼆次投影法：先将F向xoy平⾯投影，再向x、y轴投影
[]γsin?==FFFxyxoy
γcossin??=FX?γsinsin??=FYγcos?=FZ
3.设Fx、Fy、Fz、是⼒F沿三轴的分⼒，i、j、k代表三轴的坐标⽮量，则分⼒与投影之间的关系：
XiFx=YjFy=ZkFz=
ZkYjXiF++=222ZYXFF++=
=
()FXxF=,cos()FYyF=,cos()FZzF=,cos
⼆、合⼒的投影定理(合⼒的投影与分⼒投影之间的关系)
定理：合⼒在某⼀轴上的投影等于各分⼒在同⼀轴上投影的代数和：
XRx∑=YRy∑=ZRz∑=
证明：设空间汇交⼒系F1，F2…Fn作⽤于刚体上，根据⼒的多边形法则，其合⼒R为空间多边形的封闭边，其作⽤点仍通
过汇交点0。
FFFFRn∑=+?++=21
图2-1
ZkYjXiF∑+∑+∑=∑
∴ZkYjXiR∑+∑+∑=
⼜⽤Rx、Ry、Rz表⽰R在三轴上的投影RzkRyjRxiR++=
结论：XRx∑=YRy∑=ZRz∑=⼤⼩：()()()222ZYXR∑+∑+∑=
⽅向：()RXxR∑=,cos()RYyR∑=,cos()RZzR∑=,cos
思考：kiF20401+-=kjiF1040502-+=kiF10203-=三⼒汇交O点，求合⼒：
解：30205040=++-=∑X400400=++=∑Y0101020=--=∑ZjiR4030+=50403022=+=R()5
3,cos=
xR三、基本⼒系：汇交⼒系和⼒偶系
(⼀)汇交⼒系的简化与平衡1.⼏何法(1)简化(合成)
结论：FR∑=合⼒作⽤线通过汇交点
(2)平衡0=R
⼏何意义：⼒多边形⾃形封闭适应范围：常⽤于三⼒平衡问题
例1：如图2-3所⽰，曲柄压机，已知⼒kNF3=，BCAB=、200=Hmm、1500=Lmm、
图2-2
求压块对地⾯的压⼒和AB杆所受的⼒。
解：1)⾸先研究BD杆，受⼒如图2-3(b)
0=∑X0coscos=-ααBCBAFF0=∑Y0sinsin=-+FFFBCBAαα
2)以压块C为研究对象，受⼒如图2-3（C）
0=∑X0cos=+-αBCCxFF
0=∑Y0sin=+-CyCBFFα
连解⽅程组得kNFCy5.1=
2)解析法：(适应于多⼒汇交平衡)
(1)简化FR∑=根据合⼒投影规律：
XRX∑=YRY∑=ZRZ∑=
()()()222ZYXR∑+∑+∑=
RX∑=αcosRY∑=βcosRZ∑=
γcos
图2-3
A'
BABC()b()c
(2)平衡：0=R
0=XR0=YR0=ZR0=∑X0=∑Y0=∑Z
若⼒系为平⾯汇交⼒系，则：0=∑X0=∑Y
例2：如图2-4所⽰机构，不计轮重及轮的尺⼨、⼤⼩，求AB、BC杆的内⼒。解：不计轮的尺⼨，则可看成B点的受⼒为汇
交⼒，AB和BC杆件为⼆⼒杆，以轮B为研究对象，则B受⼒如图2-4c。
0=∑X060cos60cos=?+?--BCBAFFP0=∑Y030sin30sin=?+?+-BCA
BFFP
()压PFBA231-=
()拉PFBC2
3
1+=
例3：两轮A和B，各重为PPA2=，PPB=，杆AB为L，连接两轮，可⾃由地在光滑⾯滚动，不计杆重，试求当物体系统
处于平衡时，杆AB与⽔平线的夹⾓。
解：1)先研究轮A，进⾏受⼒分析
0=∑X()0cos90cos=+-?-αθABATN0=∑Y()0sin90sin=---?αθABAATPN
()c
P
BC
F
BAFx
y
60°()aB
P
()
bBC
'
图2-4
得：α
αθsincoscot-=A
ABPT
2)再研究轮B
0=∑X0coscos=-αθBABTN
0=∑Y
0sinsin
=
-+BBABPTNαθ
得：α
αθsincostan+=
B
BAPT
⼜ABBATT=
所以：θ
θθαcossin32
cos3tan2-=
x
图2-4
§2.2⼒对点的矩、合⼒矩定理
⼀、⼒对点的矩：是指⼒使刚体绕⽀点(或矩⼼)转动效应的度量。转动效应是逆
时钟时⼒矩为正，顺时钟时为负。
⼒F对点O的矩表⽰为()FMo
()FrFMO?=
()OABOSFhFM2==
举例：板⼿转动螺母(图2-4)
a.⼒矩⼤⼩：()()O
OhFrFFrFM?=?=??=2,sinb.⼒矩⽅位：垂直于⼒与矩形O构成的平⾯c.转向：按右⼿螺旋法则确定
所以：()FrFMO?=(⼒矩是⼀个⽮量)
()()hFrFFrFMO?=??=,sin
以矩⼼为原点，建⽴直⾓坐标系OXYZ
设：()zyxA,,F在x、y、z轴上投影为X、Y、Z
zkyjxir++=
kFjFiFFzyx++=
()()
()()kyFxFjxFzFizFyFFFFzyx
k
ji
FrFMxyzxyzz
y
x
O-+-+-==?=()[]yzOzFyFxFM-=
()[]zxOxFzFyFM-=
()[]xyyFxFzFMo-=
注意：在平⾯中⼒矩是代数量(因为⽅位确定)
图2-3
规定：逆时钟转动为正，顺时钟转动为负。
⼆、合⼒矩定理：合⼒对某点的矩等于各⼒对同⼀点的矩的⽮量和。
()()iOOFMRM∑=
证明：设空间的汇交⼒系nFF1交于A点
inFFFFR∑=+++=21
取任⼀点，设O⾄A点的⽮量为r，则
()RrRMo?=
()nFFFr+++?=21nFrFrFr?++?+?=21∵()11FMFrO=?()nOnFMFr=?
∴()()()nOOOFMFMRM++=1()iOFM∑=
§2.3⼒对轴的矩，⼒对点的矩和⼒对轴的矩三者之间的关
系
⼀、⼒对轴的矩
(⾸先举例说明⼒对点之矩与⼒对轴之矩的区别
设：⼒F作⽤于A点，使刚体绕Z轴转动，取与垂直的平⾯xoy，交点为O。
[]xyxoyFF=,O到Fxy的垂直距离为h，则
()hFFMxyz?±=
⼒对轴之矩是⼀个代数量，逆时计为正，顺时计为负。
分析：(1)当⼒的作⽤⽅向平⾏于轴时，或与某轴相交，则⼒对该轴之矩
等于零。
(2)⼒沿其作⽤线运动，⼒对轴之矩不变。
⼆、⼒对轴的矩与⼒对点的矩之间的关系定理：
定理：⼒对点的矩⽮在通过该点的轴上投影，等于⼒对轴的矩，即：()[]()FMxFMxO=
()()FMyFMyO=
()[]()FMzFMzO=
证明：从2.2中得()[]yzOzFyFxFM-=
()[]zxOxFzFyFM-=
()xyOyFxFzFM-=
⼒F对Z轴的矩：()[]()()()yOxOxyOzFMFMFMFM+==
()xOyFFxM-=()yOxFFyM=
∴()xyzyFxFFM-=同理有()zxyxFzFFM-=
()yzxzFyFFM-=
结论：()[]()FMxFMox=
()[]()FMyFMoy=
()[]()FMzFMoz=
分析：求⼒对轴之矩有两种⽅法：
(1)根据定义：将⼒F投影在与轴垂直的平⾯→xyF，再求⼒xyF对汇交点O之矩，()dFFMxyz?±=
(2)如果投影很困难，则：⾸先求出⼒F对轴上任意⼀点之矩()FMO再对
该轴进⾏投影，即()()[]zOzFMFM=。
2.4⼒偶理论
⼀、⼒偶矩⽮的概念
⼒偶：指作⽤在刚体上等值，反向，平⾏不共线的两个⼒所组成的⼒系。特点：(1)⼒偶⽆合⼒；
(2)⼒偶不是平衡⼒系；(3)⼒偶使刚体产⽣转动。
⼒偶矩⽮：使物体发⽣转动效应的⼒偶的度量：M转动效应取决于：
a.⼒偶矩的⼤⼩，取决于⼒的⼤⼩与⼒臂的乘积，MdF=?
b.⼒偶转向
c.⼒偶作⽤⾯的⽅位，按右⼿螺旋法则：∴⼒偶矩⽮是⼀个⽮量：M
MABF=?
⼤⼩：MdF=?
⽅向：沿⼒偶作⽤⾯的垂直⽅向指向：⽤右⼿螺旋法则
注：在同⼀平⾯内，⼒偶矩⽮量⼀个代数量，只取决于⼒偶矩的⼤⼩和⼒偶的转向，逆为正，顺为负。
⼆、⼒偶的性质
1.⼒偶矩⽮与矩的选择⽆点
即：⼒偶中两⼒对任意点的⼒矩之和等于⼒偶矩⽮证：()()FrFrFMoFMoAB?+?=+'()FrFrAB-?+?=()FrrAB?+=AB
FM=?=
2.只要⼒偶矩的⼤⼩和转向不变，⼒偶可以在其作⽤平⾯内任意转移，也可以改变⼒和⼒臂的⼤⼩。
(有的书上称：⼒偶的等效定律：作⽤在刚体上同⼀平⾯内两个⼒偶等效的重要条件是：两个⼒偶⼒偶矩的计算值相等)。
注：若转向不同，则不能等效
举例：(1)作⽤在汽车⽅向盘的⼒偶；(2)作⽤在丝锥板⼿上的⼒偶
分析：1)此结论不适合于变形效应的研究；2)只在其作⽤平⾯内转移。3.只要⼒偶矩⼤⼩和转向不变，⼒偶可以从⼀个平⾯
移⾄另外⼀个平⾏平⾯。
结论：空间⼒偶可以在平⾏平⾯内任意移动⽽不影响⼒偶对刚的效应。所以：⼒偶矩⽮是⼀个⾃由⽮量(⽽⼒对点的矩是⼀个
定位⽮量)
(1)与矩的⽆关
(2)可在作⽤平⾯内任意转移(3)其作⽤平⾯内可以任意平移。
注：⼒偶的可移动性，只适应于⼀个刚体内的移动.三、合⼒偶矩定理：(⼒偶系的合成)
合⼒偶矩⽮等于各分⼒偶矩⽮的⽮量和：Mm=∑
提⽰：合⼒投影定律：FR∑=xRX=∑yRY=∑zRZ=∑
合⼒矩定理：()()OOMRMR=∑
合理偶矩定理：Mm=∑
证明：设作⽤在刚体上有任意个⼒偶，其⼒偶矩⽮，1m,2m,…nm
根据⼒偶矩⽮是⼀个⾃由⽮量的性质，可移⾄刚体任意⼀点，根据⽮量多边形法，可得：mmmmMn∑=+++=21
设Mx,My,Mz为M在x,y，z轴上的投影i,j,k代表x,y,z单位⽮量。
zkyjxiMMMM++=xxMM=∑
yyMM=∑zzMM=∑
M=
四、⼒偶系的平衡条件
刚体在⼒偶系作⽤下，平衡的充要条件：0iMM∑=∑=即：刚体在⼒偶系作⽤下：1)若平衡：则0M∑=2)若0=∑m则刚体
平衡
0M∑=是解平⾯⼒偶系的基本⽅程，利⽤这个⽅程求出⼀个未知量。
例1：如图所⽰，电动机通过联轴与⼯作轴相连接，联轴四个螺拴A、B、C、D均匀分布在同⼀周围上。此轴半径为150mm
，电动机传给联轴外⼒偶矩
=，试求每个螺拴所受的⼒。
解：假设四个螺拴受⼒均匀，取连轴为研究对象，进⾏受⼒分析
PPPPP====4321
0M∑=
0MPRPR-?-?=2MPR=
22.520.354.17PMRkN==?=
例2：如图所⽰：已知：120MNm=?，240MNm=?，?=60β?=30α，
AB=a=1m,求A、B处反⼒.
解：1)先研究整体AY与BY组⼒偶
120
0AMYaMM∑=--+=
10ABYYN=-=-
2)研究AC杆(或BC杆)
AY与CY组成⼀个⼒偶,AX与CX组成⼀个⼒偶。0M∑=2cossin0AAYACXACMββ+-=
AX
BXN=-=
例3：框架尺⼨如图所⽰M=40Nm?,A为固定的铰⽀座，C、D、E为中间铰，B为光滑⾯，求平衡时，A、B、C、D和E
处约反⼒。解：此题为物体系统的平衡问题。
1)先研究整体，AR与BR必须组成⼒偶与m平衡0=∑m030cos=-??mARBB
NRB14433.032.040=?=∴NRA144=
2)再研究CD杆，(CD杆⾮⼆⼒杆)，由于ED杆为⼆⼒杆，则DR沿ED⽅向，
CR与
DR必组成⼒偶与m平衡，则
0sin=-?mCDRCα
4032.024.024.032.022=??CR
NRC156=
156DCRNR==
C