小学思维数学讲义:余数性质(一)-带详解

2024年1月17日发(作者：)

余数性质（一）

教学目标

1. 学习余数的三大定理及综合运用

2. 理解弃9法，并运用其解题

知识点拨

一、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2

2.余数的加法定理

a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.

当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4

3.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么an与bn除以m的余数也相同．

二、弃九法原理

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：

例如：检验算式1234189818922678967178902889923

1234除以9的余数为1

1898除以9的余数为8

18922除以9的余数为4

678967除以9的余数为7

178902除以9的余数为0

这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

1

所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用

注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的

但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。

例题精讲

模块一、余数的加减法定理

【例 1】 幼儿园的老师给班里的小朋友送来40只桔子，200块饼干，120块奶糖。平均分发完毕，还剩4只桔子，20块饼干，12粒奶糖。这班里共有_______位小朋友。

【考点】余数的加减法定理 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】走美杯，4年级，决赛，第3题，8分

【解析】 40-4=36，200-20=180，120-12=108。小朋友的人数应是36，180，108的大于20的公约数，只有36。

【答案】36

【例 2】 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．

【考点】余数的加减法定理 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】少年数学智力冬令营

【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为252507，0325360253679，所以这样的数组共有下面4个：2000,20，1998,2000,2003 ，2000,2003,2001,1995 ，1998,2000,2003,2001,1995．

【答案】4

【例 3】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?

【考点】余数的加减法定理 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。

【答案】5

【例 4】 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．

【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】小学数学奥林匹克

【解析】

(70110160)50290，50316......2，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，110581......52，5250，所以除数不是58．70292......12，110293......23，160295......15，12231550，所以除数是29

【答案】29

【巩固】 用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．

【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】小学数学奥林匹克

【解析】 n能整除639112925258．因为2538...1，所以n是258大于8的约数．显然，n不能大

2

于63．符合条件的只有43.

【答案】43

【例 5】 如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是多少？

【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 从5！开始个位数字都是0了因此只需要计算前4个数,1！+2！+3！+4！=1+2+6+24=33所以末位数字一定是3

【答案】3

【例 6】 六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．

【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】小数报

【解析】 六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知，这个钱数只能是37元，所以每本《成语大词典》的定价是(1417182126)332 (元) ．

【答案】32

【巩固】 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．

【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】小学数学奥林匹克

【解析】 两个顾客买的货物重量是3的倍数．(151618192031)(12)119339...2，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是20千克．

【答案】20

【巩固】 六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．(第五届小数报数学竞赛初赛)

【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】小学数学奥林匹克

【解析】 根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知，甲、乙手中五张卡片上的数之和应是3的倍数．计算这六个数的总和是11931258184218661912249410565，

10565除以3余2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数，那么丙手中的卡片上

的数除以3余2．六个数中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的数为1193．

【答案】1193

【例 7】 从1，2，3，4，…，2007中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除．N最大为多少？

【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】走美杯，初赛，六年级，第8题

【解析】 取出的N个不同的数中，任意三个的和能被15整除，则其中任意两个数除以15的余数相同，且这个余数的3倍能被15整除，所以这个余数只能是0，5或者10．在12007中，除以15的余数为0的有151，152，…，15133，共有133个；除以15的余数为5的有1505，1515，…，151335，共有134个；除以15的余数为10的有15010，15110，…，1513310，共有134个．所以N最大为134．

【答案】134

【例 8】 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?

【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】解答

3

【关键词】香港圣公会，小学数学奥林匹克

【解析】 从任意三人岁数之和是3的倍数，100除以3余1，就知四个岁数都是3k1型的数，又是质数．只有7，13，19，31，37，43，就容易看出：父43岁，母37岁，兄13岁，妹7岁．

【答案】37

【例 9】 有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人．三校共有高中生2196人．有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A校总人数是________人．

【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】香港圣公会，小学数学奥林匹克

【解析】 三所学校的高中生分别是：A校742人，B校732人，C校722人．如果A校或C校初中人数是高中人数的1.5倍，该校总人数是奇数，而按照给出条件得出其他两校总人数都是偶数，与三校总人数5480是偶数矛盾，因此只能是B校的初中人数是高中人数的1.5倍．三校初中的总人数是被3除余2；732被3整除，722被3除余2,742被3除余1．从余数来看2215，548021963284，就断定初中人数是高中人数的2倍，只能是C校．所以，A校总人数是7427421484

1224，(人) ．

【答案】1484

模块二、余数的乘法定理

【例 10】 求2461135604711的余数．

【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 因为2461118，1351112...3，6047118，根据同余定理(三)，

2461135604711的余数等于83811的余数，而838192，

1921117...5，所以2461135604711的余数为5．

【答案】5

【巩固】 求478296351除以17的余数．

【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】华杯赛

【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除

以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，(2711)179......1．

【答案】1

【巩固】 求4373091993被7除的余数．

【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 方法一：先将4373091993算出以后，即4373091993269120769．再求得此数被7除的余

数为1．

方法二：因为473除以7的余数为3，309除以7的余数为1，由“同余的可乘性”知：除（437309）以7的余数为．又因为1993除以7的余数为5，所以除以7的余数（31）（4373091993）等于即15除以7的余数，算出4373091993被7除的余数为1．

（315）方法三：利用余数判别法⑹，算出4373091993269120769，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差即36除以7的余数为1，即（269）（76）9（12）017223，36被7除的余数为1．

4373091993【答案】1

【例 11】 求4782569352除以9的余数．

【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答

【分析】

47819291，2561394，3521091，4782569351除以9的余数等于1414．

【答案】4

4

【例 12】 一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是 。

【考点】余数的乘法定理

【难度】3星

【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，初赛，第3题，5分

【解析】 余数是3×3÷7的余数，为2

【答案】2

【例 13】 在图表的第二行中，恰好填上89～98这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．

【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别除以11的余数之积．因此原题中的89～98

可以改换为1～10，这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了．我们得到下面的结果：

进而得到本题的答案是：

【答案】

122232200122002除以7的余数是多少？ 【例 14】

【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】实验中学

200220034005【解析】 由于1222322001220022100120031335，而1001是7的倍数，6所以这个乘积也是7的倍数，故1222322001220022除以7的余数是0；

【答案】0

【例 15】 求64431219的余数

【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数相除的余数情况。由6443÷19余2，求原式的余数只要求21219的余数即可。但是如果用2÷19发现会进入一个死循环，因为这时被除数比除数小了，所以可以进行适当的调整，21226266464，

64÷19余数为7，那么求21219的余数就转化为求646419的余数，即49÷19的余数。

49÷19余数为11，所以原式64431219的余数为11.

【答案】11

【巩固】 求14389除以7的余数．

【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 法一：由于1433mod7 (143被7除余3)，所以14389389mod7 (14389被7除所得余数与389被7除所得余数相等),而36729，7291mod7（729除以7的余数为1），

5

所以389363614个3635355mod7,故14389除以7的余数为5.

法二：计算389被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：

31

32

33

34

35

36

37

6

5

2

4

于是余数以6为周期变化．所以389355mod7．

【答案】5

【巩固】 求3406写成十进制数时的个位数．

【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答

mod7

3

1

3

【解析】 要想把3406具体数字算出来显然是不可能的，由于题目可以转化为求3406除以10的余数．看到题目里面有个很大的乘方，我们想到利用“同余的乘方性”．可先确定n，使3n除以10的余数为1．

101101通过尝试可知，最小的n为4．因为3406340432除以10的余数等于1101除以（34）32，（34）10的余数即1，32除以10的余数为9，所以，3406除以10的余数为199，即3406写成十进制数时的个位数为9．

【答案】9

20092009【巩固】

2010个20092009的个位数字是________．

【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第4题

【解析】 易知２００９的个位数字是９，20092的个位数字是１，20093的个位数字是９，20094的个位数字是１，两个为一周期，则20092010的个位数字是１.

【答案】1

【巩固】 2007×2007×…×2007（2008个2007）的个位数字是 。

【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】走美杯，初赛，六年级，第1题

【解析】 可以看出2007的乘方其尾数是7、9、3、1四个数字循环的，2008个2007相乘，其尾数为1.

【答案】1

【例 16】 今天是星期四，101000天之后将是星期几？

【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 先求较小的n，使10n除以7的余数为1．

10除以7余3，102除以7余2，10310102除以7余326，104102102除以7余224，106103103除以7的余数等于6636除以7的余数等于1．所以，101000除以7的余数等于104106166除以7的余数等于414，故101000天之后，应是星期一．

【答案】星期一

【例 17】 求31997的最后两位数．

【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 即考虑31997除以100的余数．由于100425，由于3327除以25余2，所以39除以25余8，

310除以25余24，那么320除以25余1；又因为32除以4余1，则320除以4余1；即3201能被4 和25整除，而4与25互质，所以3201能被100整除，即320除以100余1，由于1997209917，所以31997除以100的余数即等于317除以100的余数，而36729除以100余29，35243除以100余43，317(36)235，所以317除以100的余数等于292943除以100的余数，而29294336163除以100余63，所以31997除以100余63，即31997的最后两位数为63．

【答案】63

6

【例 18】 求1~2008的所有自然数中，有多少个整数a使2a与a2被7除余数相同？

【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 让我们用列表的方法来寻找2a与a2被7除余数的规律：

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

2a被7除的余数

2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1

a2被7除的余数

1 4 2 2 4 1 0 1 4 2 2 4 1 0 1 4 2 2 4 1 0

从上表可以看出：

2a被7除的余数是2，4，1，2，4，1，2，4，1，，每3个一循环；

，每7个一循环．

a2被7除的余数是1，4，2，2，4，1，0，1，4，2，2，4，1，0，所以能同时满足这两个条件的规律，必须是3和7的公倍数，即为21的倍数，也就是使2a与a2被7除的余数相同的数，在自然数列中，是每21一个循环，其中有6个余数相同，分别是每个循环中的第2，4，5，6，10，15个数．

又因为2008219513，所以，在1~2008的所有自然数中，能使2a与a2被7除余数相同的数共有：6955575（个）．

【答案】575

7