陈纪修数学分析

陈纪修数学分析

-

2023年3月19日发(作者：防爆扩音对讲)

1/25

十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

圣才电子书

第2章数列极限

§1实数系的连续性

1．（1）证明不是有理数；

（2）是不是有理数？

证明：（1）可用反证法若是有理数，则可写成既约分数．由可知

m是偶数，设，于是有，从而得到n是偶数，这与是既约分数矛盾．

（2）不是有理数．若是有理数，则可写成既约分数，于是

，即是有理数，这与（1）的结论矛盾．

2．求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：

解：minA＝0；因为，有，所以maxA不存

在．；因为，使得，于是有

，所以minB不存在．

maxC与minC都不存在，因为，

所以maxC与minC都不存在．

2/25

十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

圣才电子书

3．A，B是两个有界集，证明：

（1）A∪B是有界集；

（2）也是有界集．

证明：（1）设，有，有，则，有

．

（2）设，有，有，则，有

．

4．设数集S有上界，则数集有下界．且．

证明：设数集S的上确界为supS，则对，有-x≤supS，即

；同时对，存在，使得，于是．所

以-supS为集合T的下确界，即．

5．证明有界数集的上、下确界惟一．

证明：设supS既等于A，又等于B，且A

上确界，所以，使得，这与A为集合S的上确界矛盾，所以A＝B，即

有界数集的上确界惟一．同理可证有界数集的下确界惟一．

6．对任何非空数集S，必有．当时，数集S有什么特点？

解：对于，有，所以．当时，数集S

是由一个实数构成的集合．

3/25

十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

圣才电子书

7．证明非空有下界的数集必有下确界．

证：参考定理2.1.1的证明．具体过程略．

8．设并且，证明：

（1）S没有最大数与最小数；

（2）S在Q内没有上确界与下确界．

证：（1）．取有理数r>0充分小，使得

，于是．即，

所以S没有最大数．同理可证S没有最小数．

（2）反证法．设S在Q内有上确界，记（m，n∈N+且m，n互质），则显

然有．由于有理数平方不能等于3，所以只有两种可能：

（i），由（1）可知存在充分小的有理数r>0，使得，这

说明，与矛盾；

（ii），取有理数r>0充分小，使得，于是

，这说明也是S的上界，与

矛盾．所以S没有上确界．

同理可证S没有下确界．

§2数列极限

4/25

十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

圣才电子书

1．按定义证明下列数列是无穷小量：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

（7）（8）．

证明：（1），取，当n>N时，成立

．

（2），取，当时，成立

．

（3），取，当时，成立；

取，当时，成立，则当时，成立

．

（4），取，当n>N时，成立

．

（5）当n>11时，有．于是，取

，当n>N时，成立．

（6）当n>5，有．于是，取，

当n>N时，成立．

（7），取，当n>N时，成立

（8）首先有不等式，取

，当n>N时，成立．

5/25

十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

圣才电子书

2．按定义证明下述极限：

证明：（1），取，当时，成立

（2），取，当时，成立

（3），取，当n>N时，成立

（4）令，则．当n>3时，有

所以，取，当时，成立

．

（5），取，当n>N时，若n是偶数，则成立

；若z是奇数，则成立．

3．举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的：

（1）对任意给定的，存在正整数N，使当n>N时，成立；

（2）对任意给定的，存在无穷多个，使．

6/25

十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

圣才电子书

解：（1）例如，则满足条件，但不是无穷小量．

（2）例如则满足条件，但不是无穷小量．

4．设k是一正整数，证明：的充分必要条件是．

证明：设，则，成立，于是也成立

，所以；

设，则，成立，取，则

，成立，所以．

5．设，证明：．

证明：由可知，成立

，成立．于是

，成立．

6．设．且，证明：．

证明：首先有不等式．由，可知，

成立，于是．

7．是无穷小量，是有界数列，证明也是无穷小量．

证明：设对一切．因为是无穷小量，所以，，

成立．于是，成立，所以也是无穷小量．