比例的应用
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2023年3月19日发(作者：实验室蒸馏装置)精品文档
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比和比例
一、重要知识点
比和比值：两个数相除又叫做两个数的比。比的大小叫比值。
比的性质：比的前项和后项同乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
按比例分配：把一个量按一定比例分为几份，叫做按比例分配。
比例及其性质：表示两个比相等的式子叫做比例。
a：b=c：d或
b
a
=
d
c
,则ad=bc。
比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
正比例：①两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，②这两种量中相对应的两
个数值的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫正比例关系。[字
母表示：x/y=к（一定）]
反比例：①两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，②这两种量中相对应的两
个数值的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫反比例关系。[字母表示：х
у=к（一定）]
二、经典例题
知识点1、比和比的应用
例1：王军行走的路程比陈晨多
4
1
，而陈晨行走的时间却比王军多
10
1
，求王军与陈晨的速
度比。
学生自测：
甲、乙两个长方形的周长相等，甲的长与宽的比是3:2，乙的长与宽的比是7:5，它们的
面积的比是多少？
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②甲仓有粮100吨，乙仓有粮80吨，从甲仓取出多少吨给乙仓，使甲、乙两仓粮食的吨数
比是2：3？
③A、B两地相距320千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，2小时相遇，已
知甲乙速度比是3：5，乙每小时行多少千米？
④有一块铜锌合金，其中铜和锌的比是2：3，现在加入锌6克，共得新合金36克。求新
合金中铜与锌的比。
知识点2、比与比例的基本性质
例.甲商品的价钱是乙商品价格的7/3，如果这两种商品的价格分别上涨70元，那么它们的
价格比就是7:4，这两种商品原来的价钱各是多少元？
学生自测：
①小明和小强原有的图纸之比是4：3，小明又买来15张，小强用掉了8张，他们现有的
图纸之比是5：2，原来两人各有多少张图画纸？
②学校原有跳绳36根，其中短跳绳根数与长跳绳根数比为7：2，又买进一批短跳绳后，
短跳绳根数与长跳绳根数比是23：4，现在学校一共有跳绳多少根？
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③分数47/97，分子、分母分别加上、减去同一个数以后，约分后的最简分数为3/5，求
分子加上、分母减去的这个数。
④北京西路小学合唱队与舞蹈队人数之比为3:2，如果将合唱队的队员调10名到舞蹈队，
那么这时合唱队与舞蹈队人数之比为7:8，原来合唱队有多少人？
知识点3、按比例分配
例3：育英小学六年级学生分三批去参观科技馆。第一批和第二批的人数比是5:4，第二批
与第三批的人数比是3:2.已知第一批比第二、三批人数的总和少15人。六年级参观科技馆
的共有多少人？
学生自测：
小明家养的鸡与猪的数量比为26:5，养的羊与马的数量比为25:9，猪与马的数量比为
10:3，如果养羊50只，小明家养鸡、猪、马各多少？
②一堆黑、白围棋子，从中取走白子15粒，余下的黑子数与白子数之比为2:1，此后，又
取走黑子45粒，余下的黑子数与白子数之比为1:5，那么这堆围棋子原来共有多少粒？
③一种混凝土是由水泥、沙子和石子按照2：3：5配置而成。
（1）配置这种混凝土30吨，水泥、沙子、石子各要多少吨？
（2）运来水泥、沙子、石子各30吨，当沙子用完时，水泥还剩下多少吨？还需运进石子
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多少吨？
④甲、乙两袋大米共重88千克，已知甲袋大米的
3
2
与乙袋大米的
5
4
一样多，求甲、乙两袋
大米各重多少千克？
知识点4、比例尺
例4、在一张图上距离3厘米代表实际距离360千米地地图上，量得AB两地相距12厘米，
AB两地的实际距离是多少千米？
学生自测：
①在一张比例尺是1:2500的平面图上，量得一个长方形运动场的长为4.8厘米，宽为3.6
厘米，这个运动场的实际面积是多少平方米？
②在一幅比例尺为1:2500000的地图上，量得甲，乙两地的距离为25cm，如果在另一幅
地图上，甲乙两地的距离是20cm，那么另一幅地图的比例尺是多少？
知识点5、正比例与反比例
例5：一辆汽车原计划每小时行驶70千米，从甲地到乙地需要行驶6小时，实际上这辆汽
车1.5小时就行驶了120千米。照这样的速度，从甲地到乙地需行驶多少小时？
学生自测：
①判断以下两种量成什么比例？说明理由。
1、一个不为0的数和它的倒数。
2、圆的周长和半径。
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3、圆柱侧面积一定，它的底面周长和高。
4、正方体的棱长和体积。
5、等底等高的圆柱体积和圆锥体积。
6、15/x=y,x和y
7、0.4a=0.5b,a和b
8、3A÷7=B，A和B
9、车轮的直径一定，所行驶的路程与车轮的转数。
②某单位买甲、乙两种钢笔共100枝，已知甲钢笔每枝3元，乙钢笔每枝2元，且甲、乙
两种钢笔所用钱数一样多。求：甲、乙两种钢笔各买了多少枝？
③甲、乙两辆汽车各以一定的速度从A地开往B地。甲的速度每小时比乙快20千米，甲比
乙晚出发0.5小时，出发又过了1.5小时在终点处追上了乙，求A地到B地的路程为多少
千米？
④A、B、C三个人100米赛跑，他们三人都是匀速前进，当A到终点时，B离终点有20
米，C离终点有30米，当B到终点时，C还有几米才到？
⑤一辆汽车沿高速公路从甲地到乙地，每小时可以行80千米。司机估算了一下，如果提速
百分之二十，则可以少用0.5小时，甲、乙两地之间相距多少千米？
⑥华华从甲地到乙地，去时每小时走5千米，回时每小时走7千米，来回共用了1.2小时。
华华来回共走了多少千米？
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知识点6、比例法解答行程应用题
例6、甲、乙两车分别从A、B两地出发相向而行，甲车每小时行50千米，乙车的速度是
甲车的4/5。当甲车行至全程的2/5时，乙车距中点还有36千米。甲、乙相距多少千米？
学生自测：
①甲、乙两车分别从A、B两地出发相向而行，当甲车行了全程的1/4时，乙车行了全程的
1/3。当乙车行完全程时，甲车距终点还有20千米。A、B相距多少千米？
②一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比为1:2:3，某人走各
段路所用的时间依次是4:5:6，已知他上坡的速度为每小时3千米，此人走完全程用多长时
间？
③小红骑自行车从甲地到乙地，前一段路是上坡路，后一段路是下坡路。已知小红上坡每小
时行8千米，下坡每小时行22千米，来回一趟共用了3小时。甲、乙两地相距多少千米？
④一辆汽车和一辆摩托车同时从A、B两地相对开出，相遇后两车继续向前行驶。当摩托车
到达A地、汽车到达B地后，两车立即返回，已知第二次相遇点距A地130千米。汽车与
摩托车的速度比是3：2。A、B两地相距多少千米？
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⑤如图，有一只老鼠沿着平行四边形A-B-C的方向逃跑，同时有一只猫也从A点出发沿着
A-D-C的方向抓捕老鼠，在E点将老鼠抓住。已知老鼠的速度是猫的5/8，且CE长9米。
求平行四边形ABCD的周长？
知识点7、比例法解答工程应用题
例7：加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟。现在有1825个零件要加
工，为尽早完成任务，甲、乙、丙各加工多少个零件？所需时间是多少？
学生自测：
师徒两人共加工零件168个，师傅加工1个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，
完成任务时，两人各加工了零件多少个？
②化肥厂原计划生产化肥1400吨，由于改进技术5天就完成了计划的25%，照这样计算，
剩下的任务还需要多少天完成？
③甲、乙、丙三村准备合修一条公路，他们原计划按9:8:3派工，后因为丙村不出工人，将
他承担的任务请甲、乙村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出
35人，完成修路任务。问：甲、乙两村各应分得丙村工资多少元？
例8.师徒两人共同加工一批零件，2天加工了总数的。已知师傅和徒弟的工作效率比是
3:2。如果全由徒弟单独加工，需几天完成？
E
A
B
C
D
●
3
1
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学生自测：
①一批手工，如果甲单独做10天完成。甲4天的工作量乙要2天完成。两人合作2天后，
由乙单独做，乙还需做多少天才能完成？
②一份文件，甲先打2600字，由于时间较紧，乙也加入进来。甲、乙的打字速度比是4:5。
完成时，甲打了文件的。这份文件一共多少个字？
③甲、乙两人做一件工程，在一段时间内甲、乙两人的工作效率比是3：5,。两人共同工作
3天后，乙有事离开，甲又用2天完成任务。如果这件工程，从一开始两人就合作完成，需
要多少天？
④、某项工程，甲、乙两队合作6天完成工程的，已知单独做，甲完成工程的和
乙完成工程的的时间相等。求甲、乙单独做各需要多少天完成？
知识点8、比例法解答图形问题
例9.例2：如图，平行四边形ABCD的周长为54厘米，AEBC，AFCD，AE=8
厘米，AF=10厘米，求平行四边形ABCD的面积。
学生自测：
①如图，在梯形ABCD中，E是AD的中点，直线CE分梯形为甲、乙两部分，它们的面积
8
5
8
7
4
1
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比是11：7，求AB与DC的比。
②如图，四边形被AC、BD分成甲、乙、丙、丁四个三角形。已知AE=15厘米，EC=30
厘米，BE=40厘米，ED=20厘米。问丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积
之和的几倍？