微分的概念

微分的概念

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2023年3月19日发(作者：新月派诗歌)

1

第一章常微分方程

微分方程是数学理论（特别是微积分）联系实际的重要渠道之一。它是研究许多自然科

学、工程技术以及生物技术、农业、经济学等诸多问题的有力工具。因而微分方程具有重要

的应用价值。本章主要介绍常微分方程的一些基本概念，以及求解几种常用的微分方程的一

些最基本的解法。

§1－1微分方程的基本概念

下面我们通过两个具体例题来说明微分方程的基本概念。

例1一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点M(x，y）处的切线的斜率为2x，求这曲

线的方程。

解设所求的曲线方程为y=y(x),则根据导数的几何意义可知，未知函数y=y(x)应满足下

面的关系：

x

dx

dy

2，(1)

且当x=1时,y=2.即y(1)=2(2)

对（1）式的x

dx

dy

2两端积分，得

y=Cxxdx22(3)其中C是任意常数。

将y(1)=2代人，得C=1.代人(3)式，

即得所求曲线方程

12xy（4）

例2一质量为m的质点，从高h处，只受重力作用从静止状态自由下落，试求其运动

方程．

解在中学阶段就已经知道，从高度为h处下落的自由落体，离地面高度s的变化规

律为s=h－

2

1

gt2，其中g为重力加速度．这个规律是怎么得到的呢？下面我们给出推导过程．

取质点下落的铅垂线为s轴，它与地面的交点为原点，并规定正

向朝上．设质点在时刻t的位置在s(t)（如图1-1）．因为质点只受方向向下的重

力的作用(空气阻力忽略不计)，由牛顿第二定律F=ma，得

m

2

2)(

dt

tsd

=－mg．

即

2

2)(

dt

tsd

=－g(5)

s

图1-1

h

O

•

m

•

s(t)

2

根据质点由静止状态自由下降的假设，初始速度为0，所以s=s(t)还应满足下列条件

s|

t=0=h，

dt

ds

|

t=0=0，(6)

对(6)式两边积分，得

dt

tds)(

=－gdt

=－gt+C1，(7)

两边再积分，得

s(t)=dtCgt)(

1

=－

2

1

gt2+C1t+C2，(8)

其中C1，C2均为任意常数．

将条件(7)代入(8)，(9)式，得C1=0，C2=h．于是所求的运动方程为

s(t)=－

2

1

gt2+h．(9)

上述两个例子中的关系式（1）和（5）中，都含有未知函数的导数，自变量也都只有一

个，且方程都附加有一定的条件。

定义凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。

未知函数是一元函数的方程为常微分方程，简称微分方程．

例1的方程(1)、例2的方程(5)都是常微分方程．

微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶．如例1的方程(1)是一阶

微分方程，例2方程(5)是二阶微分方程．

例如：xf

dx

dy

是一阶微分方程，133







xyyy是二阶微分方程，

xyyxyxyxycos23)4(











是四阶微分方程。

一般地，n阶微分方程的形式是0,,,,)(

nyyyxF，（10）

其中F是n+2个变量的函数。这里必须指出，在方程（10）中)(ny是必须出现的，而

)1(,,,,nyyyx等变量则可以不出现。例如n阶微分方程

01ny中除)(ny外其它变量

都没有出现。

二阶及其以上阶的微分方程统称为高阶微分方程。

未知函数及其各阶导数都以一次形式出现的微分方程称为线性微分方程，否则，称为非

线性微分方程。

由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先建立微分方程，然后找出满足微

分方程的函数（解微分方程），即找出这样的函数，把这个函数代入微分方程能使方程成为

3

自变量的恒等式，则称这个函数为微分方程的解．

即设函数xy在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，使得

0,,,,1

xxxxFn，那么函数xy就叫做微分方程

0,,,,)(

nyyyxF在区间I上的解。

例如，例1中cxy2，（c为任意常数），12xy都是微分方程xy2



的解。

如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数，且个数与方程的阶数相同，则称为微分

方程的通解。

例如cxy2是微分方程xy2



的通解．

由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，要完

全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这一常数的值。为此，要根据问题的实际情

况，提出确定这些常数的条件。如在例1中的条件（2）、例2中的条件(6)，就是这样的条

件。

通常，如果微分方程是一阶的，用来确定任意常数的条件是

0

xx时，

0

yy，或写

成

0

0

yy

xx





。

如果微分方程是二阶的，用来确定任意常数的条件是当

0

xx时，

0

yy，

0

yy







或

写成

0

0

yy

xx





，

0

0

yy

xx









，其中

00

,yy



都是给定的值。

上述这种条件叫做初始条件．如在例1、例2中的(2)、(7)，就是微分方程(1)、(5)的

初始条件．

在微分方程的通解中，由初始条件确定任意常数而得到的解称为微分方程特解．

如例1中的

12xy是微分方程xy2



满足初始条件y(1)=2的特解．

求微分方程满足初始条件的特解的问题，称为初值问题．

微分方程解的图像是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。通解的图象是一族曲线，称

为积分曲线族．

特解的图像是积分曲线族中一条特定的积分曲线．

例3验证函数y=C1e2x+C2e－2x(C1，C2为任意常数)是方程y－4y=0的通解，并求满足

初始条件y|

x=0=0，y|

x=0=1的特解．

解y=xxeCeC2

2

2

1

22，y=xxeCeC2

2

2

1

44，

将y，y代入微分方程，得

y－4y=

)(42

2

2

1

xxeCeC－)(42

2

2

1

xxeCeC0

所以函数y=xxeCeC2

2

2

1

是所给微分方程的解．又因为



x

x

x

e

e

e

4

2

2

常数，所以解中含

有两个独立的任意常数C1和

2

C，而微分方程是二阶的，即任意常数的个数与方程的阶数相

同，所以它是该方程的通解．

4

将初始条件y|

x=0=0，y|

x=0=1分别代入y及y中，得

C

1

+C

2

=0;

2C

1

－2C

2

=1

解得C1=

4

1

，C2=－

4

1

．于是所求特解为y=

4

1

)(22xxee．

练习1－1

1.指出下列方程中哪些是微分方程？并说明它们的阶数：

(1)

2

2

dx

yd

－y=2x；(2)y2－3y+x=0；

(3)x(y)2+y=1；(4)(x2+y2)dx－xydy=0．

2.判断下列方程右边所给函数是否为该方程的解？如果是解，是通解还是特解？

(1),2yyx

25xy

(2)y+y=0，y=3sinx-4cosx

(3)y-2y



+y=0y=xex2；

(4)(x+y)dx=－xdy，y=

x

xC

2

)(2

（C为任意常数）．

习题1—1

1.在下列个各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：

（1）

12

cos(2)sin(2)ycxcx40yy



（

1

c，

2

c为任意常数）

（2）22

12

xxycece40yy



（

1

c，

2

c为任意常数）

(3)22xxyyc(2)2xyyxy



(c为任意常数)

2.在下列个各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给定的初始条件：

（1）22xyc，

0

5

x

y





（2）2

12

()xyccxe，

0

0

x

y



，

0

1

x

y







3.写出有下列条件所确定的曲线所满足的微分方程

（1）曲线在点（x,y）处的切线斜率等于该点的坐标之和。

（2）曲线上点P（x,y）处的法线与X轴的焦点Q，且线段PQ被Y轴平分。

4.设钢锭出炉温度为1150°，炉外环境温度为30°，钢锭出炉20S后温度降到900°，试

求钢锭出炉后的温度T（°C）与时间的函数关系。

5.用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比，与温

度成反比。

5

§1－2一阶微分方程

本节我们讨论一阶微分方程yxfy,



（1）

或F(x，y，y)=0的一些解法。

一阶微分方程有时也写出如下的对称形式0,,dyyxQdxyxP（2）

在方程（2）中，变量x,y对称，它既可看作是以x为自变量，y为未知函数的方程



yxQ

yxP

dx

dy

,

,

（这时Q(x,y)≠0），也可看作是以y为自变量，x为未知函数的方程



yxP

yxQ

dy

dx

,

,

（这时P(x,y)≠0）.

一、可分离变量的一阶微分方程

一般地，如果一个一阶微分方程能写成

g(y)dy=f(x)dx,(3)

的形式，即能把微分方程写成一端只含有y的函数和dy,另一端只含有x的函数和dx则称

其为可分离变量的微分方程。

其特点是：方程的两边仅含一个变量，这一形式可以看成是微分形式dxxfdy)(的推广．

其解法是：

对（3）式两边同时求不定积分，即

dxxfdyyg)()(

,

依次记G(y)、F(x)为g(y)、f(x)的一个原函数，于是有

G(y)=F(x)+C．

即为方程(3)的通解．

例1求微分方程

dx

dy

=2xy的通解．

解这是一个可分离变量的方程，分离变量得

y

dy

=2xdx，

两边积分，得xdx

y

dy

2

，

即ln|y|=x2+C1或y=2

11

2x

ccxeee．

因为C1为任意常数，所以1

ce也是任意常数，把它记作C．代入后得

方程的通解y=C2xe．

例2求微分方程y(1+x2)dy+x(1+y2)dx=0满足条件y|

x=1=1的特解．

解这是一个可分离变量的方程，分离变量得

2211x

xdx

y

ydy







，

6

两边积分，得





2211x

xdx

y

ydy

，

即

2

1

ln(1+y2)=－

2

1

ln(1+x2)Cln

2

1

．

故方程的通积分为(1+x2)(1+y2)=C．

将y|

x=1=1代入通解表达式，得C=4．

因此，所求方程的特解为(1+x2)(1+y2)=4．

例3求微分方程xxeyye



1满足初始条件y(0)=0的特解．

解这是一个可分离变量方程

分离变量，得

dx

e

e

ydy

x

x





1

，

两边积分，



dx

e

e

ydy

x

x

1

得

1

21ln

2

1

Ceyx，

即方程通解为Ceyx)1ln(22（其中C=2C

1

）

由初始条件y(0)=0得C=－2ln2．

因此方程满足初始条件的特解为2ln21ln22xey

二、齐次方程

若一阶微分方程可化成

)(

x

y

dx

dy

（4）

的形式，则称此方程为齐次方程．

例如，方程x2dy=y2dx－xydy就是齐次方程

因为，它可化成

xyx

y

dx

dy





2

2

，

等号右边是一个2次齐次式，在分式的分子分母同除以x2，即化方程为形式

x

y

x

y

dx

dy





1

)(2

．

在齐次方程

)(

x

y

dx

dy



中，只要作一个变量代换，就一定能将方程转化为新变量的可分离变量的一阶微分方程，从

而求得通解．其具体步骤如下：

第一步化原方程为形式(4)；

第二步在(4)中作代换u=

x

y

，则可化为

7

y=ux，

dx

dy

=u+x

dx

du

，

代入(4)后得u+x

dx

du

=(u)．这是一个关于u的可分离变量的一阶方程．

分离变量

x

dx

uu

du



)(

．(5)

第三步两边积分得到(5)的通解



x

dx

uu

du

)(

．

第四步求出不定积分后以

x

y

u

回代，即得原齐次微分方程的通解．

例4求微分方程x

xyy

dx

dy

2的通解．

解原方程可化为

dx

dy

=

x

yxy2

．

x

y

x

y

dx

dy

2

，

作变换

x

y

u

，y=ux，

dx

dy

=u+x

dx

du

，代入上式，

得uu

dx

du

xu2，

分离变量，得

x

dx

u

du



2

；

两边积分，得

u

=lnx+C，

x(u－1)=C．

将

x

y

u

回代，得原方程的通解

Cx

x

y

ln

．

例5解方程

解原方程可写成

8

是齐次方程。因此，令，则

，

于是原方程为；即。

分离变量，得

两端积分，得，或写为

以代入上式中的u，便得所给方程的通解为。

三、一阶线性微分方程

如果一阶微分方程可化为

y+P(x)y=Q(x)(6)

的形式，即方程关于未知函数及其导数是线性的，而P(x)和Q(x)是已知连续函数，则称此

方程为一阶线性微分方程．当不含未知函数的项

)(xQ

≡0时，称方程(6)为关于未知函数y，

y的一阶非齐次线性微分方程；反之，当Q(x)0时即变为

y+P(x)y=0(7)

称其为(6)所对应的一阶齐次线性微分方程．

(7)分离变量后得

y

dy

=－P(x)dx，

两边积分，得

lny=－dxxP)(+C，

式中dxxP)(

表示P(x)的一个原函数，于是一阶齐次线性微分方程(1－5)的通解为

y=C

dxxPe)(，(8)

其中C为任意常数．

比较(6)，(7)，差别仅在(6)的等式右端是一个函数，根据函数的求导特点，试设(6)的解

为

y=C(x)

dxxPe)(，(9)

即把齐次方程通解中的任意常数C改变为x的待定函数C(x)，然后求出C(x)使之满足非齐次

线性方程(6)．

9

对(9)求导得y=C(x)

dxxPe)(+C(x))(xP

dxxPe)((10)

将(9)、(10)式代入(6)式，经整理后得

C(x)=Q(x)e

dxxP)(，

积分后得

C(x)=

dxexQdxxP)()(

+C(11)

将(11)式代入(9)式，即得一阶非齐次线性方程(6)的通解公式

y=

dxxPe)([

dxexQdxxP)()(

+C]，(C为任意常数)．(12)

上述通过把对应的齐次线性方程通解中的任意常数C改变为待定函数C(x)，然后求出

非齐次线性方程通解的方法，称为常数变易法．

将(12)式改写成下面的形式：

y=

()()()()PxdxPxdxPxdxCeeQxedx

．

上式右端第一项恰是对应的齐次线性方程(7)的通解；第二项可由非齐次线性方程(6)的

通解(12)中取C=0得到，所以是(6)的一个特解．

由此可知，一阶非齐次线性方程的通解结构是：对应齐次方程的通解与它的一个特解之

和．

例6求方程(1+x2)y－2xy=(1+x2)2的通解．

解原方程可化为2

2

1

1

2

xy

x

x

y







，

所以原方程是线性非齐次的，

P(x)=－

21

2

x

x



，Q(x)=1+x2．

方法1（常数变易法）：

（１）对应齐次方程y－

21

2

x

x



y=0，

分离变量，得

dx

x

x

y

dy

21

2





，

两边积分，得lny=ln(1+x2)+lnC，

所以齐次方程通解为y=C(1+x2)．

（２）设y=C(x)(1+x2)，代入原方程，得

10

C(x)(1+x2)+2xC(x)－

21

2

x

x



C(x)(1+x2)=1+x2，

C(x)(1+x2)=(1+x2)，

C(x)=1，

C(x)=x+C．

由此得到原方程的通解为：y=(x+C)(1+x2)．

方法2(公式法)：

原方程的通解y=

])1([221

2

2

1

2

Cdxexe

dx

x

x

dx

x

x











=

]

)1(

)1(

[

2

2

)1ln(2





Cdx

x

x

ex=(1+x2)(x+C)．

有时方程不是关于未知函数y，y的一阶线性方程，若把x看成y的未知函数x=x(y)，

方程成为关于未知函数x(y)，x(y)一阶线性方程

)()(

11

yQxyP

dy

dx



．

这时也可以利用上述方法求解，得到解的形式是x=x(y，C)．对原来的未知函数y而言，

得到的是由方程x=x(y，C)所确定的隐函数．

例7求微分方程

x

x

y

y



2

的通解。

解：方程是一阶线性微分方程.这里P(x)=

x

2

,Q(x)=x.由通解公式（12）知方程的通解为：

y=e

dx

x

2

(



dxxedx

x

2

+C)=2lnxe(2lnxxedx+C)

=

2

1

x

(

Cdxx3

)=

2

1

x

(

4

4x

+C)=

4

2

2

x

x

C



.

例8求方程

5

2

2

(1)

1

dyy

x

dxx





的通解。

解这是一个非齐次线性方程。先求对应的齐次方程的通解。

2

0

1

dy

y

dxx





，

2

1

dydx

yx





ln2ln(1)lnyxC

用常数变易法。把C换成u，即令

11

2(1)yux

（＊）

那么

2(1)2(1)

dy

uxux

dx





代入所给非齐次方程，得

3

2

2

(1)

3

uxC

再把上式代入（＊），即得所求方程的通解为

3

2

2

2

(1)(1)

3

yxxC









.

例9求方程

2xxyyxe



满足初始条件y（1）=1的特解.

解：在方程两边同时除以x,将方程化为标准形式

1

xyyxe

x





这里P(x)=

x

1



,Q(x)=xxe,由通解公式（10.12）知方程的通解为：

y=e



dx

x

1

(

dx

x

xexe

1

dx+C)=lnxe(

Cdxexexxln

)=x(exC

).

将初始条件y(1)=1代入得：C=

e1

.方程的特解为

(1)xyxee.

例10质量为2kg的物体，在重力和与速度成正比的阻力作用下，从高为500m处自由

下落．设阻力系数k=1．0，求下落距离和下落速度的变化规律，并求物体落地时间及落地

时的速度．

解如图所示，向下为正．设下落距离s=s(t)，则下落速度、加速度为

v(t)=s(t)，a(t)=s(t)．

物体下落过程受力：

重力F

1

=mg=2g(g为重力加速度)；

阻力F

2

=－kv(t)=－s(t)．

据牛顿第二定律F=ma，得s(t)满足的方程：

2s(t)=2g－s(t)．(13)

因为是自由落体，所以s(t)还应满足初始条件

s(0)=0，s(0)=0．(14)

O

s(t)

500

12

改写(13)为

2s(t)+s(t)=2g，即[2s(t)+s(t)]=2g，

所以2s(t)+s(t)=2gt+C

1

．

以初始条件(14)代入，得C1=0，所以s(t)满足方程

2s(t)+s(t)=2gt，即s(t)+0．5s(t)=gt．(15)

(15)是关于s(t)，s(t)的一阶线性非齐次方程，应用公式(12)，得

s(t)=

dtte5.0[

dtgtedt5.0+C]=e－0．5t[gdttet5.0+C]

=e－0．5t[

)(25.05.0dtetegtt+C]=e－0．5t[2g(t－2)e0．5t+C]

=2g(t－2)+Ce－0．5t．

以初始条件s(0)=0代入，得C=4g，所以

s(t)=2g[t－2(1－e－0．5t)]，(16)

v(t)=s(t)=2g(1－e－0．5t)．(17)

以s=500代入(16，17)，取g=9．8，得

500=19．6[t－2(1－e－0．5t)]，

19．6t+39．2e－0．5t－539．2=0，求得近似解t27．51．

v(27．51)=29．8(1－e－0．527．51)19．6(m/s)．

所以物体约在下落后27．5s时落地，落地时的速度约为19．6m/s．

练习1－2

1．判别下列一阶微分方程中，哪些是属于可分离变量、齐次或线性方程类型的：

(1)xdy+y2sinxdx=0；(2)

dt

dy

+3y=xe2；

(3)dy=

2yx

dx



；(4)(x+1)y－3y=ex(1+x)4；

(5)

xyy

dx

dy

x2；(6)(x2+1)y+2xy=cosx．

2．求解下列微分方程：

(1)2yy



；(2)yxedy=dx(3)

x

y

y

dx

dy

xln

(4)

2,

ix

y

x

y

x

y

dx

dy

；(5)xey

dx

dy

．

(6)y

dx

dy

xy262=0

13

习题1—2

1．求解下列微分方程。

⑴xy'-ylny=0⑵10

dy

dx

x+y⑶(x2y+y)dy+(xy2+x)dx=0

⑷(ex+1-ex)dx+(ex+y+ey)dy=0⑸cosxsinydy+sinxcosydy=0⑹21'0xy

2.求解下列微分方程。

⑴(x-y)ydx-x2dy=0⑵(x2+y2)dx-xydy=0

⑶'y=

y

x

+tan

y

x

⑷2x3dy+y(y2-2x2)dx=0

3.求解下列微分方程。

⑴'y+y=2ex⑵x2dy+(2xy-x2)dx=0⑶'y+2xy=4x

⑷3222

dy

xyx

dx

⑸'y+ycosx=e-sinx⑹ylnydx+(x-lny)dy=0

4.求下列微分方程满足所给初始条件的特解。

⑴'y=e2x-yy|x=0=0⑵'ysinx=ylny

2

y

x

ye





⑶20xdyydx

2

1

x

y





⑷'

y

x

y

ye

x



1

0

x

y





⑸2222220xxyydxyxyxdy

1

1

x

y





⑹

sindyyx

dxxx

1

x

y



⑺38

dy

y

dx



0

2

x

y





⑻0yydxxedy

2

3

x

y





5．一曲线通过点（2，3），它在两坐标间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程。

6．设有一质量为m的质点作直线运动，从速度等于0的时刻起，有一个与运动方向一致，

大小与时间成正比（比列系数为K1）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比列系数为

K2）的阻力作用，求质点运动的速度与时间的函数关系。

7．设有一个由电阻R=10，电感L=2H（亨）和电源电压E=20sin5tV(伏)串联组成的电路，

开关K合上后，电路中有电流通过，求电流i与时间t的函数关系。

§1-3可降阶的高阶微分方程

二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。对于有些高阶微分方程，我们可以通过

14

代换将它化为较低阶的方程来求解。本节介绍三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法。

一、)(ny=f(x)型的微分方程

微分方程)(ny=f(x)的特点:方程右边仅含有自变量x的函数．

降阶方法：只要通过逐次积分，就能逐次降阶，直到成为一阶方程．即在两边积分一次，

得n-1阶方程y(n-1)=dxxf)(

+C1；再积分一次，得n-2阶方程y(n-2)=dxdxxf])([

+C1x+C2；

如此继续，便可得到所求方程的通解．

例1求微分方程y=x+1的通解．

解两边积分，得y=dxx)1(

=

2

1

x2+x+C1；

两边积分，得y=dxCxx)

2

1

(

1

2=

6

1

x3+

2

1

x2+C1x+C2；

两边积分，得y=dxCxCxx)

2

1

6

1

(

21

23=

24

1

x4+

6

1

x3+

2

1

C

x2+C2x+C3．

例2求微分方程y



=e2x–cosx的通解.

解对所给方程连续积分三次，得

y



=

1

2

e2x–sinx+C

y



=

1

4

e2x+cosx+Cx+

2

C

y=

1

8

e2x+sinx+

1

C2x+

2

Cx+

3

C，

12

C

C









其中

这就是所求的通解.

二、缺项型二阶微分方程

二阶微分方程的一般形式应该是

y=f(x,y,y)．

所谓缺项型，是指右边等号中或者不显含未知函数项y，成为

y=f(x,y)(1)

或者不显含自变量项x，成为

y=f(y,y)(2)

降阶方法：对缺项型二阶方程，只要引进新变量p=y,都可以降阶为p的一阶方程，只

是演化的过程略有区别．

1、y=f(x,y)型的微分方程

对右端不显含y的(1)，如果我们设py



代入，方程变为

dx

dp

=f(x,p)，这是一个以

15

p为未知函数,自变量仍然是x的一阶方程．若能求出它的通解p=(x,C1)，则只要对

y=(x,C1)再积分一次，即得原方程的通解为y=dxCx),(

1

+C2．

例3求方程y-

x

y



=xex的通解．

解作变换)(xpy



，,则y=

dx

dp

．

原方程可化为xxep

xdx

dp



1

．

方程的通解为p=

)(*

1

1

)

1

(Cdxexeedx

x

x

dx

x





=elnx(1

1

lnCdxexex

x)

=x

xCxeCdxexx

11

)(

，

即

dx

dy

=x(ex+

1

C

)．

所以原方程的通解为

y=

dxxCxex)(

1

+C

2

=ex(x-1)+C

1

x2+C

2

,(其中C

1

=

2

1

C

)．

例4求微分方程212xyxy



满足初始条件

0

1,

x

y





0

3

x

y





的特解.

解所给方程是(,)yfxy



型的。设y



=p，代入方程并分离变量后，有

2

2

1

dpx

dx

px





.

两端积分，得

2

1

ln||ln(1)pxC

即由条件

0

3

x

y





，得

1

C=3,

所以23(1)yx



.

两端再积分，得3

2

3yxxC.

又由条件

0

1,

x

y



得

2

1C，

于是所求特解为

133xxy

2、y=f(y,y)型的微分方程

16

对不显含x的(2)，因为等号右边f中不显含x而有y，如果也直接以y=

dx

dp

代入，则

方程成为

dx

dp

=f(y,p)，同时出现了两个未知函数p,y了．令()ypy



，则

y

dx

dp



dx

dy

dy

dp



dy

dp

p

，(3)

这样方程就变为

p



dy

dp

f(y,p)

这是一个以p为未知函数,y为自变量的一阶方程．若能求出它的通解p=

dx

dy

=(y,C1)，则

回复到一个以y为未知函数,x为自变量的可分离变量的一阶方程．继续求出其通解，即得

(2)的通解了．

例5求微分方程2()0yyy



的通解.

解方程不明显的含自变量x,设

()ypy



,则

dp

yp

dy





,

代入方程，得

20

dp

ypp

dy



在

0y

、

0p

时，约去p并分离变量，得

dpdy

py



.

两端积分得

ln|p|=ln|y|+C,

即1

pCy

，

或1

yCy





，

再分离变量并两端积分，便得方程的通解为

ln|y|=12

CxC





,

或1

2

CxyCe2

2

CCe

.

17

例6求方程y=2yy满足初始条件y|

x=0

=1,y|

x=0

=2的特解．

解作变换)(ypy



,则y=p

dy

dp

原方程可化为



dy

dp

2y．

分离变量，得dp=2ydy，

两边积分，得p=y2+C1，

即

1

2Cyy



以初始条件y|

x=0

=1,y|

x=0

=2代入上式，得C1=1，所以

y=y2+1，

即

dx

dy

=y2+1．

分离变量，得

21

dy

dx

y





两边积分，得arctany=x+C2，

以初始条件y|

x=0

=1代入，得C

2

=

4



．

故所求特解为arctany=x+

4



，

即y=tan(x+

4



)．

例7求微分方程y-3（y）2=0满足初始条件y(0)=0,y(0)=-1的特解．

解法1令)(xpy



,则y=p，代入原方程，方程降阶为

p-3p2=0，即

2p

dp

=3dx．

两边积分得

1

3

1

Cx

p

．由y(0)=p(0)=-1得C1=1．代入后得一阶方程

13

1







x

y，即

13



x

dx

dy．

再次两边积分得

3

1

yln(3x+1)+C2．又由y(0)=0，得C2=0，所以原方程的特解为

3

1

yln(3x+1)．

解法2设方程为(,)yfyy



型

18

令y



=p(y)，

dpdp

y

dxdy





dydp

p

dxdy

代入原方程，得

230

dp

pp

dy

在0p时，约去p并分离变量，得

1

3dpdy

p

两边积分得ln||3pyC

即3

11

()yCpCeCe

再分离并两端积分3

1

yedyCdx

3

12

1

3

yeCxC

即

12

3ln(33)yCxC

由于(0)1y



,y（0）=0,得

2

1

3

C,

1

1C.

所以原方程的特解为：

1

ln(31)

3

yx

例8已知曲率处处为常数

R

1

的曲线，过点O(0,0)且在O点有水平切线，求此曲线．

解其实所求曲线必定是图1-2所示的两个半径为R圆，本例不过是一个验证．

设所求曲线的方程为y=y(x)，这样所求曲线必定是图中上面

一个圆的下半圆或下面一个圆的上半圆．

据曲率公式得到未知函数y应满足的微分方程及初始条件：

3

2

2

||

(1())

y

y







=

R

1

，(4)

y|

x=0

=y|

x=0=0．(5)

设y0，则由(4)得

y=

R

13

2

2(1())y



．(6)

作变换

)(xpy



,则y=

dx

dp

，

代入(6)，得

dx

dp

=

R

1

2

3)1(2p，分离变量得

32)1(p

dp



=

R

1

dx．

图1-2

O

x

y

R

-R

19

两边积分，应用MathCAD软件或查简易积分表(公式33)，解得

21p

p



=

R

x

+C1．

以初始条件(5)代入得C

1

=0，所以

21p

p



=

R

x

，即p2=

22

2

xR

x



或p=

dx

dy

=

22xR

x





．

分离变量并积分，得y=22xR

+C2；

据初始条件(5)得C

2

=R，

所以y=22xR

R或x2+(yR)2=R2，(7)

所以所求曲线是方程x2+(y-R)2=R2（Ry）的下半圆．或者是方程x2+(y+R)2=R2，

（Ry）的下半圆

如设0



y，则由（4）得到的是2

3

2)1(

1

y

R

y







，与上面解法类似

练习1-3

1.求解下列微分方程：

(1)y=2x+sinx；(2)xy=y；(3)yy+2(y)2=0．

2.求下列微分方程满足所给条件的特解：

(1)01,10,312











yyyxyx(2)01,11,013







yyyy

习题1—3

1.求下列微分方程的解

（1）xyxe



（2）

2

1

1

y

x







（3）21()yy



（4）yyx





（5）0xyy



（6）310yy





2.求下列微分方程满足所给条件的特解：

（1）2()0yay



，

0

0

x

y



，

0

1

x

y







（2）2yye



，

10

0

xx

yy







（3）2()1yy



，

0

0

x

y



，

0

0

x

y







§1－4二阶线性微分方程

本节我们将讨论二阶线性微分方程及其解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程和二阶

20

常系数非齐次线性微分方程的解法等有关问题。

一、二阶线性微分方程及其解的结构

例设有一个电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路，其中R、L及C为常数

，电源电动势是时间t的函数：

sin

m

EEt

，这里m

E

及



也是常数（图1-3）

设电路中的电流为i（t），电容器极板上的电量为q（t），两极板间的电压为C

u

，自感电动

势为L

E

，由电学知道图1-3

dq

i

dt



,

C

q

u

C



,

L

di

EL

dt



,

根据回路电压定律，得

0

diq

ELRi

dtC



，

即

2

2

sinCC

Cm

dudu

LCRCuEt

dtdt



，

或写成

2

2

0

2

2sinCCm

C

duduE

ut

dtdtLC



，(1)

式中

2

R

L



，

0

1

LC



.这就是串联电路的振荡方程.

如果电容器经充电后撤去外电源（E=0），则方程（1）成为

2

2

0

2

20CC

C

dudu

u

dtdt



.（2）

观察一下所得出的方程（1）可以归结为如下形式

2

2

dydy

PxQxyfx

dxdx



，（3）

而方程（2）是方程（3）的特殊情形：

0fx

.

方程（3）叫做二阶线性微分方程。当方程右端

0fx

时，方程叫做齐次的；当

21

0fx

时，方程叫做非齐次的。

于是方程（1）是二阶非齐次线性微分方程；方程（2）是二阶齐次线性微分方程。

形如)()()(xfyxQyxPy







，(3)

的二阶微分方程称为二阶线性微分方程。

其中

)(xP

、

)(xQ

及

)(xf

是自变量x的已知函数，函数

)(xf

称为方程(3)的自由项.当

0)(xf时,方程(3)成为

0)()(







yxQyxPy，(4)

这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，当0)(xf时,方程(3)称为二阶非齐次线

性微分方程.

定理1如果函数)(

1

xy与)(

2

xy是方程(4)的两个解,则

)()(

2211

xyCxyCy

也是方程(4)的解，其中

21

,CC是任意常数.

由定理1可知，如果)(

1

xy,)(

2

xy是齐次方程(4)的解，则它们的“线性叠加”：

)()(

2211

xyCxyCxy也是该方程的解，其中

21

,CC是任意常数。那么它是不是（4）

的通解呢？显然，如果)(

1

xy和)(

2

xy之比





k

xy

xy



2

1（k为常数），则

xyCkCxyCxyCxy

2212211

)()(它实际只含一个任意常数，因而不是方程(4)

的通解。只有当)(

1

xy和)(

2

xy之比不为常数时)()(

2211

xyCxyCxy中的两个任意常

数

21

,CC不能合并成一个任意常数，从而y(x)是齐次方程（4）的通解。

我们把满足条件





k

xy

xy



2

1（常数）的函数)(

1

xy,)(

2

xy称为是线性相关的，如果



xy

xy

2

1

不是常数时，称它们是线性无关的。

定理2如果)(

1

xy与)(

2

xy是方程(4)的两个线性无关的特解，则

)()(

2211

xyCxyCy

就是方程(4)的通解，其中

21

,CC是任意常数.

例如，方程02







yyy是二阶齐次线性微分方程，容易验证xxxeyey

21

,是所

给方程的两个解，且x

e

xe

y

y

x

x

1

2常数，即它们是线性无关的，因此方程02







yyy

的通解为xxxeCeCy

21



下面讨论二阶线性非齐次微分方程（3）的解的结构。

定理3设y是方程(3)的一个特解，而Y是其对应的齐次方程(4)的通解，则

yYy

就是二阶非齐次线性微分方程(3)的通解.

22

例如，方程12







xyyy是二阶非齐次线性微分方程，已知xxxeCeCy

21

是

对应的齐次方程02







yyy的通解，又容易验证1*xy是所给方程的一个特解，

因此，1

21

xxeCeCyxx是所给方程的通解。

根据上述定理，求解二阶线性非齐次微分方程归结为：求其一个特解y及求相应的齐

次方程的两个线性无关的解

21

,yy。一般情况下求y和

21

,yy是相当困难的，然而当

)(xP

、

)(xQ

均恒为常数时，可借助于初等代数方法求解。

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法

二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为

y+py+qy=0．(5)

若y

1

，y

2

是(5)的两个解：且

2

1

y

y

常数，则(5)的通解为

y=C

1

y

1

+C

2

y

2

，(C

1

，C

2

为任意常数)(6)

因为函数y=erx的各阶导数与函数本身差别仅是常数因子，据方程常系数的特点，可设

想(5)以y=erx形式的函数为其解．事实上，将y=erx代入(5)，得

erx(r2+pr+q)=0．

这表明，只要r是代数方程

r2+pr+q=0(7)

的根，那么函数y=erx确实是(5)的解．称(7)为特征方程，并称特征方程的根为特征根．上

述讨论表明，只要r1是特征根，y=xre1必定是(5)的一个解．

（1）两个相异实特征根

设(7)有两个相异实根r

1

，r

2

，则y

1

=xre1，y2=xre2是齐次方程(5)的解，据(6)，即可知

通解为

y=C

1

xre1+C

2

xre2，(C1，C2为任意常数)(8)

（2）两个共轭复特征根r

1

=+i，r

2

=－i

y

1

=xre1，y

2

=xre2仍然是(5)的解．据复数的指数形式(欧拉公式)

y

1

=xre1=e(+

i)x=e

x(cosx+isinx)，y

2

=xre2=e(－

i)x=e

x(cosx－isinx)；

由方程线性性质可知

y*=

212

1

yy=e

xcosx，y**=

212

1

yy

i

=e

xsinx是(5)的解，

且





x

y

y

cot常数．

因此通解为

y=C

1

e

xcosx+C

2

e

xsinx或y=e

x(C

1

cosx+C

2

sinx)(C1，C2为任意常数)(9)

（3）两个相等实特征根r

1

=r

2

23

这时只得到微分方程(5)的一个解y

1

=xre1．

为了得出微分方程(5)的通解，还需求出另一个解y2，并且要求

1

2

y

y

不是常数。

设xu

y

y



1

2，即)(1

2

xueyxr，下面来求u(x).

将y2求导，得)(

12

1urueyxr







，)2(2

12

1ururueyxr











，代人微分方程(5)，得

02

1

2

11

1











quurupururuexr。约去xre1，并以uuu,,



为准并合并同类项，

得02

1

2

11









uqprrupru

由于r

1

是特征方程(7)的二重根，因此qprr

1

2

1

=0，且pr

1

2=0，于是得0



u

因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨取u=x，

由此得到微分方程(5)的另一个解y

2

=xrxe1

这样可知(5)的通解为

y=C

1

xre1+C2xxre1或y=(C1+C2x)xre1(10)

综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程(5)通解的步骤如下：

第一步写出微分方程所对应的特征方程r2+pr+q=0；

第二步求出特征方程的两个根r1，r2；

第三步根据特征根的不同情况，按下表写出(8－13)的通解：

特征根的情况方程y+py+qy=0的通解形式

两个不等实根r1r2y=C1

xre1+C2

xre2

两个相等实根r1=r2y=(C1+C2x)xre1

一对共轭复根r1，2=i，(>0)

y=e

x(C

1

cosx+C

2

sinx)

例1求微分方程y－2y－3y=0的通解．

解特征方程为r2－2r－3=0，

特征根为r1=－1，r2=3．

微分方程的通解为y=xxeCeC3

21

．

例2求微分方程

044

2

2

s

dt

ds

dt

sd

满足初始条件s|

t=0=1，

0

|

tdt

ds

=2的特解．

解特征方程为4r2－4r+1=0，

特征根为r1=r2=

2

1

．

微分方程的通解为s=(C

1

+C

2

t)2

te

．

将上式对t求导，得

dt

ds

=

2

1

(C

1

+C

2

t)2

te

+C2

2

te

．

24

将初始条件分别代入上面两式，得C

1

=1，C

2

=

2

3

．

微分方程的特解为s=(1+

2

3

t)2

te

．

例3求微分方程y+2y+3y=0的通解．

解特征方程为r2+2r+3=0，

特征根为r1，2=－1

2

i，

方程的通解为y=e－x(C

1

cos

2

x+C

2

sin

2

x)．

三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

形如y+py+qy=f(x)（11）

的方程，其中p,q是常数，称为二阶常系数线性非齐次微分方程。

由定理3知，求二阶常系数线性非齐次微分方程的通解，归结为求对应齐次方程

y+py+qy=0的通解和（11）本身的一个特解。由于二阶常系数线性齐次微分方程通解的求

法在上一段已详细讨论了，所以在这里只需要讨论求二阶常系数线性非齐次微分方程的一个

特解y的求法，这种方法的特点是，不用积分就可求出y来，它叫做待定系数法。

(1)f(x)=P

m

(x)xe情况．

我们知道，方程（11）的特解y是使（11）成为恒等式的函数。怎样的函数能使（11）

成为恒等式呢？因为（11）

（11）的特

解。把*y、*()y



及*()y



代入方程（11），

（11）

为此，将

代人方程（11）并消去xe，得

（12）

25

（i）如果不是（5）

（12）的两端恒等，Q(x)应与P

m

(x)同次多

项式。设

()Qx

代人（12）式，

（12）

（12）

（11）具有形式y*(x)=xkQ

m

(x)eλx(13)

的特解，其中Q

m

(x)是与P

m

(x)同次(m次)的多项式，而k的取法如下：

0,当λ不等于特征根；

k=1,当λ等于两个相异特征根之一；

2,当λ等于重特征根．

例4求微分方程

2331yyyx





的一个特解。

解这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数f（x）是

()x

m

Pxe

型（其中

()

m

Px

=3x+1，

0

）。

与所给方程对应的齐次方程为

26

230yyy





，

它的特征方程为

2230rr

.

由于这里

0

不是特征方程的跟，所以应设特解为

*

01

ybxb

把它代入所给方程，得

001

32331bxbbx

，

比较两端x同次幂系数，得

0

01

33

231

b

bb











由此求得0

1b

，

1

1

3

b

。于是求得一个特解为

*

1

3

yx

例5求微分方程

256xyyyxe





的通解。

解所给方程也是二阶常系数非齐次线性微分方程，且f（x）呈

()x

m

Pxe

型（其中

()

m

Pxx

，

2

），与所给方程对应的齐次方程为

560yyy





它的特征方程

2560rr

有两个实根1

2r

，2

3r

.于是与所给方程对应的齐次方程的通解为

23

12

xxYCeCe

由于

2

是特征方程的单根，所以应设

*y

为

*2

01

()xyxbxbe

把它代入所给方程，得

001

22bxbbx

比较等式两端同次幂的系数，得

0

01

21

20

b

bb











27

解得

0

1

2

b

，1

1b

.因此求得一个特解为

*2

1

(1)

2

xyxxe

.

从而所求的通解为

2322

12

1

(2)

2

xxxyCeCexxe

.

(2)f(x)=eλx(acosx+bsinx)的情况．

与(11)类似讨论，特解y*(x)必定具有形式

y*(x)=xkeλx(Acosx+Bsinx)(14)

其中A,B为待定系数，k的取法如下：

0,若λi不是特征根；

1,若λi是特征根．

以(14)代入非齐次方程，比较等式两端cosβx,sinβx前的系数，定出系数A,B．

例6求微积分方程3sinyyx



的一个特解。

解：特征方程210有一对共轭复根i。

而自由项03sin0cos3sinxfxxexx

即

1

0,1,因为0ii是特征根，所以应设特解

cossinyxAxBx

式中A,B表示两个特定的零次多项式，即待定常数。将y带入原方程，得

-2Asinx+2Bcosx=3sinx.

比较sinx及cosx各自的系数。可得

23

20

A

B











,由此解得

3

2

0

A

B















.

从而特解为

3

cos.

2

yxx

综上所述，求解二阶常系数非齐次线性微分方程（11）的步骤如下：

k=

28

第1步用特征根法求出相应的齐次方程的通解Y;

第2步用待定系数法求出方程（11）的一个特解y*,写出通解

*yyy

~

;

第3步如果还给出初始条件oo

yxy)(

,00

)(yxy







,则由此条件确定常数1

C

,2

C

从而求

得满足初始条件的特解.

练习1－4

1．选择题

(1)微分方程032







yyy的通解为（）

y2

21

;B.2

21

x

xeCeCy





;

C.2

21

x

xeCeCy





;y2

21

;

(2)微分方程xeyyy







62是（）

A.齐次的；B.非齐次的；C.变系数的；D.二阶的；

(3)微分方程0



yy的通解是（）

;;

ssin;ossin

2.填空题

（1）微分方程14136







yyy的通解为______.

（2）微分方程1232







xyyy的通解为______

3．求下列微分方程的通解：

(1)y－3y－10y=0；(2)y+5y=0．

4．求微分方程y+2y+2y=0满足初始条件y(0)=－2，y(0)=4的特解．

5．写出下列方程特解的形式：

(1)y+3y+2y=xxe，y*(x)=；

(2)y－2y+y=xe，y*(x)=；

(3)y+2y+2y=e–xsinx，y*(x)=．

6．求方程y－2y－3y=3x+1的一个特解．

7．求方程y+4y=sin2x的一个特解．

习题1-4

1.求下列微分方程的通解：

29

（4）

2.求下列微分方程满足初始条件的特解：

（3）

（4）

3.求下列微分方程的通解：

（2）

（3）

（4）

4.求下列微分方程满足已给初始条件的特解：

5.求满足方程y+4y+4y=0的曲线y=y(x)，使该曲线在点P(2,4)处与

直线y=x+2相切．

6、

30