考研概率论
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2023年3月16日发(作者：踏着铁人脚步走)【导航考研数学】：考研数学概率论公式集锦
n
i
i
n
i
i
AA
11
n
i
i
n
i
i
AA
11
2．概率的定义及其计算
)(1)(APAP
若BA)()()(APBPABP
对任意两个事件A,B,有
)()()(ABPBPABP
加法公式：对任意两个事件A,B,有
)()()()(ABPBPAPBAP
)()()(BPAPBAP
)()1()()()()(
21
1
111
1
n
n
n
nkji
kji
nji
ji
n
i
i
n
i
i
AAAPAAAPAAPAPAP
3．条件概率
ABP
)(
)(
AP
ABP
乘法公式
)0)(()()(APABPAPABP
)0)((
)()(
121
12112121
n
nnn
AAAP
AAAAPAAPAPAAAP
全概率公式
n
i
i
ABPAP
1
)()()()(
1
i
n
i
i
BAPBP
Bayes公式
)(ABP
k)(
)(
AP
ABP
k
n
i
ii
kk
BAPBP
BAPBP
1
)()(
)()(
4．随机变量及其分布
分布函数计算
)()(
)()()(
aFbF
aXPbXPbXaP
5．离散型随机变量
(1)0–1分布
1,0,)1()(1kppkXPkk
(3)Poisson分布
)(P
,2,1,0,
!
)(k
k
ekXP
k
6．连续型随机变量
(1)均匀分布
),(baU
其他,0
,
1
)(
bxa
ab
xf
1
,
,0
)(
ab
ax
xF
(2)指数分布)(E
其他,0
0,
)(
xe
xf
x
0,1
0,0
)(
xe
x
xF
x
(3)正态分布N(,2)
xexf
x
2
2
2
)(
2
1
)(
x
t
texFd
2
1
)(2
2
2
)(
*N(0,1)—标准正态分布
xex
x
2
2
2
1
)(
xtexx
t
d
2
1
)(2
2
7.多维随机变量及其分布
二维随机变量(X,Y)的分布函数
x
X
dvduvufxF),()(
dvvxfxf
X
),()(
y
Y
dudvvufyF),()(
duyufyf
Y
),()(
8.连续型二维随机变量
(1)区域G上的均匀分布，U(G)
其他,0
),(,
1
),(
Gyx
A
yxf
(2)二维正态分布
yx
eyxf
yyxx
,
12
1
),(2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
)())((
2
)(
)1(2
1
2
21
9.二维随机变量的条件分布
0)()()(),(xfxyfxfyxf
X
XY
X
0)()()(yfyxfyf
Y
YX
Y
dyyfyxfdyyxfxf
Y
YX
X
)()(),()(
dxxfxyfdxyxfyf
X
XY
Y
)()(),()(
)(yxf
YX)(
),(
yf
yxf
Y
)(
)()(
yf
xfxyf
Y
X
XY
)(xyf
XY)(
),(
xf
yxf
X
)(
)()(
xf
yfyxf
X
Y
YX
10.随机变量的数字特征
数学期望
1
)(
k
kk
pxXE
dxxxfXE)()(
随机变量函数的数学期望
X的k阶原点矩
)(kXE
X的k阶绝对原点矩
)|(|kXE
X的k阶中心矩
)))(((kXEXE
X的方差
)()))(((2XDXEXE
X,Y的k+l阶混合原点矩
)(lkYXE
X,Y的k+l阶混合中心矩
lkYEYXEXE))(())((
X,Y的二阶混合原点矩
)(XYE
X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差
))())(((YEYXEXE
X,Y的相关系数
XYYDXD
YEYXEX
E
)()(
))())(((
X的方差
D(X)=E((X-E(X))2)
)()()(22XEXEXD
协方差
))())(((),cov(YEYXEXEYX
)()()(YEXEXYE
)()()(
2
1
YDXDYXD
相关系数
)()(
),cov(
YDXD
YX
XY
简单整理了一下，中心极限定理及数理统计部分多概念少公式故未详细列出
【导航考研数学】：线性代数必须熟记的结论总结
1、行列式
1.n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；
2.代数余子式的性质：
①、
ij
A和
ij
a的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；
3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijij
ijijijij
MAAM
4.设n行列式D：
将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为
1
D，则(1)
2
1
(1)
nn
DD
；
将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为
2
D，则(1)
2
2
(1)
nn
DD
；
将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为
3
D，则
3
DD；
将D主副角线翻转后，所得行列式为
4
D，则
4
DD；
5.行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积
(1)
2(1)
nn
；
③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；
④、◤和◢：副对角元素的乘积
(1)
2(1)
nn
；
⑤、拉普拉斯展开式：
AOAC
AB
CBOB
、(1)mn
CAOA
AB
BOBC
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值；
6.对于n阶行列式A，恒有：
1
(1)
n
nknk
k
k
EAS
，其中
k
S为k阶主子式；
7.证明0A的方法：
①、AA；
②、反证法；
③、构造齐次方程组
0Ax
，证明其有非零解；
④、利用秩，证明()rAn；
⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
1.A是n阶可逆矩阵：
0A（是非奇异矩阵）；
()rAn（是满秩矩阵）
A的行（列）向量组线性无关；
齐次方程组0Ax有非零解；
nbR，Axb总有唯一解；
A与E等价；
A可表示成若干个初等矩阵的乘积；
A的特征值全不为0；
TAA是正定矩阵；
A的行（列）向量组是nR的一组基；
A是nR中某两组基的过渡矩阵；
2.对于n阶矩阵A：**AAAAAE无条件恒成立；
3.1**111**()()()()()()TTTTAAAAAA
***111()()()TTTABBAABBAABBA
4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：
若
1
2
s
A
A
A
A
，则：
Ⅰ、
12s
AAAA；
Ⅱ、
1
1
1
1
2
1
s
A
A
A
A
；
②、
1
1
1
AO
AO
OB
OB
；（主对角分块）
③、
1
1
1
OA
OB
BO
AO
；（副对角分块）
④、
1
111
1
AC
AACB
OB
OB
；（拉普拉斯）
⑤、
1
1
111
AO
AO
CB
BCAB
；（拉普拉斯）
3、矩阵的初等变换与线性方程组
1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r
mn
EO
F
OO
；
等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简
单的矩阵；
对于同型矩阵A、B，若()()rArBAB；
2.行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
①、若(,)(,)
r
AEEX，则A可逆，且1XA；
②、对矩阵(,)AB做初等行变化，当A变为E时，B就变成1AB，即：1(,)(,)
c
ABEAB；
③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程
Axb
，如果(,)(,)
r
AbEx，则A可逆，且
1xAb；
4.初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列
矩阵；
②、
1
2
n
，左乘矩阵A，
i
乘A的各行元素；右乘，
i
乘A的各列元素；
③、对调两行或两列，符号(,)Eij，且1(,)(,)EijEij，例如：
111
11
11
；
④、倍乘某行或某列，符号(())Eik，且1
1
(())(())EikEi
k
，例如：
11
1
1
(0)
1
1
kk
k
；
⑤、倍加某行或某列，符号(())Eijk,且1(())(())EijkEijk，如：
111
11(0)
11
kk
k
；
5.矩阵秩的基本性质：
①、0()min(,)
mn
rAmn
；
②、()()TrArA；
③、若AB，则()()rArB；
④、若P、Q可逆，则()()()()rArPArAQrPAQ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）
⑤、max((),())(,)()()rArBrABrArB；（※）
⑥、()()()rABrArB；（※）
⑦、()min((),())rABrArB；（※）
⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且
0AB
，则：（※）
Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组0AX解（转置运算后的结论）；
Ⅱ、()()rArBn
⑨、若A、B均为n阶方阵，则()()()rABrArBn；
6.三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结
合律；
②、型如
1
01
001
ac
b
的矩阵：利用二项展开式；
二项展开式：0111111
0
()
n
nnnmnmmnnnnmmnm
nnnnnn
m
abCaCabCabCabCbCab
；
注：Ⅰ、()nab展开后有1n项；
Ⅱ、0
(1)(1)!
1
123!()!
mn
nnn
nnnmn
CCC
mmnm
Ⅲ、组合的性质：11
11
0
2
n
mnmmmmrnrr
nnnnnnnn
r
CCCCCCrCnC；
③、利用特征值和相似对角化：
7.伴随矩阵：
①、伴随矩阵的秩：*
()
()1()1
0()1
nrAn
rArAn
rAn
；
②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)
AA
AXXAAAAXX
；
③、*1AAA、1
*
nAA
8.关于A矩阵秩的描述：
①、()rAn，A中有n阶子式不为0，
1n
阶子式全部为0；（两句话）
②、()rAn，A中有n阶子式全部为0；
③、()rAn，A中有n阶子式不为0；
9.线性方程组：
Axb
，其中A为mn矩阵，则：
①、m与方程的个数相同，即方程组
Axb
有m个方程；
②、n与方程组得未知数个数相同，方程组
Axb
为n元方程；
10.线性方程组Axb的求解：
①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解；
③、特解：自由变量赋初值后求得；
11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：
①、
11112211
21122222
1122
nn
nn
mmnmnn
axaxaxb
axaxaxb
axaxaxb
；
②、
1112111
2122222
12
n
n
mmmnmm
aaaxb
aaaxb
Axb
aaaxb
（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未
知数）
③、
1
2
12n
n
x
x
aaa
x
（全部按列分块，其中
1
2
n
b
b
b
）；
④、
1122nn
axaxax（线性表出）
⑤、有解的充要条件：()(,)rArAn（n为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
1.m个n维列向量所组成的向量组A：
12
,,,
m
构成nm矩阵
12
(,,,)
m
A；
m个n维行向量所组成的向量组B：
12
,,,TTT
m
构成mn矩阵
1
2
T
T
T
m
B
；
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2.①、向量组的线性相关、无关0Ax有、无非零解；（齐次线性方程组）
②、向量的线性表出
Axb
是否有解；（线性方程组）
③、向量组的相互线性表示
AXB
是否有解；（矩阵方程）
3.矩阵
mn
A
与
ln
B
行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组
0Ax
和
0Bx
同解；(
101
P例
14)
4.()()TrAArA；(
101
P例15)
5.n维向量线性相关的几何意义：
①、线性相关0
；
②、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）；
③、,,
线性相关,,
共面；
6.线性相关与无关的两套定理：
若
12
,,,
s
线性相关，则
121
,,,,
ss
必线性相关；
若
12
,,,
s
线性无关，则
121
,,,
s
必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）
若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：
若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数
加加减减）
简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs(二版
74
P定理7)；
向量组A能由向量组B线性表示，则()()rArB；（
86
P定理3）
向量组A能由向量组B线性表示
AXB有解；
()(,)rArAB（
85
P定理2）
向量组A能由向量组B等价()()(,)rArBrAB（
85
P定理2推论）
8.方阵A可逆存在有限个初等矩阵
12
,,,
l
PPP，使
12l
APPP；
①、矩阵行等价：~
r
ABPAB（左乘，P可逆）
0Ax
与
0Bx
同解
②、矩阵列等价：
~
c
ABAQB（右乘，Q可逆）；
③、矩阵等价：~ABPAQB（P、Q可逆）；
9.对于矩阵
mn
A
与
ln
B
：
①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；
②、若A与B行等价，则
0Ax
与
0Bx
同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同
的线性相关性；
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；
④、矩阵A的行秩等于列秩；
10.若
mssnmn
ABC
，则：
①、
C
的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；
②、
C
的行向量组能由B的行向量组线性表示，TA为系数矩阵；（转置）
11.齐次方程组0Bx的解一定是0ABx的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；
①、
0ABx
只有零解
0Bx
只有零解；
②、
0Bx
有非零解
0ABx
一定存在非零解；
12.设向量组
12
:,,,
nrr
Bbbb
可由向量组
12
:,,,
nss
Aaaa
线性表示为：（
110
P题19结论）
1212
(,,,)(,,,)
rs
bbbaaaK（BAK）
其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关()rKr；（B与K的列向量组具有相同
线性相关性）
（必要性：()()(),(),()rrBrAKrKrKrrKr；充分性：反证法）
注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；
13.①、对矩阵
mn
A
，存在
nm
Q
，
m
AQE()rAm、Q的列向量线性无关；（
87
P）
②、对矩阵
mn
A
，存在
nm
P
，
n
PAE()rAn、P的行向量线性无关；
14.
12
,,,
s
线性相关
存在一组不全为0的数
12
,,,
s
kkk，使得
1122
0
ss
kkk成立；（定义）
1
2
12
(,,,)0
s
s
x
x
x
有非零解，即
0Ax
有非零解；
12
(,,,)
s
rs，系数矩阵的秩小于未知数的个数；
15.设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组0Ax的解集S的秩为：()rSnr；
16.若*为Axb的一个解，
12
,,,
nr
为
0Ax
的一个基础解系，则*
12
,,,,
nr
线性无关；
（
111
P题33结论）
5、相似矩阵和二次型
1.正交矩阵TAAE或1TAA（定义），性质：
①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即
1
(,1,2,)
0
T
ij
ij
aaijn
ij
；
②、若A为正交矩阵，则1TAA也为正交阵，且1A；
③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；
注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；
2.施密特正交化：
12
(,,,)
r
aaa
11
ba；
12
221
11
[,]
[,]
ba
bab
bb
121
121
112211
[,][,][,]
[,][,][,]
rrrr
rrr
rr
bababa
babbb
bbbbbb
;
3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；
4.①、A与B等价A经过初等变换得到B；
PAQB，P、Q可逆；
()()rArB，A、B同型；
②、A与B合同TCACB，其中可逆；
TxAx与TxBx有相同的正、负惯性指数；
③、A与B相似1PAPB；
5.相似一定合同、合同未必相似；
若
C
为正交矩阵，则TCACB
AB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；
6.A为对称阵，则A为二次型矩阵；
7.n元二次型TxAx为正定：
A的正惯性指数为n；
A与E合同，即存在可逆矩阵C，使TCACE；
A的所有特征值均为正数；
A的各阶顺序主子式均大于0；
0,0
ii
aA；(必要条件)