概率论公式

概率论公式

-

2023年2月26日发(作者：联通cbss系统)

概率论与数理统计公

式(考试版专用)

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第1章随机事件及其概率

m!

从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

(mn)!

m!

n从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

C

m



n!(mn)!

加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种

（2）加

方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。

法和乘法

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

原理

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个

步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。

重复排列和非重复排列（有序）

（3）一

些常见排

对立事件（至少有一个）

顺序问题

列

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果

（4）随

不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则

机试验和

称这种试验为随机试验。

随机事件

试验的可能结果称为随机事件。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事

件，它具有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用



来表示。

（5）基

本事件、

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。

样本空间

一个事件就是由中的部分点（基本事件



）组成的集合。通常用

大写字母

A，B，C，

…表示事件，它们是的子集。

和事件

为必然事件，Ø为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能

事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不

一定是必然事件。

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件

B

的组成部分，（

A

发生必有事

件

B

发生）：AB

如果同时有AB，BA，则称事件

A

与事件

B

等价，或称

A

（6）事

等于

B

：

A=B

。

件的关系

A、B

中至少有一个发生的事件：

A



B

，或者

A

+

B

。

与运算

属于

A

而不属于

B

的部分所构成的事件，称为

A与B

的差，记为

（1）排

列组合公

式

nP

m



A-B

，也可表示为

A-AB

或者AB，它表示

A

发生而

B

不发生的事

件。

A、B

同时发生：

A



B

，或者

AB

。A



B=Ø，则表示A与B不可能

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同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互

不相容的。

-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示

A不发生的事件。互斥未必对立。

②运算：

结合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

i1

德摩根率：

i1

ABAB

，

ABAB

设



为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数

P(A)，若满足下列三个条件：

1°0≤P(A)≤1，

2°P(Ω)=1

3°对于两两互不相容的事件A

1

，A

2

，…有



A



A

i



i

（7）概

率的公理

化定义

（8）古

典概型



P







A

i









P(A

i

)



i1



i1

常称为可列（完全）可加性。

则称P(A)为事件A的概率。

1°





1

,



2





n



，

1

2°P(



1

)P(



2

)P(



n

)。

n

设任一事件A，它是由



1

,



2





m

组成的，则有

P(A)=



(



1

)(



2

)(



m

)



=P(



1

)P(



2

)P(



m

)

m

A所包含的基本事件数



n基本事件总数

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，

同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，

则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，

L(A)

P(A)

。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

L()

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)

（9）几

何概型

（10）加

法公式

（11）减

法公式

P(A-B)=P(A)-P(AB)

当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)

当A=Ω时，P(B)=1-P(B)

P(AB)

为事件A发生

P(A)

P(AB)

条件下，事件B发生的条件概率，记为

P(B/A)

。

P(A)

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称

（12）条

件概率

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（13）乘

法公式

例如P(Ω/B)=1P(

B

/A)=1-P(B/A)

乘法公式：

P(AB)P(A)P(B/A)

更一般地，对事件A

1

，A

2

，…A

n

，若P(A

1

A

2

…A

n-1

)>0，则有

P(A

1

A

2…

A

n

)P(A

1

)P(A

2

|A

1

)P(A

3

|A

1

A

2

)

……

P(A

n

|A

1

A

2…

A

n1

)

。

①两个事件的独立性

设事件A、B满足

P(AB)P(A)P(B)

，则称事件A、B是相互

独立的。

若事件A、B相互独立，且

P(A)0

，则有

P(B|A)

P(AB)P(A)P(B)

P(B)

P(A)P(A)

（14）独

立性

若事件A、B相互独立，则可得到

A

与B、A与

B

、

A

与

B

也

都相互独立。

必然事件



和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。

Ø与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

设事件

B

1

,B

2

,,B

n满足

1°

B

1

,B

2

,,B

n两两互不相容，

P(B

i

)0(i1,2,,n)

，

A



B

i

n（15）全

概公式

i1

2°

，

则有

P(A)P(B

1

)P(A|B

1

)P(B

2

)P(A|B

2

)P(B

n

)P(A|B

n

)

。

设事件B

1

，B

2

，…，

B

n及A满足

1°B

1

，B

2

，…，

B

n两两互不相容，

P(Bi)

>0，

i

1，2，…，

n，

2°

则

A



B

i

i1

n

（16）贝

叶斯公式

，

P(A)0

，

P(B

i

/A)

P(B

i

)P(A/B

i

)

P(B)P(A/B)

jj

j1

n

，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。

P(B

i

)，（

i1

，2，…，n），通常叫先验概率。P(B

i

/A)

，

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（

i1

，2，…，

n

），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因

果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

我们作了

n

次试验，且满足

每次试验只有两种可能结果，A

发生或A不发生；



n

次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；

每次试验是独立的，即每次试验A

发生与否与其他次试验

A发生与否是互不影响的。

（17）伯

努利概型

这种试验称为伯努利概型，或称为

n

重伯努利试验。

用

p

表示每次试验A发生的概率，则

A

发生的概率为

1pq

，用

P

n

(k)

表示

n

重伯努利试验中A出现

k(0kn)

次的概率，

P

n

(k)C

n

pkqnk

k，

k0,1,2,,n

。

第二章随机变量及其分布

（1）离

散型随

机变量

的分布

律

设离散型随机变量X的可能取值为X

k

(k=1,2,…)且取各个值的概

率，即事件(X=X

k

)的概率为

P(X=x

k

)=p

k

，k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用

分布列的形式给出：

Xx

1

,x

2

,



,x

k

,



|

P(Xx

k

)p

1

,p

2

,



,p

k

,



。

显然分布律应满足下列条件：

p

k

1

p

k

0

k1,2,

（1），，（2）

k1

。

设

F(x)

是随机变量X的分布函数，若存在非负函数

f(x)

，对任意实



（2）连

续型随

机变量

的分布

密度

数

x

，有

，

则称X为连续型随机变量。

f(x)

称为X的概率密度函数或密度函

数，简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1°

f(x)0

。



F(x)f(x)dxx

（3）离

散与连

续型随

机变量

的关系

f(x)dx1

2°





。

P(Xx)P(xXxdx)f(x)dx

积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与

P(Xx

k

)p

k

在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。



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（4）分

布函数

设X为随机变量，x是任意实数，则函数

F(x)P(Xx)

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

P(aXb)F(b)F(a)

可以得到X落入区间

(a,b]

的概率。

分布函数

F(x)

表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°

0F(x)1,x；

2°

F(x)

是单调不减的函数，即

x

1

x

2

时，有

F(x

1

)F(x

2

)

；

3°F()limF(x)0

，

F

()lim

F

(

x

)1；

xx

4°

F(x0)F(x)

，即

F(x)

是右连续的；

5°

P(Xx)F(x)F(x0)

。

对于离散型随机变量，

F(x)p

k

；

xkx

x

对于连续型随机变量，

F(x)

（5）八

大分布

0-1分布

二项分布



f(x)dx。

泊松分布

P(X=1)=p,P(X=0)=q

在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为

p

。事件

A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为

0,1,2,,n

。

kknkP(Xk)P

n

(k)C

n

pq，其中

q1p,0p1,k0,1,2,,n

，

则称随机变量X服从参数为

n

，p的二项分布。记为

X~B(n,p)

。

当n1时，

P(Xk)pkq1k，k0.1，这就是（0-

1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

设随机变量X的分布律为

k!

则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为

X~



(



)

或者P()。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

knkk0,1,2



,l

C

M

•C

NMP(Xk),

nlmin(M,n)

C

N

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为

H(n,N,M)。

P(Xk)

k

e，0，

k0,1,2

，

超几何分

布

几何分布

P

(

Xk

)

qk1p

,

k

1,2,3,

，其中p≥0，q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。

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均匀分布

设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数

f(x)

1

在[a，b]上为常数，即

ba



1

,

a≤x≤b

f(x)



ba

其他，



0,



则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为

X~U(a，b)。

分布函数为

0，x

xa

,

ba

a≤x≤b

F(x)f(x)dx



x

1，x>b。

指数分布

当a≤x

1

2

≤b时，X落在区间（

x

1

,x

2

）内的概率为

xx

1P(x

1

Xx

2

)2。

ba

xe,

x0

,

f(x)

0,

x0

,

其中0

，则称随机变量X服从参数为的指数分

布。

X的分布函数为

1ex,

x0

,

F(x)

0,

x<0。

记住积分公式：



x

0

nexdxn!

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正态分布

设随机变量X的密度函数为

(x



)2



1

2f(x)e2

，

x

，

2





其中、0

为常数，则称随机变量X服从参数

为



、



的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为

X~N(



,

2)

。

f(x)

具有如下性质：

1°

f(x)

的图形是关于

x



对称的；

1

2°当

x



时，

f(



)

为最大值；

2



2

2

X~N(



,



)

(t



)

X的分布函数为若



x

，则

1

2F(x)e2

dt

2

。。

参数

0

、1

时的正态分布称为标准正态分布，记

,1)

，其密度函数记为x

2为

X~N(0

1



2



(x)e

2



，x，

分布函数为

t

2

x



1

(x)e2dt

。

2

(x)

是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查

用。

1

Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝

。

2

X



如果X~

N

(



,

2)

，则~

N(0,1)

。





x





x





P(x

1

Xx

2

)

2



1

。











下分位表：

P(X



)＝；

（6）分

位数

上分位表：

P(X



)＝。

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（7）函

数分布

离散型

已知X的分布列为

x

1

,x

2

,



,x

n

,



X

，

P(Xx

i

)

p

1

,p

2

,



,p

n

,



Yg(X)

的分布列（y

i

g(x

i

)互不相等）如下：

g(x

1

),g(x

2

),



,g(x

n

),



Y

，

P(Yy

i

)

p

1

,p

2

,



,p

n

,



若有某些

g(x

i

)

相等，则应将对应的p

i

相加作为

g(x

i

)

的

概率。

连续型

先利用X的概率密度f

X

(x)写出Y的分布函数F

Y

(y)＝

P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出

f

Y

(y)。

第三章二维随机变量及其分布

（1）联

合分布

离散型

如果二维随机向量



（X，Y）的所有可能取值为至

多可列个有序对（x,y），则称



为离散型随机量。

设=（X，Y）的所有可能取值为

(x

i

,y

j

)(i,j1,2,)

，且事件{



=(

x

i

,

y

j

)

}的概率为

p

ij,

,称

P{(X,Y)(x

i

,y

j

)}p

ij

(i,j1,2,)

为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。

联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

Y

X

x

1

y

1

p

11

p

21



y

2

p

12

p

22



…

…

…

…

y

j

p

1j

p

2j



…

…

…



x

2



x

i



p

i1



p

ij



…



这里

p

ij

具有下面两个性质：

（1）

p

ij

≥0（i,j=1,2,…）；

（2）p

ij

1.

ij

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连续型对于二维随机向量

(X,Y)

，如果存在非负函数

f(x,y)(x,y)

，使对任意一个其邻

边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即

D={(X,Y)|a

P{(X,Y)D}f(x,y)dxdy,

D

则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=（X，Y）

的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面两个性质：

（1）f(x,y)≥0;

（2）

（2）二

维随机变

量的本质

（3）联

合分布函

数

f(x,y)dxdy1.

(Xx,Yy)(XxYy)

（4）离

散型与连

续型的关

系

（5）边

缘分布

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

F(x,y)P{Xx,Yy}

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的

联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件

{(

1

,

2

)|X(

1

)x,Y(

2

)y}的概率为函数值的一个实

值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：

（1）

0F(x,y)1;

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当x

2

>x

1

时，有F（x

2

,y）≥F(x

1

,y);当y

2

>y

1

时，有F(x,y

2

)≥

F(x,y

1

);

（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

F(x,y)F(x0,y),F(x,y)F(x,y0);

（4）

F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1.

（5）对于

x

1

x

2

，

y

1

y

2

，

F(x

2

，y

2

)F(x

2

，y

1

)F(x

1

，y

2

)F(x

1

，y

1

)0.

P(Xx，Yy)P(xXxdx，yYydy)f(x，y)dxdy

离散型

X的边缘分布为

P

i

P(Xx

i

)p

ij

(i,j1,2,)

；

j

Y的边缘分布为

P

j

P(Yy

j

)p

ij

(i,j1,2,)

。

i

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连续型

X的边缘分布密度为

f

X

(x)

f

Y

(y)

（6）条

件分布

离散型





f(x,y)dy；

Y的边缘分布密度为





f(x,y)dx.

在已知

X=x

i

的条件下，Y取值的条件分布为

p

ijP(Yy

j

|Xx

i

)；

p

i•

在已知

Y=y

j

的条件下，X取值的条件分布为

p

ijP(Xx

i

|Yy

j

),

p

•j

在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

f(x,y)

；

f(x|y)

f

Y

(y)

在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

f(x,y)

f(y|x)

f

X

(x)

F(X,Y)=F

X

(x)F

Y

(y)

p

ij

p

i•

p

•j

有零不独立

f(x,y)=f

X

(x)f

Y

(y)

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

f(x,y)

1

2



1



2

1

2



连续型

（7）独

立性

一般型

离散型

连续型

二维正态

分布

e





x

22



(x



)(y



)



y



1122



















2(1

2)



122







1



1









2





,

随机变量

的函数

＝0

若X

1

,X

2

,…X

m

,X

m+1

,…X

n

相互独立，h,g为连续函数，

则：

h（X

1

，X

2

,…X

m

）和g（X

m+1

,…X

n

）相互独立。

特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。

例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。

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（8）二

维均匀分

布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为



1

(x,y)D



S

D

f(x,y)





0,其他





其中S

D

为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为

（X，Y）～U（D）。

例如图3.1、图3.2和图3.3。

y

1

D

1O

1

图3.1

x

y

1

D

2

1

2

xO

图3.2

y

d

D

3

c

Oabx

图3.3

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（9）二

维正态分

布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

f(x,y)

1

2



1



2

1

2



e





x

22



(x



)(y



)



y



1122









2





2(1



)





1



122



1









2





,

其中



1

,



2,



1



0,



2



0,|



|



1

是5个参数，则称（X，Y）服从二维

正态分布，

2记为（X，Y）～N（



1

,



2,



1

2,



2

,



).

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍

为正态分布，

2即X～N（



1

,



1

2),

Y

~

N

(



2,



2

).

2但是若X～N（



1

,



1

2),

Y

~

N

(



2,



2

)

，(X，Y)未必是二维正态分

（10）函

数分布

布。

Z=X+Y

根据定义计算：F

Z

(z)P(Zz)P(XYz)



对于连续型，f

Z

(z)＝



f(x,zx)dx

两个独立的正态分布的和仍为正态分布

2（



1





2

,



1

2



2

）。

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分

布。







C

i



i

，

2



C

i

2

i

2

i

i

Z=max,min

若

X

1

,X

2

X

n

相互独立，其分布函数分别为

(X

1

,X

2

,…

F

x

1

(x)

，

F

x

2

(x)



F

x

n

(x)

，则Z=max,min(X

1

,X

2

,…X

n

)的

X

n

)

分布函数为：

F

max

(x)



F

x

1

(x)

•

F

x

2

(x)



F

x

n

(x)

F

min

(x)1[1F

x

1

(x)]•[1F

x

2

(x)][1F

x

n

(x)]

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2分布

设n个随机变量X

1

,X

2

,



,X

n

相互独立，且服从标准

正态分布，可以证明它们的平方和

WX

i

2

i1

n

的分布密度为

nu

1



1

u2e2u0,



n

n



f(u)



22







2



u0.



0,

我们称随机变量W服从自由度为n的

2分布，记为

W～2(n)，其中



n





2

1

x



xedx.

20

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是

随机变量分布中的一个重要参数。

2分布满足可加性：设

Y

i

2(n

i

),

则

ZY

i

~2(n

1

n

2





n

k

).

i1

k

n

t分布

设X，Y是两个相互独立的随机变量，且

X~N(0,1),Y~2(n),

可以证明函数

X

T

Y/n

的概率密度为



n1



n1



2



2

t



2





f(t)1



n





n



n





2

(t).

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为

T～t(n)。

t

1



(n)t



(n)

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F分布

设

X

~

2(

n

1

),

Y

~

2(

n

2

)

，且X与Y独立，可以证明

X/n

1的概率密度函数为F

Y/n

2





n

1

n

2



n

1

nn

12n







1

n

1



2

2

1



n

1



2

2









y



1y



,y0



f(y)





n

1



n

2





nn

2



2

















2



2





0,y0



我们称随机变量F服从第一个自由度为n

1

，第二个自

由度为n

2

的F分布，记为F～f(n

1

,n

2

).

1

F

1



(n

1

,n

2

)

F



(n

2

,n

1

)

第四章随机变量的数字特征

（1）

一维

期望

随机

期望就是平均值

变量

的数

字特

征

函数的期望

离散型

设X是离散型随机变量，

其分布律为P(

Xx

k

)＝

p

k

，k=1,2,…,n，

E(X)



x

k

p

k

k1

n

连续型

设X是连续型随机变量，其

概率密度为f(x)，



E(X)



xf(x)dx

（要求绝对收敛）

Y=g(X)



（要求绝对收敛）

Y=g(X)

E(Y)



g(x

k

)p

k

k1

n

E(Y)

方差

D(X)=E[X-E(X)]2，

标准差

D(X)[x

k

E(X)]2p

k

k



g(x)f(x)dx



D(X)[xE(X)]2f(x)dx



(X)D(X)，

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矩

①对于正整数k，称随机变

量X的k次幂的数学期望

为X的k阶原点矩，记为

v

k

,即

ν

k

=E(Xk)=



x

i

kp

i

,

i

①对于正整数k，称随机变量

X的k次幂的数学期望为X的

k阶原点矩，记为v

k

,即

ν

k

=E(Xk)=xkf(x)dx,





k=1,2,….

②对于正整数k，称随机变量

k=1,2,….

②对于正整数k，称随机变

X与E（X）差的k次幂的数

量X与E（X）差的k次幂

学期望为X的k阶中心矩，

记为



k

，即

的数学期望为X的k阶中

心矩，记为



k

，即

k

E(XE(X))k

k

k

E(XE(X))

.

.

=(xE(X))kf(x)dx,

=



(x

i

E(X))kp

i

，

k=1,2,….

i

切比雪夫不等式

k=1,2,….

设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，

则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式

2

P(X







)

2

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率

P(X







)

的一种估计，它在理论上有重要意义。

（2）

期望

的性

质

（1）E(C)=C

（2）E(CX)=CE(X)

（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，

E(



C

i

X

i

)



C

i

E(X

i

)

i1i1

nn

（4）E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X和Y独立；

充要条件：X和Y不相关。

（3）

（1）D(C)=0；E(C)=C

方差

（2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)

的性

（3）D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b

质

（4）D(X)=E(X2)-E2(X)

（5）D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；

充要条件：X和Y不相关。

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。

而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。

（4）

期望方差

常见p(1p)

0-1分布B(1,p)p

分布

np(1p)

二项分布

B(n,p)np

的期

泊松分布P()

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望和

方差

几何分布

G(p)

超几何分布

H(n,M,N)

均匀分布

U(a,b)

指数分布

e()

正态分布

N

(



,

2)

1

p

nM

N

ab

2

1

1p

p2

nM



M



Nn





1



NNN1

(ba)2

12

1

2





2

2n

n

(n>2)

n2







n

0

2分布

t分布

（5）期望

二维

随机

变量

的数

函数的期望

字特

征

方差

nE(X)x

i

p

i•

E(X)

E(Y)

E(Y)y

j

p

•j

j1

i1

n





xf

X

(x)dx



yf

Y

(y)dy

E[G(X,Y)]

＝

E[G(X,Y)]

＝



G(x,y

i

ij

j

)p

ij

－－

G(x,y)f(x,y)dxdy







D(X)[xE(X)]2f

X

(x)dx

2D(X)[x

i

E(X)]p

i•

i

D(Y)[x

j

E(Y)]2p

•j

j

D(Y)[yE(Y)]2f

Y

(y)dy



协方差

对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩

11

为X与

Y的协方差或相关矩，记为

XY

或cov(X,Y)

，即



XY





11

E[(XE(X))(YE(Y))].

与记号



XY

相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分

别记为



XX

与

YY

。

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相关系数

对于随机变量X与Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，则称



XY

D(X)D(Y)

为X与Y的相关系数，记作

XY

（有时可简记为



）。

|



|≤1，当|



|=1时，称X与Y完全相关：

P(XaYb)1



正相关，当



1时(a0)，

完全相关





负相关，当



1时(a0)，

而当0

时，称X与Y不相关。

以下五个命题是等价的：

①

XY

0

；

②cov(X,Y)=0;

③E(XY)=E(X)E(Y);

④D(X+Y)=D(X)+D(Y);

⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).

协方差矩阵

混合矩





XX



XY













YX



YY



对于随机变量X与Y，如果有

E

(

XkYl)

存在，则称之为X

与Y的

k+l

阶混合原点矩，记为

kl

；

k+l

阶混合中心矩记

为：

u

kl

E[(XE(X))k(YE(Y))l].

（6）

协方

差的

性质

（7）

独立

和不

相关

(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);

(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);

(iii)cov(X

1

+X

2

,Y)=cov(X

1

,Y)+cov(X

2

,Y);

(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).

（i）

（ii）

若随机变量X与Y相互独立，则

XY

0

；反之不真。

2若（X，Y）～N（



1

,



2

,



1

2,



2

,



），

则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。

第五章大数定律和中心极限定理

（1）大数定律切比

雪夫

X

大数

定律

设随机变量X

1

，X

2

，…相互独立，均具有有限方差，且

被同一常数C所界：D（

X

i

）

的正数ε，有



1n

1n

limP



X

i





E(X

i

)

1.



n



nn

i1



i1



特殊情形：若X

1

，X

2

，…具有相同的数学期望E

（X

I

）=μ，则上式成为



1n



limP



X







i



1.

n



n



i1



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伯努

利大

数定

律

设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事

件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，

有

辛钦

大数

定律

（2）中心极限列维

定理－林

德伯2

XN(



,)

格定

n

理









limP



p





1.

n



n



伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，

事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，

即









limP



p





0.

n



n



这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。

设X

1

，X

2

，…，X

n

，…是相互独立同分布的随机变量序

列，且E（X

n

）=μ，则对于任意的正数ε有



1n



limP



X







i



1.

n



n



i1



设随机变量X

1

，X

2

，…相互独立，服从同一分布，

且具有相同的数学期望和方差：

E

(

X

k

)





,

D

(

X

k

)



2

0(

k

1,2,)，则随机变量

Y

n



X

k1

n

k

n



n



的分布函数

F

n

(

x

)对任意的实数

x

，有

棣莫

弗－

拉普

拉斯

定理

（3）二项定理

n

Xn



t

2



k





x

1



limF

n

(x)limP

k1x



e2dt.

nnn



2







此定理也称为独立同分布的中心极限定理。

设随机变量X

n

为具有参数n,p(0

则对于任意实数x,有



1



X

n

np



limP



x





n2



np(1p)



x



e

t

2

2dt.

若当

N

时,

M



p(n,k不变)

，则

N

knkC

M

C

N

kknk

MCp(1p)

n

nC

N

超几何分布的极限分布为二项分布。

(N).

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（4）泊松定理

若当

n时,np0

，则

k!

其中k=0，1，2，…，n，…。

二项分布的极限分布为泊松分布。

Cp(1p)k

n

knk

k

e(n).

第六章样本及抽样分布

（1）数总体

理统计的

基本概念

个体

样本

在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）

指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看

成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。

总体中的每一个单元称为样品（或个体）。

我们把从总体中抽取的部分样品

x

1

,x

2

,



,x

n

称为样

本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表

示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立

的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为

简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，

x

1

,x

2

,



,x

n

表示n个随机变量（样本）；在具体的一

次抽取之后，

x

1

,x

2

,



,x

n

表示n个具体的数值（样本

值）。我们称之为样本的两重性。

设

x

1

,x

2

,



,x

n

为总体的一个样本，称







（x

1

,x

2

,



,x

n

）

为样本函数，其中



为一个连续函数。如果



中不包含

任何未知参数，则称（

x

1

,x

2

,



,x

n

）为一个统计

量。

样本函数

和统计量

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常见统计

量及其性

质

样本均值

样本方差

1nx



x

i

.

n

i1

n1

2S2(xx).

in1

i1

样本标准差

样本k阶原点矩

1n

kM

k





x

i

,k1,2,



.

n

i1

样本k阶中心矩

1n

(x

i

x)k,k2,3,



.M

kn

i1

1nS

(

x

i

x

)2.

n1

i1

E(X)，D(X)



2

n

，

n1

2,

n

E(S2)2，E(S*2)

2

（2）正

态总体下

的四大分

布

正态分布

1n其中

S*



(X

i

X)2，为二阶中心矩。

n

i1

设

x

1

,x

2

,



,x

n

为来自正态总体

N

(



,

2)

的一个样本，

则样本函数

u

t分布

def

x





/n

~N(0,1).

设

x

1

,x

2

,



,x

n

为来自正态总体

N

(



,

2)

的一个样本，

则样本函数

s/n

其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。

t

def

x

~t(n1),

2分布设x

1

,x

2

,



,x

n

为来自正态总体

N

(



,

2)

的一个样本，

则样本函数

wdef

(n1)S2

2

~

2(n1),

其中

2(

n

1)

表示自由度为n-1的2分布。

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F分布

设

x

1

,x

2

,



,x

n

为来自正态总体

N

(



,



1

2)

的一个样本，

2而

y

1

,y

2

,



,y

n

为来自正态总体

N

(



,



2

)

的一个样本，

则样本函数

22

def

S/



11F~F(n

1

1,n

2

1),

22S

2

/



2

其中

1n

1S(x

i

x)2,



n

1

1

i1

2

1

1n

2S(y

i

y)2;



n

2

1

i1

F(n

1

1,n

2

1)表示第一自由度为n

1

1，第二自由度

为

n

2



1

的F分布。

2

2

（3）正

X与S

2独立。

态总体下

分布的性

质

极大似

当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为

然估计

f(x;



1

,



2

,,



m

)，其中



1

,



2

,



,



m

为未知参数。又设

x

1

,x

2

,



,x

n

为总体的一个样本，称

L(



1

,



2

,,



m

)



f(x

i

;



1

,



2

,,



m

)

i1

n

为样本的似然函数，简记为

L

n

.

当总体X为离型随机变量时，设其分布律为

P{Xx}p(x;



1

,



2

,,



m

)

，则称

L(x

1

,x

2

,,x

n

;



1

,



2

,,



m

)



p(x

i

;



1

,



2

,,



m

)

i1

n

为样本的似然函数。

若似然函数L(x

1

,x

2

,,x

n

;



1

,



2

,,



m

)在



1

,



,,



m2



处取到最大值，则称



1

,



,,



m

分别为



1

,



2

,



,



m

的最大似

2



然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。

lnL

n

i



0,i



1,2,



,m



i





i



)为g()

若为的极大似然估计，g(x)为单调函数，则g(

的极大似然估计。



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（2）

估计

量的

评选

标准

无偏性

设







(

x

1

,

x

2

,



,

x

n

)

为未知参数



的估计量。若E（



）

=



，则称



为



的无偏估计量。

E（X）=E（X），E（S2）=D（X）





有效性

设



1





1

(

x

1

,

x

,

2

,



,

x

n

)

和



2





2

(x

1

,x,

2

,,x

n

)

是未知参数



的两个无偏估计量。若

D(



1

)D(



2

)

，则称



1

比



2

有效。

一致性

设

n

是



的一串估计量，如果对于任意的正数，都有

n







limP(|



n





|



)0,

则称

n

为



的一致估计量（或相合估计量）。

（3）

区间

估计

置信区

间和置

信度

)0(n),则



为



的一致估

若为



的无偏估计，且D(

计。

只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函

数都是相应总体的一致估计量。

设总体X含有一个待估的未知参数



。如果我们从样本

x

1

,x,

2

,



,x

n

出发，找出两个统计量

1





1

(

x

1

,

x

,

2

,



,

x

n

)

与



2





2

(x

1

,x,

2

,,x

n

)(



1





2

)，使得区间[



1

,



2

]以

1



(0



1)

的概率包含这个待估参数



，即

P{



1









2

}1



,

那么称区间

[



1

,



2

]

为



的置信区间，1为该区间的置信度

（或置信水平）。

设

x

1

,x,

2

,



,x

n

为总体

X

~

N

(



,

2)

的一个样本，在置信度为

1



下，我们来确定



和

2的置信区间[



1

,



2

]。具体步骤如

下：

（i）选择样本函数；

（ii）由置信度1



，查表找分位数；

（iii）导出置信区间[



1

,



2

]

。

已知方差，估计均值

（i）选择样本函数



单正态

总体的

期望和

方差的

区间估

计

u

x





0

/n

~N(0,1).

(ii)查表找分位数



x



P













1



.





0

/n



（iii）导出置信区间



0



0



x



,x





nn

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未知方差，估计均值

（i）选择样本函数

S/n

(ii)查表找分位数

t

x



~t(n1).



x





1



.P













S/n



（iii）导出置信区间

方差的区间估计



SS



x



,x





nn

（i）选择样本函数

(n1)S2w~

2(n1).

2

（ii）查表找分位数



(n1)S2

P







2



1



.

2



1



（iii）导出的置信区间



n1n1



S,S





21



第八章假设检验

基本思

想

假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为

基本上是不会发生的，即小概率原理。

为了检验一个假设

H

0

是否成立。我们先假定

H

0

是成立的。如

果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假

定

H

0

是不正确的，我们拒绝接受

H

0

；如果由此没有导出不合理的现

象，则不能拒绝接受

H

0

，我们称

H

0

是相容的。与

H

0

相对的假设称为

备择假设，用

H

1

表示。

这里所说的小概率事件就是事件{KR



}，其概率就是检验

水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。

假设检验的基本步骤如下：

(i)提出零假设

H

0

；

(ii)选择统计量

K

；

(iii)对于检验水平α查表找分位数λ；

(iv)由样本值

x

1

,x

2

,,x

n

计算统计量之值

K

；

将

K

与进行比较，作出判断：当|K|



(或K



)时否定

H

0

，否则

认为

H

0

相容。



基本步

骤



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两类错

误

第一类错误

第二类错误

两类错误的关

系

当

H

0

为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们

规定的检验法则，应当否定

H

0

。这时，我们把客观

上

H

0

成立判为

H

0

为不成立（即否定了真实的假

设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错

误，记为犯此类错误的概率，即

P{否定

H

0

|

H

0

为真}=；

此处的α恰好为检验水平。

当

H

1

为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们

规定的检验法则，应当接受

H

0

。这时，我们把客观

上

H

0

。不成立判为

H

0

成立（即接受了不真实的假

设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错

误，记



为犯此类错误的概率，即

P{接受

H

0

|

H

1

为真}=。

人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。

但是，当容量n一定时，变小，则



变大；相反

地，



变小，则



变大。取定



要想使



变小，则

必须增加样本容量。

在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错

误的概率，即给定显著性水平α。α大小的选取应根

据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿

“以真当假”时，则应把α取得很小，如0.01，甚至

0.001。反之，则应把α取得大些。

单正态总体均值和方差的假设检验

条件零假设统计量

对应样本

函数分布

否定域

H

0

:







0

已知

2

|u|u

1



2

H

0

:







0

H

0

:







0

H

0

:







0

U

x



0

0

/n

N

（0，1）

uu

1

uu

1

|t|t

T

x

0

S/n

t(n1)

1



2

(n1)

未知

2H

0

:







0

H

0

:







0

tt

1

(n1)

tt

1

(n1)

2w





(n1)或

2

未知

2

H

0

:

2

2

2H

0

:

2



0

w

(n1)S2

2

0

(n1)2

w

2

1



2

(n1)

w

1

2



(n1)

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2H

0

:2

0

2w(n1)

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