概率论公式总结

概率论公式总结

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2023年3月17日发(作者：一尘不染的意思)

概率论知识点总结

第一章随机事件及其概率

第一节基本概念

随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或

观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。

随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事

件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。

必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。

样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.

样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集

一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。

事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）

包含关系：若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为AB或BA。

相等关系：若AB且BA，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。

事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和

事件。记为A∪B。

事件的积：称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩B或AB。

事件的差：称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件,记为A－B。

用交并补可以表示为BABA。

互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容

事件或互斥事件。互斥时BA可记为A＋B。

对立事件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件（逆事件），记为A。对立事件的性质：

BABA,。

事件运算律：设A，B，C为事件，则有

（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA

（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪CA(BC)=(AB)C=ABC

（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)=AB∪AC

（4）对偶律（摩根律）：BABABABA

第二节事件的概率

概率的公理化体系：

（1）非负性：P(A)≥0；

（2）规范性：P(Ω)＝1

（3）可数可加性：



n

AAA

21

两两不相容时

)()()()(

2121nn

APAPAPAAAP

概率的性质：

（1）P(Φ)＝0

（2）有限可加性：

n

AAA

21

两两不相容时

)()()()(

2121nn

APAPAPAAAP

当AB=Φ时P(A∪B)＝P(A)＋P(B)

（3）

)(1)(APAP

（4）P(A－B)＝P(A)－P(AB)

（5）P（A∪B）＝P(A)＋P(B)－P(AB)

第三节古典概率模型

1、设试验E是古典概型,其样本空间Ω由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定

义事件A的概率为

n

k

AP)(

2、几何概率：设事件A是Ω的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一

点，该点落在区域A的概率为

)(

)(

)(







A

AP

假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A的概率仍可用上式确定，

只不过把μ理解为长度或体积即可.

第四节条件概率

条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B).

)(

)(

)|(

BP

ABP

BAP

乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)

全概率公式：设

n

AAA,,,

21

是一个完备事件组，则P(B)=∑P(

i

A)P(B|

i

A)

贝叶斯公式：设

n

AAA,,,

21

是一个完备事件组,则





)|()(

)|()(

)(

)(

)|(

jj

iii

iABPAP

ABPAP

BP

BAP

BAP

第五节事件的独立性

两个事件的相互独立：若两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称A、B独立，或称A、

B相互独立.

三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，

P(BC)=P(B)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称A、B、C相互独立

三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，

P(BC)=P(B)P(C)，则称A、B、C两两独立

独立的性质：若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B均相互独立

总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场

合，它将扮演主要的角色。2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，

应牢固掌握。3.独立性是概率论中的最重要概念之一，应正确理解并应用于概率的计算。

第二章一维随机变量及其分布

第二节分布函数

分布函数：设X是一个随机变量，x为一个任意实数，称函数}{)(xXPxF为X的分

布函数。如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间

],(x内的概率

分布函数的性质：（1）单调不减；（2）右连续；（3）1)(,0)(FF

第三节离散型随机变量

离散型随机变量的分布律：设

k

x(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称

kk

pxXP}{为离散型随机变量X的分布律，也称概率分布.

当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时，常用表格形式表示分布律。

分布律的性质：（1）

10

k

p；（2）1k

p

离散型随机变量的概率计算：

（1）已知随机变量X的分布律，求X的分布函数；







xx

k

k

xPxXPxF)(}{)(

（2）已知随机变量X的分布律,求任意随机事件的概率；

（3）已知随机变量X的分布函数，求X的分布律

)0()(}{

kkk

xFxFxXP

三种常用离散型随机变量的分布：

1.（0－1）分布：参数为p的分布律为pXPpXP1}0{,}1{

2.二项分布：参数为n，p的分布律为knkk

n

ppCkXP)1(}{

，nk,,2,1,0。例如

n重独立重复实验中，事件A发生的概率为p，记X为这n次实验中事件A发生的次数，

则X～B（n，p）

3.泊松分布：参数为λ的分布率为



e

k

kXP

k

!

}{，,2,1,0k。例如记X为某段事

件内电话交换机接到的呼叫次数，则X～P（λ）

第四节连续型随机变量

连续型随机变量概率密度f(x)的性质

（1）f(x)≥0

（2）1)(



dxxf，0)(}{a

a

dxxfaXP

（3）b

a

dxxfbXaPbXaPbXaPbXaP)(}{}{}{}{

（4）





xdxxfxFxFxf)()(),()(

连续型随机变量的概率计算：

（1）已知随机变量X的密度函数，求X的分布函数；

xdxxfxF)()(

（2）已知随机变量X的分布函数，求X的密度函数；)()(xFxf





（3）已知随机变量X的密度函数,求随机事件的概率；b

a

dxxfbXaP)(}{

（4）已知随机变量X的分布函数，求随机事件的概率；)()(}{aFbFbXaP

三种重要的连续型分布：

1．均匀分布：密度函数

















else

bxa

ab

xf

0

1

)(，记为X～U[a，b].

2.指数分布：密度函数















00

0

)(

x

xe

xf

x

，记为X～E（λ）

3.正态分布：密度函数2

2

2

)(

2

1

)(











x

exf，记为),(~2NX

N（0，1）称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以

通过线性变换转化为标准正态分布，然后再计算概率.

)()()()(}{















ab

aFbFbXaP

第五节随机变量函数的分布

离散型：在分布律的表格中直接求出；

连续型：寻找分布函数间的关系，再求导得到密度函数间的关系；注意分段函数情况可能需

要讨论，得到的结果也可能是分段函数。

))(()}({})({}{)(yGFyGXPyXgPyYPyF

Y



第三章多维随机变量及其分布

第一节二维随机变量的联合分布函数

联合分布函数},{),(yYxXPyxF，表示随机点落在以（x，y）为顶点的左下无穷

矩形区域内的概率。

联合分布函数的性质：

（1）分别关于x和y单调不减；

（2）分别关于x和y右连续；

（3）F(-∞,y)=0,F(x,-∞)=0,F(-∞,-∞)=0

F(+∞,+∞)=1

第二节二维离散型随机变量

联合分布律：

ijji

pyYxXP},{

联合分布律的性质：

0

ij

p

；1

ij

ij

p

第三节二维连续性随机变量

联合密度：

yxduvufdvyxF),(),(

联合密度的性质：0),(yxf；1),(

2



R

dxdyyxf；

D

dxdyyxfDyxP),(}),{(

第四节边缘分布

二维离散型随机变量的边缘分布律：在表格边缘，对应概率相加求出；

二维连续性随机变量的边缘密度：先求出边缘分布函数，在求导求出边缘密度

第六节随机变量的独立性

独立性判断：

（1）若YX,取值互不影响，可认为相互独立；

（2）根据独立性定义判断)()(),(yFxFyxF

YX



离散型可用

jiij

ppp

••



连续型可用)()(),(yfxfyxf

YX



独立性的应用：（1）判断独立性；（2）已知独立性，由边缘分布确定联合分布

第四章随机变量的数字特征

离散型随机变量数学期望的计算

k

kk

pxEX，

k

kk

pxgXgE)())((

连续型随机变量数学期望的计算dxxxfEX)(，dxxfxgXgE)()())((

方差的计算：2)(EXXEDX，)()(22XEXEDX

数学期望的性质

（1）E(C)=C

（2）E(CX)=CE(X)

（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)

（4）当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y)

方差的性质

（1）D(C)=0

（2）D(CX)=2CD(X)

（3）若X,Y相互独立，则D(X±Y)=D(X)+D(Y)

常见分布的数学期望和方差

两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布