概率论与数理统计公式

发布时间：2023-06-09 作者：admin 来源：文学

概率论与数理统计公式

2023年2月26日发(作者：超快恢复二极管)

概率论与数理统计公式整理(超全免费版)

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第1章随机事件及其概率

（1）排列组合公式

)!(

m

从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

)!(!

nmn

m

从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

（2）加法和乘法原理

加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可

由m+n种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可

由m×n种方法来完成。

（3）一些常见排列

重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）

顺序问题

（4）随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不

能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本空间

和事件

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用



表示。

一个事件就是由



中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它

们是



的子集。

为必然事件，Ø为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，

而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：

BA

如果同时有

BA

，

AB

，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它

表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生：A



B，或者AB。A



B=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相

容或者互斥。基本事件是互不相容的。



-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为

。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。

②运算：

结合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

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德摩根率：









11i

iAA

BABA，BABA

（7）概率的公理化定义

设



为样本空间，

为事件，对每一个事件

都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：

1°0≤P(A)≤1，

2°P(Ω)=1

3°对于两两互不相容的事件1A

，2A

，…有





















)(

iAPAP

常称为可列（完全）可加性。

则称P(A)为事件

的概率。

（8）古典概型

1°



,，

2°

PPP

)()()(

。

设任一事件

，它是由



,组成的，则有

P(A)=)()()(

21m

=)()()(

21m

PPP



基本事件总数

所包含的基本事件数A



（9）几何概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以

使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，

)(





AP。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

（10）加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)

（11）减法公式

P(A-B)=P(A)-P(AB)

当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)

当A=Ω时，P(B)=1-P(B)

（12）条件概率

定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称

)(

ABP

为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为

)/(ABP

)(

ABP

。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(Ω/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)

（13）乘法公式

乘法公式：)/()()(ABPAPABP

更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有

21(AAP

…

)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP

……

21|(AAAPn

…

)1nA

。

（14）独立性

①两个事件的独立性

设事件

、

满足

)()()(BPAPABP

，则称事件

、

是相互独立的。

若事件

、

相互独立，且

0)(AP

，则有

)(

)()(

)(

)|(BP

BPAP

ABP

ABP

若事件

、

相互独立，则可得到

与

、

与

、

与

也都相互独立。

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3/25

必然事件



和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。

Ø与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

（15）全概公式

设事件

nBBB,,,21

满足

1°

nBBB,,,21

两两互不相容，

),,2,1(0)(niBPi

，

2°

n

iBA

1



，则有

)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP

。

（16）贝叶斯公式

设事件1B

，2B

，…，nB

及

满足

1°1B

，2B

，…，nB

两两互不相容，

)(BiP

>0，

i

1，2，…，

，

2°

n

iBA

1



，

0)(AP

，则





BAPBP

ABP

)/()(

)/(，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。

)(

BP，（

1i

，

，…，

），通常叫先验概率。)/(ABP

，（

1i

，

，…，

），通常称为后

验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

（17）伯努利概型

我们作了

次试验，且满足

每次试验只有两种可能结果，

发生或

不发生；



次试验是重复进行的，即

发生的概率每次均一样；

每次试验是独立的，即每次试验

发生与否与其他次试验

发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为

重伯努利试验。

用

表示每次试验

发生的概率，则

发生的概率为

qp1

，用

)(kPn

表示

重伯努利试验中

出现

)0(nkk

次的概率，

knk

nqpkPC)(

，

nk,,2,1,0

。

第二章随机变量及其分布

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（1）离散型

随机变量的

分布律

设离散型随机变量

的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为

P(X=xk)=pk，k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量

的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：



,,,,

)(21

kppp

xxx

xXP



。

显然分布律应满足下列条件：

（1）

0kp

，

,2,1k

，（2）





。

（2）连续型

随机变量的

分布密度

设

)(xF

是随机变量

的分布函数，若存在非负函数

)(xf

，对任意实数

，有

xdxxfxF)()(

，

则称

为连续型随机变量。

)(xf

称为

的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1°

0)(xf

。

2°





1)(dxxf

。

（3）离散与

连续型随机

变量的关系

dxxfdxxXxPxXP)()()(

积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(

在离散型随机变量理论中所起的作用相类

似。

（4）分布函

数

设

为随机变量，x是任意实数，则函数

)()(xXPxF称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

)()()(aFbFbXaP可以得到X落入区间],(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变

量落入区间（–∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°,1)(0xFx；

2°)(xF是单调不减的函数，即

21xx时，有)(1xF)(2xF；

3°0)(lim)(



xFF

，1)(lim)(



xFF

；

4°)()0(xFxF，即)(xF是右连续的；5°)0()()(xFxFxXP。

对于离散型随机变量，





pxF)(

；对于连续型随机变量，





dxxfxF)()(

。

（5）八大分0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q

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5/25

布二项分布

在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则

X可能取值为n,,2,1,0。

knkk

nqpCkPkXP)()(，其中nkppq,,2,1,0,10,1，

则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为),(~pnBX。

当1n时，

kkqpkXP1)(，1.0k，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分

布是二项分布的特例。

泊松分布

设随机变量X的分布律为



e

kXP

)(，0，2,1,0k，

则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(~X或者P()。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

超几何分布

),min(

,2,1,0

,)(

nMl

kXP



•







随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。

几何分布,3,2,1,)(1kpqkXPk

，其中p≥0，q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。

均匀分布

设随机变量

的值只落在[a，b]内，其密度函数

)(xf

在[a，b]上为常数

ab

，即















)(

其他，

则称随机变量

在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。

分布函数为



xdxxfxF)()(

当a≤x1

,xx

）内的概率为

xXxP



12

)(。

0，x



a≤x≤b

1，x>b。

a≤x≤b

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指数分布

其中

0

，则称随机变量X服从参数为



的指数分布。

X的分布函数为

记住积分公式：

ndxexxn



)(xf

,xe

0x

0x

)(xF

,1xe

0x

x<0。

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7/25

正态分布

设随机变量

的密度函数为

)(

)(









exf

，

x

，

其中



、

0

为常数，则称随机变量

服从参数为



、



的正态分布或高斯（Gauss）

分布，记为

),(~2NX

。

)(xf

具有如下性质：

1°

)(xf

的图形是关于

x

对称的；

2°当

x

时，





)(f为最大值；

若

),(~2NX

，则

的分布函数为

dtexFx

t



2

)(

)(





。。

参数

0

、

1

时的正态分布称为标准正态分布，记为

)1,0(~NX

，其密度函数记为

)(

ex





，x，

分布函数为







dtex2

)(

。

)(x

是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝

。

如果

~),(2N，则



X

~)1,0(N。









































)(

xXxP。

（6）分位数

下分位表：



＝)(XP；

上分位表：



＝)(XP。

（7）函数分

布

离散型

已知

的分布列为



,,,,

)(21

ippp

xxx

xXP



，

)(XgY的分布列（)(

xgy互不相等）如下：



,,,,

),(,),(),(

)(

ippp

xgxgxg

yYP



，

若有某些)(ixg相等，则应将对应的

p相加作为)(ixg的概率。

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8/25

连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公

式求出fY(y)。

第三章二维随机变量及其分布

（1）联合分

布

离散型

如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随

机量。

设=（X，Y）的所有可能取值为),2,1,)(,(jiyx

，且事件{=),(

yx}的概率为

pij,,称

),2,1,()},(),{(jipyxYXP

ijji

为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

y1y2…yj

…

x1p11p12

…p1j

…

x2p21p22

…p2j

…



xipi1

…ij

p…



这里p

具有下面两个性质：

（1）p

≥0（i,j=1,2,…）；

（2）.1ij

连续型

对于二维随机向量),(YX，如果存在非负函数

),)(,(yxyxf，使对任意一个其邻边分别平行于坐标

轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a



dxdyyxfDYXP,),(}),{(

则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面两个性质：

（1）f(x,y)≥0;

（2）







.1),(dxdyyxf

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（2）二维随

机变量的本

质

)(),(yYxXyYxX

（3）联合分

布函数

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

},{),(yYxXPyxF

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件})(,)(|),{(

2121

yYxX的概率为函

数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：

（1）;1),(0yxF

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2)≥F(x,y1);

（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

);0,(),(),,0(),(yxFyxFyxFyxF

（4）.1),(,0),(),(),(FxFyFF

（5）对于，，

2121

yyxx

0)()()()(

11211222

yxFyxFyxFyxF，，，，.

（4）离散型

与连续型的

关系

dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，，，

（5）边缘分

布

离散型X的边缘分布为

),2,1,()(•

jipxXPP

；

Y的边缘分布为

),2,1,()(•

jipyYPP

。

连续型X的边缘分布密度为





；dyyxfxf

),()(

Y的边缘分布密度为

.),()(



dxyxfyf

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10/25

（6）条件分

布

离散型在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为

；

•



ijp

xXyYP)|(

在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为

,)|(

jip

yYxXP

•



连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

)(

),(

)|(

yxf

；

在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

)(

),(

)|(

yxf

xyf



（7）独立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)

离散型

jiij

ppp

••



有零不独立

连续型

f(x,y)=fX(x)fY(y)

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

二维正态分布

),(

))((2

)1(2































































yyxx

eyxf

＝0

随机变量的函

数

若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：

h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。

特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。

例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。

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11/25

（9）二维正

态分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

),(

))((2

)1(2































































yyxx

eyxf

其中1||,0,0,

21,21

是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，

记为（X，Y）～N（).,,,2

1,21



由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，

即X～N（).(~),,2

2,2

NY

但是若X～N（)(~),,2

2,2

NY，(X，Y)未必是二维正态分布。

（10）函数分

布

Z=X+Y

根据定义计算：)()()(zYXPzZPzF



对于连续型，fZ(z)＝

dxxzxf



),(

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（

121

,）。

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。



C，

C222

Z=max,min(X1,

X2,…Xn)

若

XXX

,相互独立，其分布函数分别为)()()(

xFxFxF

xxx

，，则

Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：

)()()()(

max

xFxFxFxF

xxx

•

)](1[)](1[)](1[1)(

min

xFxFxFxF

xxx

•

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12/25

2分布

设n个随机变量

XXX,,,

相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和





的分布密度为

































.0,0

)(

ueu

我们称随机变量W服从自由度为n的

2分布，记为W～)(2n，其中

2dxex





















所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

2分布满足可加性：设

),(2

nY

则

).(~

nnnYZ





t分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，且

),(~),1,0(~2nYNX

可以证明函数



的概率密度为

)(





















































).(t

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。

)()(

ntnt







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13/25

F分布

设)(~),(~

2nYnX，且X与Y独立，可以证明

F的概率密度函数为



























































































0,0

0,1

)(

我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1,n2).

),(

211nnF

nnF







第四章随机变量的数字特征

（1）

一维

随机

变量

的数

字特

征

离散型连续型

期望

期望就是平均值

设X是离散型随机变量，其分布律为P(

xX)

＝pk，k=1,2,…,n，





pxXE

)(

（要求绝对收敛）

设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，





dxxxfXE)()(

（要求绝对收敛）

函数的期望Y=g(X)





pxgYE

)()(

Y=g(X)





dxxfxgYE)()()(

方差

D(X)=E[X-E(X)]2，

标准差

)()(XDX，



pXExXD2)]([)(



dxxfXExXD)()]([)(2

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矩①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望

为X的k阶原点矩，记为vk,即

νk=E(Xk)=

px,k=1,2,….

②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次

幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为

，即

))((k

XEXE

=

pXEx))((，k=1,2,….

①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期

望为X的k阶原点矩，记为vk,即

νk=E(Xk)=



,)(dxxfxk

k=1,2,….

②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k

次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为

，即

))((k

XEXE

=



,)())((dxxfXExk

k=1,2,….

切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式

)(





XP

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率

)(XP

的一种估计，它在理论上有重要意义。

（2）

期望

的性

质

（1）E(C)=C

（2）E(CX)=CE(X)

（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，





iiii

XECXCE

)()(

（4）E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X和Y独立；

充要条件：X和Y不相关。

（3）

方差

的性

质

（1）D(C)=0；E(C)=C

（2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)

（3）D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b

（4）D(X)=E(X2)-E2(X)

（5）D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；

充要条件：X和Y不相关。

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。

而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。

（4）

常见

分布

的期

望和

方差

期望方差

0-1分布),1(pBp)1(pp

二项分布),(pnBnp)1(pnp

泊松分布)(P



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几何分布)(pG

p

超几何分布

),,(NMnH





























均匀分布),(baU

ba

)(2ab

指数分布)(e



正态分布),(2N

2

分布2n2n

t分布0

2n

(n>2)

（5）

二维

随机

变量

的数

字特

征

期望



•



pxXE

)(





•



pyYE

)(





dxxxfXE

)()(





dyyyfYE

)()(

函数的期望

)],([YXGE＝



ijji

pyxG),(

)],([YXGE＝







－－

dxdyyxfyxG),(),(

方差

•



pXExXD2)]([)(

•



pYExYD2)]([)(





dxxfXExXD

)()]([)(2





dyyfYEyYD

)()]([)(2

协方差

对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩

为X与Y的协方差或相关矩，记为

),cov(YX

或，即

))].())(([(

YEYXEXE



与记号

相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为

与

。

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相关系数对于随机变量X与Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，则称

)()(YDXD



为X与Y的相关系数，记作

（有时可简记为）。

||≤1，当||=1时，称X与Y完全相关：1)(baYXP

完全相关











，时负相关，当

，时正相关，当

)0(1



而当0时，称X与Y不相关。

以下五个命题是等价的：

①0

；

②cov(X,Y)=0;

③E(XY)=E(X)E(Y);

④D(X+Y)=D(X)+D(Y);

⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).

协方差矩阵













YYYX

XYXX



混合矩

对于随机变量X与Y，如果有)(lkYXE存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为

；k+l

阶混合中心矩记为：

].))(())([(lk

YEYXEXEu

（6）

协方

差的

性质

(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);

(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);

(iii)cov(X

,Y)=cov(X

,Y)+cov(X

,Y);

(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).

（7）

独立

和不