椭球体积
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2023年3月5日发(作者：大树妈妈的歌曲)结构矿物学第三次作业
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椭球体之密堆积
1.问题的引出
在讨论金属晶体和部分离子晶体的结构时，我们常把原子或离子看作具有一定大小的球
体，金属原子或离子相互结合时，要求彼此间的引力和斥力达到平衡，使得彼此之间相互靠
近而占有最小的空间，以便体系能量处于最低状态。这在球体堆积中就相当于要求球体间相
互作最紧密堆积。因此，我们通常借助球体的密堆积来理解晶体结构。然而，原子或离子的
振动可能具有各向异性，有时需要将其看成椭球体。下文，我们将考虑等大、刚性椭球体的
最密堆积问题。
2.椭球体的最密堆积
椭球体（ellipsoid）的表面在xyz-笛卡儿坐标系中的方程是：x2/a2+y2/b2+z2/c2=1。其
中a、b、c分别为椭球体的半轴长。这三个数都是固定的正实数，决定了椭球的形状。如果
三个半轴长都是相等的，那么就是一个球（sphere）；如果有两个半轴长是相等的，则是一个
椭圆体（spheroid）。如果a=b>c，则为扁球体（形状类似圆盘）；a=b 类似雪茄）。椭圆体的体积V= 4 3 πabc。 图1椭球体 半轴比定义为α=b/a，β=c/a。椭球的最长的半轴长与最短的半轴长的比值记为δ， 是最重要的半轴比，叫做最大半轴比。 椭球体可以看做是球体的仿射变形（affinedeformation）。球体的密堆积问题已经被讨论 结构矿物学第三次作业 2 得很充分，在讨论椭球体的密堆积时可以参考球体的密堆积。 为简化问题，先考虑单层椭球体的密堆积，即二维条件下椭圆的紧密填充。在二维平面 上椭圆的最紧密排列（图2（a）），可通过将二维平面上的最紧密排列的圆形（图2（b）或 （c））作仿射变形（沿着任意两个互相垂直的方向伸缩）得到。这种变换可保持填充密度不 变。由图2（b）也可以计算出，二维平面上，椭圆的空间利用率=