正弦函数定义域
-
2023年3月2日发(作者：税务机关代码)正弦函数余弦函数的性质(总
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2
正弦函数余弦函数的性质
教学目标
1．掌握y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期性、奇偶
性、单调性和最值．(重点)
2．会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问
题．(难点)
3．了解周期函数、周期、最小正周期的含义．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1函数的周期性
阅读教材P34～P35“例2”以上部分，完成下列问题．
1．函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义
域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周
期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，
那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
2．两种特殊的周期函数
(1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，
最小正周期是2π．
(2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，
最小正周期是2π．
函数y＝2cosx＋5的最小正周期是________．
3
解：函数y＝2cosx＋5的最小正周期为T＝2π.
【答案】2π
教材整理2正、余弦函数的奇偶性
阅读教材P37“思考”以下至P37第14行以上内容，完成下列问
题．
1．对于y＝sinx，x∈R恒有sin(－x)＝－sinx，所以正弦
函数y＝sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称．
2．对于y＝cosx，x∈R恒有cos(－x)＝cosx，所以余弦函
数y＝cosx是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．
判断函数f(x)＝sin
2x＋
3π
2
的奇偶性．
解：因为f(x)＝sin
2x＋
3π
2
＝－cos2x.
且f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
教材整理3正、余弦函数的图象和性质
阅读教材P37～P38
“例3”以上内容，完成下列问题．
函数名称
图象与性质
性质分类
y＝sinxy＝cosx
相同处
定义域
RR
值域[－1，1][－1，1]
周期性最小正周期为2π最小正周期为2π
不同处
图象
奇偶性奇函数偶函数
4
单调性
在
2kπ－
π
2
，2kπ＋
π
2
(k∈Z)上是增函数；
在
2kπ＋
π
2
，2kπ＋
3
2
π
(k∈Z)上是减函数
在[2kπ－π，2k
π](k∈Z)上是增函
数；在[2kπ，2kπ
＋π](k∈Z)上减函
数
对称轴
x＝kπ＋
π
2
(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
对称
中心
(kπ，0)，(k∈Z)
kπ＋
π
2
，0
(k∈Z)
最值
x＝2kπ＋
π
2
(k∈Z)
时，y
max
＝1；x＝2k
π－
π
2
(k∈Z)时，
y
min
＝－1
x＝2kπ时，y
max
＝
1；x＝2kπ＋π
时，y
min
＝－1
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若sin
2π
3
＋
π
6
＝sin
π
6
，则
2π
3
是函数y＝sinx的一个周
期．()
(2)函数y＝sinx在第一象限内是增函数．()
(3)余弦函数y＝cosx是偶函数，图象关于y轴对称，对称轴有
无数多条．()
(4)余弦函数y＝cosx的图象是轴对称图形，也是中心对称图
5
形．()
解：(1)×.因为对任意x，sin
2π
3
＋x
与sinx并不一定相等．
(2)×.y＝sinx的单调性针对的是某一区间，不能用象限角表
示．
(3)√.由余弦函数图象可知正确．
(4)√.由余弦函数图象可知正确．
【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√
[小组合作型]
三角函数的周期问题及简单应用
(1)下列函数是以π为最小正周期的函数是()
A．y＝sinxB．y＝sinx＋2
C．y＝cos2x＋2D．y＝cos3x－1
(2)函数y＝sin
2x＋
π
4
的最小正周期为________．
(3)求函数y＝|sinx|的最小正周期．
(1)(2)利用周期定义或公式T＝
2π
ω
.(3)利用图象求解．
解：(1)y＝sinx及y＝sinx＋2的最小正周期为2π，y＝cos2x＋
2的最小正周期为π，y＝cos3x－1的最小正周期为
2π
3
，所以选C．
(2)法一：y＝sin
2x＋
π
4
6
＝sin
2x＋
π
4
＋2π
＝sin
2（x＋π）＋
π
4
，所以最小正周期为π.
法二：因为函数y＝sin
2x＋
π
4
中ω＝2，所以其最小正周期T＝
2π
|ω|
＝
2π
2
＝π.
【答案】(1)C(2)π
(3)作函数y＝|sinx|的简图如下：
由图象可知y＝|sinx|的最小正周期为π.
求三角函数周期的方法：
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ
是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝
2π
|ω|
.
(3)观察法：即通过观察函数图象求其周期．
[再练一题]
1．求下列三角函数的周期：
(1)y＝3sinx，x∈R；
(2)y＝cos2x，x∈R；
(3)y＝sin
1
3
x－
π
4
，x∈R.
解：(1)因为3sin(x＋2π)＝3sinx，由周期函数的定义知，y＝
7
3sinx的周期为2π.
(2)因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos2x，由周期函数的定义
知，y＝cos2x的周期为π.
(3)因为sin
1
3
（x＋6π）－
π
4
＝sin
1
3
x＋2π－
π
4
＝sin
1
3
x－
π
4
，由
周期函数的定义知，y＝sin
1
3
x－
π
4
的周期为6π.
三角函数奇偶性的判断
(1)函数y＝sin
2015
2
π－2016x
是()
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
(2)已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于
()
A．0B．1
C．－1D．±1
(3)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝|sinx|＋cosx.
②f(x)＝1－cosx＋cosx－1.
(1)可先化简解析式再判断奇偶性．(2)可由f(－x)＝－f(x)恒成立
来求a.(3)②中注意先求定义域并化简解析式后由定义法判断．
8
解：(1)因为y＝sin
2015
2
π－2016x
＝sin
π
2
－2016x
＋1007π
＝－sin
π
2
－2016x
＝－cos2016x，
所以为偶函数．
(2)函数定义域为R，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝sin(－x)
－|a|＝－f(x)＝－sinx＋|a|，
所以|a|＝0，从而a＝0，故选A．
【答案】(1)B(2)A
(3)①函数的定义域为R，
又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以此函数
是偶函数．
②由1－cosx≥0且cosx－1≥0，得cosx＝1，从而x＝2kπ，k
∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数
式化简后再判断．
[再练一题]
2．(1)函数f(x)＝2sin2x的奇偶性为()
A．奇函数
9
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
(2)判断函数f(x)＝sin
3
4
x＋
3π
2
的奇偶性．
解：(1)∵f(x)的定义域是R.
且f(－x)＝2sin2(－x)＝－2sin2x
＝－f(x)，∴函数为奇函数．
【答案】A
(2)∵f(x)＝sin
3
4
x＋
3π
2
＝－cos
3
4
x，
∴f(－x)＝－cos
－
3
4
x
＝－cos
3
4
x，
∴函数f(x)＝sin
3
4
x＋
3π
2
为偶函数．
求正、余弦函数的单调区间
(1)下列函数，在
π
2
，π
上是增函数的是()
A．y＝sinxB．y＝cosx
C．y＝sin2xD．y＝cos2x
(2)函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围
是________．
(3)求函数y＝sin
π
6
－x
的单调递减区间．
(1)可借助于正、余弦函数的单调区间来判断；(2)可利用[－π，
10
a]为y＝cosx对应增区间子集求a范围；(3)可先化为y＝－sin
x－
π
6
后，利用复合函数在对应区间上同增异减方法来求解．
解：(1)因为y＝sinx与y＝cosx在
π
2
，π
上都是减函数，所以排除
A，B．因为
π
2
≤x≤π，所以π≤2x≤2π.
因为y＝sin2x在2x∈[π，2π]内不具有单调性，所以排除C．
(2)因为y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函
数，所以只有－π
【答案】(1)D(2)(－π，0]
(3)y＝sin
π
6
－x
＝－sin
x－
π
6
，
令z＝x－
π
6
，则y＝－sinz，
要求y＝－sinz的递减区间，只需求sinz的递增区间，
即2kπ－
π
2
≤z≤2kπ＋
π
2
，k∈Z，
∴2kπ－
π
2
≤x－
π
6
≤2kπ＋
π
2
，k∈Z，
∴2kπ－
π
3
≤x≤2kπ＋
2
3
π，k∈Z.
故函数y＝sin
π
6
－x
的单调递减区间为
2kπ－
π
3
，2kπ＋
2
3
π
(k∈Z)．
1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中
11
A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、
余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．
2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若
ω0，
ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得
与之单调性一致的单调区间；当A0时同样方法可以求得与
正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．
[再练一题]
3．求函数y＝2cos
3x－
π
4
的单调递减区间．
解：令2kπ≤3x－
π
4
≤π＋2kπ(k∈Z)，
解得
π
12
＋
2
3
kπ≤x≤
5π
12
＋
2
3
kπ(k∈Z)，
所以函数y＝2cos
3x－
π
4
的单调递减区间为
π
12
＋
2
3
kπ，
5π
12
＋
2
3
kπ
(k∈Z)．
[探究共研型]
正、余弦函数的值域与最值问题
探究1函数y＝sin
x＋
π
4
在x∈[0，π]上最小值能否为－1?
不能．因为x∈[0，π]，所以x＋
π
4
∈
π
4
，
5π
4
，由正弦函数图象
12
可知函数的最小值为－
2
2
.
探究2函数y＝Asinx＋b，x∈R的最大值一定是A＋b吗？
不是．因为A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋
b.
求下列函数的值域：
(1)y＝3－2sin2x；
(2)y＝cos
x＋
π
6
，x∈
0，
π
2
；
(3)y＝cos2x－4cosx＋5.
(1)利用－1≤sin2x≤1求解．
(2)可换元令z＝x＋
π
6
∈
π
6
，
2
3
π
，转化为求y＝cosz值域来求
解；(3)可换元，令cosx＝t，转化为一元二次函数来解决．
解：(1)∵－1≤sin2x≤1，
∴－2≤－2sin2x≤2，
∴1≤3－2sin2x≤5，
∴原函数的值域是[1，5]．
(2)由y＝cos
x＋
π
6
，x∈
0，
π
2
可得x＋
π
6
∈
π
6
，
2π
3
，
因为函数y＝cosx在区间
π
6
，
2π
3
上单调递减，所以函数的值域
为
－
1
2
，
3
2
.
13
(3)y＝cos2x－4cosx＋5，令t＝cosx，则－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
当t＝－1，函数取得最大值10；
t＝1时，函数取得最小值2，所以函数的值域为[2，10]．
[再练一题]
4．(1)函数y＝2cos
2x＋
π
6
，x∈
－
π
6
，
π
4
的值域为
________．
(2)函数f(x)＝2sin2x＋2sinx－
1
2
，x∈
π
6
，
5π
6
的值域为
________．
解：(1)∵x∈
－
π
6
，
π
4
，
∴2x＋
π
6
∈
－
π
6
，
2
3
π
，
∴cos
2x＋
π
6
∈
－
1
2
，1
∴函数的值域为[－1，2]．
(2)令t＝sinx，
∵x∈
π
6
，
5π
6
，∴
1
2
≤sinx≤1，
即
1
2
≤t≤1.
∴f(t)＝2t2＋2t－
1
2
＝2
t＋
1
2
2
－1，
t∈
1
2
，1
，且该函数在
1
2
，1
上单调递增．
14
∴f(t)的最小值为f
1
2
＝1，最大值为f(1)＝
7
2
.
即函数f(x)的值域为
1，
7
2
.
【答案】(1)[－1，2](2)
1，
7
2
[构建·体系]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若sin(60°＋60°)＝sin60°，则60°为正弦函数y＝sinx
的一个周期．()
(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周
期．()
(3)函数y＝sinx，x∈(－π，π]是奇函数．()
解：(1)×.举反例，sin(40°＋60°)≠sin40°，所以60°不是正弦函数y
＝sinx的一个周期．
(2)√.根据周期函数的定义知，该说法正确．
(3)×.因为定义域不关于原点对称．
【答案】(1)×(2)√(3)×
2．函数f(x)＝3sin
x
2
－
π
4
，x∈R的最小正周期为()
A．
π
2
B．π
C．2πD．4π
解：因为3sin
1
2
（x＋4π）－
π
4
15
＝3sin
1
2
x－
π
4
＋2π
＝3sin
1
2
x－
π
4
，即f(x＋4π)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期
为4π.
【答案】D
3．函数f(x)＝sin
x＋
π
6
的一个递减区间是()
A．
－
π
2
，
π
2
B．[－π，0]
C．
－
2
3
π，
2
3
π
D．
π
2
，
2
3
π
解：令x＋
π
6
∈
π
2
＋2kπ，
3
2
π＋2kπ
，k∈Z，
得x∈
π
3
＋2kπ，
4
3
π＋2kπ
，k∈Z，
k＝0时，区间
π
3
，
4π
3
是函数f(x)的一个单调递减区间，而
π
2
，
2
3
π
π
3
，
4π
3
.故选D．
【答案】D
4．比较下列各组数的大小：
(1)cos150°与cos170°；(2)sin
π
5
与sin
－
7π
5
.
解：(1)因为90°<150°<170°<180°，函数y＝cosx在区间[90°，
180°]上是减函数，所以cos150°>cos170°.
16
(2)sin
－
7π
5
＝sin
－2π＋
3π
5
＝sin
3π
5
＝sin
π－
2π
5
＝sin
2π
5
.
因为0<
π
5
<
2π
5
<
π
2
，函数y＝sinx在区间
0，
π
2
上是增函数，所以
sin
π
5
2π 5 ，即sin π 5 － 7π 5 . 学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．函数y＝sinx，x∈ π 6 ， 2π 3 ，则y的范围是() A．[－1，1]B． 1 2 ，1 C． 1 2 ， 3 2 D． 3 2 ，1 解：y＝sinx的图象如图所示，因为x∈ π 6 ， 2π 3 ，所以由图知 y∈ 1 2 ，1 . 【答案】B 2．函数y＝cos － 1 2 x＋ π 2 的奇偶性是() A．奇函数 B．偶函数 17 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 解：因为y＝cos － 1 2 x＋ π 2 ＝sin 1 2 x，所以为奇函数． 【答案】A 3．y＝sinx－|sinx|的值域是() A．[－1，0]B．[0，1] C．[－1，1]D．[－2，0] 解：y＝ 0，0≤sinx≤1， 2sinx，－1≤sinx<0， 因此函数的值域为[－2，0]．故选 D． 【答案】D 4．下列关系式中正确的是() A．sin11° B．sin168° C．sin11° D．sin168° 解：由诱导公式，得cos10°＝sin80°，sin168°＝sin(180°－12°)＝ sin12°，由正弦函数y＝sinx在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin 11° 即sin11° 【答案】C 18 5．函数f(x)＝2sin x－ π 3 ，x∈[－π，0]的单调递增区间是 () A． －π，－ 5π 6 B． － 5π 6 ，－ π 6 C． － π 3 ，0 D． － π 6 ，0 解：令2kπ－ π 2 ≤x－ π 3 ≤2kπ＋ π 2 ，k∈Z， 解得2kπ－ π 6 ≤x≤2kπ＋ 5 6 π，k∈Z， 又－π≤x≤0，∴－ π 6 ≤x≤0，故选D． 【答案】D 二、填空题 6．函数f(x)＝3sin 2x－ π 6 在区间 0， π 2 上的值域为________. 解：由0≤x≤ π 2 ，得0≤2x≤π，于是－ π 6 ≤2x－ π 6 ≤ 5π 6 ，所以 － 1 2 ≤sin 2x－ π 6 ≤1，即－ 3 2 ≤3sin 2x－ π 6 ≤3. 【答案】 － 3 2 ，3 7．若已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝sin2x＋cosx．则 x<0时，f(x)＝__________． 解：当x0，∴f(－x) ＝sin(－2x)＋cos(－x)， 19 ∴f(－x)＝－sin2x＋cosx. ∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－[－sin2x＋cosx]＝sin2x－cosx. 【答案】sin2x－cosx 三、解答题 8．求下列函数的值域 (1)y＝2sin 2x＋ π 3 ，x∈ － π 6 ， π 6 ； (2)f(x)＝1－2sin2x＋2cosx. 解：(1)∵－ π 6 ≤x≤ π 6 ，∴0≤2x＋ π 3 ≤ 2π 3 ， ∴0≤sin 2x＋ π 3 ≤1，∴0≤2sin 2x＋ π 3 ≤2， ∴原函数的值域为[0，2]． (2)f(x)＝1－2sin2x＋2cosx＝2cos2x＋2cosx－1＝2 cosx＋ 1 2 2 － 3 2 ， ∴当cosx＝－ 1 2 时，f(x)min＝－ 3 2 ， 当cosx＝1时，f(x)max＝3， ∴该函数值域为 － 3 2 ，3 . 9．已知函数f(x)＝2cos π 3 － x 2 . 20 (1)求f(x)的最小正周期T； (2)求f(x)的单调递增区间． 解：(1)由已知f(x)＝2cos π 3 － x 2 ＝2cos x 2 － π 3 ， 则T＝ 2π ω ＝4π. (2)当2kπ－π≤ x 2 － π 3 ≤2kπ(k∈Z)， 即4kπ－ 4π 3 ≤x≤4kπ＋ 2π 3 (k∈Z)时， 函数f(x)单调递增， ∴函数f(x)的单调递增区间为 4kπ－ 4π 3 ，4kπ＋ 2π 3 (k∈Z)． [能力提升] 1．(2016·安庆期末)关于函数f(x)＝4sin 2x＋ π 3 (x∈R)，有下列命题： ①函数y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos 2x－ π 6 ； ②函数y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数y＝f(x)的图象关于点 － π 6 ，0 对称； ④函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－ π 6 对称． 其中正确的是() 21 A．②③B．①③ C．①④D．②④ 解：函数f(x)的最小正周期为π，故②错； f(x)＝4sin 2x＋ π 3 ＝4cos π 2 － 2x＋ π 3 ＝4cos π 6 －2x ＝4cos 2x－ π 6 ， 故①正确； 由f － π 6 ＝4sin 2× － π 6 ＋ π 3 ＝0， 知函数y＝f(x)的图象关于点 － π 6 ，0 对称， 不关于直线x＝－ π 6 对称， 故③正确，④错误． 【答案】B 2．(2016·常州高一检测)若函数f(x)＝sinωx(0<ω<2)在区间 0， π 3 上单调递增，在区间 π 3 ， π 2 上单调递减，则ω等于 ________． 解：根据题意知f(x)在x＝ π 3 处取得最大值1， ∴sin ωπ 3 ＝1， ∴ ωπ 3 ＝2kπ＋ π 2 ，k∈Z， 22 即ω＝6k＋ 3 2 ，k∈Z. 又0<ω<2，∴ω＝ 3 2 . 【答案】 3 2 3．设函数f(x)＝asin 2x＋ π 3 ＋b. (1)若a>0，求f(x)的单调递增区间； (2)当x∈ 0， π 4 时，f(x)的值域为[1，3]，求a，b的值． 解：(1)由于a>0， 令2kπ－ π 2 ≤2x＋ π 3 ≤2kπ＋ π 2 ，k∈Z， 得kπ－ 5π 12 ≤x≤kπ＋ π 12 ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间是 kπ－ 5π 12 ，kπ＋ π 12 ，k∈Z. (2)当x∈ 0， π 4 时， π 3 ≤2x＋ π 3 ≤ 5π 6 ， 则 1 2 ≤sin 2x＋ π 3 ≤1， 由f(x)的值域为[1，3]知： a>0， a＋b＝3， 1 2 a＋b＝1 a＝4， b＝－1； 23 或 a<0， a＋b＝1， 1 2 a＋b＝3 a＝－4， b＝5. 综上得： a＝4， b＝－1 或 a＝－4， b＝5.