二次函数的解析式

二次函数的解析式

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2023年2月28日发(作者：气流纺纱)

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专业DOC资料.

二次函数的解析式求法

求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考

试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。

一、三点型

例1已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函

数的解析式是_______。

分析已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax

2

+bx+c,将三个点的坐标代

入，易得a=2,b=-3,c=5。故所求函数解析式为y=2x

2

-3x+5.

这种方法是将坐标代入y=ax

2

+bx+c后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系

数a,b,c,进而获得解析式y=ax

2

+bx+c.

二、交点型

例2已知抛物线y=-2x

2

+8x-9的顶点为A，若二次函数y=ax

2

+bx+c的图像经过A点，

且与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。

分析要求的二次函数的图象与x轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x

2

+8x-9

的顶点A（2，-1）。将A点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=

2

1

∴y=

2

1

x(x-3),即y=

xx

2

3

2

1

2

.

三、顶点型

例3已知抛物线y=ax

2

+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。

分析此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)

2

+k.在本题中可设y=a(x+1)

2

+4.

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再将点(1,2)代入求得a=-

2

1

∴y=-

,4)1(

2

1

2x

即y=-

.2

7

2

1

2xx

由于题中只有一个待定的系数a，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。

四、平移型

例4二次函数y=x

2

+bx+c的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函

数

,122xxy

则b与c分别等于

(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.

分析逆用平移分式，将函数y=x

2

-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移

两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。

∴y=x

3)3(22xcbx

=x

.662x

∴b=-6,c=6.

因此选（B）

五、弦比型

例5已知二次函y=ax

2

+bx+c为x=2时有最大值2，其图象在X轴上截得的线段长为

2，求这个二次函数的解析式。

分析弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=

a



就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A（1，0），B（3，0）。再应用交点式或顶点式求得

解析式为y=-2x

2

+8x-6.

六、识图型

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例6如图1，抛物线y=

cxbx)2(

2

1

2

与y=

dxbx)2(

2

1

2

其中一条的顶点为P，

另一条与X轴交于M、N两点。

（1）试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点？

（2）求两条抛物线的解析式。

解（1）抛物线y=

cxbx)2(

2

1

2

与x轴交于M，N两点

（过程从略）；

（2）因y=

dxbx)2(

2

1

2

的顶点坐标为（0，1），

∴b-2=0,d=1,∴b=2.

∴Y=

1

2

1

2x

.

将点N的坐标与b=2分别代入y=

2

2

1

x

+(b+2)x+c得c=6.

∴y=

2

2

1

x

+4x+6

七、面积型

例7已知抛物线y=x

cbx2

的对称轴在y轴的右侧，且抛物线与y轴交于Q（0，-3），

与x轴的交点为A、B，顶点为P，ΔPAB的面积为8。求其解析式。

解将（0，-3）代入y=

cbxx2

得c=-3.

由弦长公式，得

122bAB

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点P的纵坐标为

4

122b

由面积公式，得

.8

4

12

12

2

12

2





b

b

解得

.2b

因对称轴在y轴的右侧,∴b=-2.

所以解析式为y=

322xx

八、几何型

例8已知二次函数y=

2x

-mx+2m-4如果抛物线与x轴相交的两个交点以及抛物线的

顶点组成一个等边三角形，求其解析式。

解由弦比公式，得AB=

4)42(42mmm

顶点C的纵坐标为-

4

)4(2m

∵ΔABC为等边三角形

∴

43

2

1

4

)4(2





m

m

解得m=4

,32

故所求解析式为

y=

,344)324(2xx

或y=

344)324(2xx

九、三角型

例9已知抛物线y=

cbxx2

的图象经过三点（0，

25

12

）、（sinA，0）、（sinB，0）且

A、B为直角三角形的两个锐角，求其解析式。

解∵A+B=90

0

，∴sinB=cosA.

则由根与系数的关系，可得

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









cAA

bAA

cossin

cossin

将（0，

25

12

）代入解析式，得c=

.

25

12

（1）

2)2(2

,得

,1

25

24

2b

∴

5

7

b

∵-b

,0

∴b=-

5

7

所以解析式为y=

25

12

5

7

2xx

十、综合型

例10如图2，已知抛物线y=-

qpxx2

与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点，

若∠ACB=90

0

，且tg∠CAO-tg∠CBO=2，求其解析式．

解设A，B两点的横坐标分别为x21

,x

,则q=(-x

.)

21

OBOAx

由ΔAOC～ΔCOB，可得OC

2

=OA·OB，

∴q

2

=q解得q1=1,q2=0（舍去），

又由tg∠CAO-tg∠CBO=2得

2

OB

OC

OA

OC

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即

2

11

21



XX

∴x1+x2=-2x1x2即p=2p=2

所以解析式为y=-x

2

+2x+1

函数及其图象

例1.二次函数性质的应用

例2.利用二次函数性质求点的坐标

例3.求二次函数解析式

例4.求二次函数解析式

二、同步测试

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三、提示与答案

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例6.已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，对称轴是直线x=-1

(1)确定a.b.c.b2-4ac的符号，

(2)求证a-b+c＜o;

(3)当x取何值时，y随x值的增大而减小。

解：(1)由抛物线开口向上，得出a＞0，由抛物线与y轴交点坐标为(O，C)，而此点在x轴下

方，得出c＜0，又由抛物线的对称轴是x=-1，在y轴左侧，得出b与a同号∴b＞0。

抛物线与x轴有两个交点，即ax2+bc+c=0有两个不等的实根，∴b2-4ac＞0

(2)当x=-1时，y=a-b+c＜0

(3)当x＜-1时，y随x值的增大而减小。

例7.已知y是x的二次函数，且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位，当x=3时，y取得

最小值-2。(1)求这个二次函数的解析式(2)若此函数图象上有一点P，使ΔPAB的面积等于12

个平方单位，求P点坐标。

分析：由已知可得抛物线的对称轴是直线x=3，根据抛物线的对称性，又由抛物线在x轴上截

得线段AB的长是4，可知其与x轴交点为(1，0)，(5,0)

解：(1)∵当x=3时y取得最小值-2.即抛物线顶点为(3，-2).∴设二次函数解析式为

y=a(x-3)2-2

又∵图象在x轴上截得线段AB的长是4，∴图象与x轴交于(1，0)和(5，0)两点

∴a(1-3)2-2=0∴a=

∴所求二次函数解析式为y=x2-3x+

(2)∵ΔPAB的面积为12个平方单位，｜AB｜=4

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∴×4×｜Py｜=12∴｜Py｜=6∴Pg=±6

但抛物线开口向上，函数值最小为-2，∴Py=-6应舍去，∴Pg=6又点P在抛物线上，

∴6=x2-3x+

x1=-1,x2=7

即点P的坐标为(-1，6)或(7，6)

说明：此题如果设图象与x轴交点横坐标为x1，x2，运用公式｜x1-x2｜=，会使运算繁琐。这

里利用抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标，比较简便。

例8.如图，矩形EFGH接于ΔABC。E、F在AC边上H、G分别在AB、BC边上，AC=8cm,高BD=6cm,

设矩形的宽HE为x(cm)。试求出矩形EFGH的面积y(cm2)与矩形EFGH的宽x(cm)间的函数关系

式，并回答当矩形的宽取多长时，它的面积最大，最大面积是多少?

解：∵四边形EFGH是矩形

∴HG∥AC

∴ΔABC∽ΔHBG

设BD交HG于M

则BD与BM分别是ΔABC和ΔHBG的高。

∴

∵HG∥AC,

∴MD=HE=x,BM=6-x

∴,

∴HG=

∵y=S矩形EFGH=HE*HG

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∴y=x*

整理得y=-x2+8x

∵BD=6

∴自变量x的取值围是0＜x＜6

∵x2的系数为-＜0，

∴y有最大值

当x=-=3时，

y最大值==12

∴所求函数的解析式为y=-x2+8x(0＜x＜6)，当它的宽为3cm时，矩形EFGH面积最大，最

大面积为12cm2。

例9.二次函数y=ax2+bx-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y轴相交于点B，设x1,x2

是方程ax2+bx-5=0的两个根，且x12+x22=26,又设二次函数图象顶点为A，

(1)求二次函数的解析式

(2)求原点O到直线AB的距离

解(1)如图

∵-=3∴-=6

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又x1+x2=-=6

x1*x2=-

由已知，有x12+x22=26，

∴(x1+x2)2-2x1x2=26

即(-)2+=26,=26-36

解得a=-1

∴解析式为y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4

(2)∵OB=5,OC=4,AC=3

∴AB==3

又OA==5

∴ΔAOB为等腰三角形，作OD⊥AB于D，

∴BD=

∴OD=,

即原点O到直线AB的距离为

三、同步测试：

选择题：

1.如果点P(3m-p,1-m)是第三象限的整数点，那么P点坐标是()

(A).(-2，-1)(B)(-3，-1)(C)(-3，-2)(D)(-4，-2)

2.若点P(a,b)在第二、四象限两轴夹角平分线上，则a与b的关系是()

(A)a=b(B)a=-b(C)a=｜b｜(D)｜a｜=b

3.点P(x,y)在第二象限，且｜x｜=2，｜y｜=3,则点P关于x轴对称点的坐标为()

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(A)(-2，3)(B)(2，-3)(C)(-2，-3)(D)(2，3)

4.函数y=中，自变量x的取值围是()

(A)x≤2(B)x＜2(C)x≠2(D)x＞2

5.函数y=中，自变量x的取值围是()

(A)x＞-2且x≠1(B)x≥-2且x≠1

(C)x≥-2且x≠±1(D)x≥-2或x≠±1

6.在下列函数中，成正比例函数关系的是()

(A)圆的面积与它的周长

(B)矩形面积是定值，矩形的长与宽

(C)正方形面积与它的边长

(D)当底边一定时，三角形面积与底边上的高

7.函数y=k(x-1)与y=(k＜o)在同一坐标系下的图象大致如图()

8.如果直线y=kx+b的图象过二、三、四象限，那么()

(A)k＞0,b＞0(B)k＞0，b＜0

(C)k＜0，b＞0(D)k＜0，b＜0

9.对于抛物线y=-+x-x2，下列结论正确的是()

(A)开口向上，顶点坐标是(，0)

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(B)开口向下，顶点坐标是(，0)

(C)开口向下，顶点坐标是(-，)

(D)开口向上，顶点坐标是(-，-)

10.若a＞0,b＜0则函数y=ax2+bx的图象是下面图中的()

11.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则()

(A)a＞0,b＞0,c＞0,Δ＜0

(B)a＜0,b＞0,c＜0,Δ＞0

(C)a＞0,b＜0,c＜0,Δ＞0

(D)a＜0,b＜0,c＞0,Δ＜0

12.把函数y=2x2-4x-5的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得到的函数图象

的解析式为()

(A)y=2x2+4x-8(B)y=2x2-8x+8

(C)y=2x2+4x-2(D)y=2x2-8x-2

填空题

13.点A(，-5)到x轴的距离是____；到y轴的距离是____；到原点的距离是____.

14.直线y=kx+b与直线y=-x平行，且通过点(2，-3)，则k=__，在y轴上的截距为___.

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15.一次函数的图象经过(1，-5)点且与y轴交于(0，-1)点，则一次函数的解析式为____.

16.已知抛物线的顶点为M(4，8)且经过坐标原点，则抛物线所对应的二次函数的解析式为____.

解答题：

17.一次函y=x+分别与x轴，y轴交于点A，B，点C(0,a)且a＜0，若∠BAC为直角，求图象过

点C与点A的一次函数解析式。

18.已知如图，在ΔABC中，AB=4，AC=6,D是AB边上一点，E是AC边上一点，∠ADE=∠C,设

DB=x,AE=y。

(1)求出y与x的函数关系式；

(2)画出这个函数图象。

19.在直角坐标系xoy中，直线l过点(4，0)，且与x，y轴围成的直角三角形面积为8，一个

二次函数图象过直线l与两坐标轴的交点，且以x=3为对称轴，开口向下。求二次函数的解析

式及函数的最大值。

20.已知抛物线y=x2-mx+(2m+3)(m是不小于-2的整数)与x轴相交于A、B两点，且A、B两点间

的距离恰是顶点到y轴距离的2倍。

(1)求这条抛物线的函数解析式；

(2)如果D(t,2)是抛物线上一点且在第一象限，求D点坐标。

四.提示与答案

1.B2.B3.C4.B5.C6.D7.A8.D

9.B10.C11.B12.A13.5，3，2

14.-，-215.y=-4x-116.y=-x2+4x

17.y=-x-

18.(1)y=-x+(0≤x＜4)；(2)图略

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19.y=-x2+3x-4,最大值为.

20.(1)y=x2+2x-1;(2)D(1,2)

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