函数的基本公式
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2023年2月27日发(作者：管件连接)１.基本初等函数求导公式
(1)
0)(
C
(2)
1)(
xx
(3)
xxcos)(sin
(4)
xxsin)(cos
(5)
xx2sec)(tan
(6)
xx2csc)(cot
(7)
xxxtansec)(sec
(8)
xxxcotcsc)(csc
(9)
aaaxxln)(
(10)
(e)exx
(11)
ax
x
aln
1
)(log
(12)
x
x
1
)(ln
，
(13)
21
1
)(arcsin
x
x
(14)
21
1
)(arccos
x
x
(15)
2
1
(arctan)
1
x
x
(16)
2
1
(arccot)
1
x
x
函数的和、差、积、商的求导法则
设
)(xuu
，
)(xvv
都可导，则
（1）
vuvu
)(
（2）
uCCu
)(
（
C
是常数）
（3）
vuvuuv
)(
（4）
2v
vuvu
v
u
反函数求导法则
若函数
)(yx
在某区间
y
I
内可导、单调且
0)(
y
，则它的反函数
)(xfy
在对应
区间x
I
内也可导，且
)(
1
)(
y
xf
或
dy
dx
dx
dy1
复合函数求导法则
设
)(ufy
，而
)(xu
且
)(uf
及
)(x
都可导，则复合函数
)]([xfy
的导数为
dydydu
dxdudx
或
()()yfux
２.双曲函数与反双曲函数的导数.
双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导
公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式：
(sh)chxx
(ch)shxx
2
1
(th)
ch
x
x
2
1
(arsh)
1
x
x
2
1
(arch)
1
x
x
2
1
(arth)
1
x
x
三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则
从函数的微分表达式:
d()dyfxx
可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分．因此，可得如下的
微分公式和微分运算法则．
1．基本初等函数的微分公式
由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式．为了便于对照，列
表于下：
导数公式微分公式
1)(
xx
xxcos)(sin
xxsin)(cos
1d()dxxx
d(sin)cosdxxx
d(cos)sindxxx
xx2sec)(tan
xx2csc)(cot
xxxtansec)(sec
xxxcotcsc)(csc
aaaxxln)(
xxee
)(
ax
x
aln
1
)(log
x
x
1
)(ln
21
1
)(arcsin
x
x
21
1
)(arccos
x
x
21
1
)(arctan
x
x
2
1
(arccot)
1
x
x
2d(tan)secdxxx
2d(cot)cscdxxx
d(sec)sectandxxxx
d(csc)csccotdxxxx
d()lndxxaaax
d(e)edxxx
1
d(log)d
lna
xx
xa
1
d(ln)dxx
x
2
1
d(arcsin)d
1
xx
x
2
1
d(arccos)d
1
xx
x
2
1
d(arctan)d
1
xx
x
2
1
d(arccot)d
1
xx
x
2．函数和、差、积、商的微分法则
由于函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则．为了便于对照，列成下表（表
中
)(),(xvvxuu
都可导）．
函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则
vuvu
)(
uCCu
)(
vuvuuv
)(
2
)(
v
vuvu
v
u
d()dduvuv
d()dCuCu
d()dduvvuuv
2
dd
d()
uvuuv
vv
现在我们仅证明乘积的微分法则.
3.复合函数的微分法则（一阶微分形式的不变性）
一阶微分形式不变性：设
f
是可微函数，
)(ufy
，则无论
u
是自变量，或是另一个变量
x
的可微函数，都同样有
d()dyfuu
．
4．例题
例3
)12sin(xy
，求
dy
．
例4
2ln(1e)xy
，求
dy
．
例5
13ecosxyx
，求
dy
．
例6在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立．
(1)
ddxx
;
(2)
dcosdtt
.