反函数概念

反函数概念

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2023年2月27日发(作者：主管护师题库)

第5讲：反函数

【复习要求】

1、理解反函数的意义，会求一些函数的反函数。

2、经历探索互为反函数的两个函数图像之间关系的过程，掌握利用)(xfy与

)(1xfy的性质解决一些问题．

【教学重点】

反函数的求法，反函数与原函数的关系．

【知识要点】

1、反函数的概念：对于函数()yfx，设它的定义域为D，值域为A，对应法则为f，

如果对于每一个yA值，都有唯一的xD，满足()fxy，这样得到的x关于y的函

数叫做()yfx的反函数，记作1()yfx

，〔xA〕。

2、求反函数的一般步骤：〔1〕解出x；〔2〕互换x、y；〔3〕写出反函数的定义域〔即

原函数的值域〕。

注：求分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。

3、反函数的性质：

〔1〕．互为反函数的两个函数的图象关于直线y=*对称；即：)()(1bfaafb

两个互为反函数的图像如果有交点，它们的交点不一定都在直线y＝*上

〔2〕．具有单调性的函数必有反函数，且他们的单调性一样。但反之不一定成立。

〔3〕．互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有一样的单调性．

〔4〕．一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f(*)=a(*=0)它的

反函数是f(*)=0(*=a)这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。假设一个奇函数

存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

〔5〕．函数y=f(*)的定义域是它的反函数1()yfx的值域；函数y＝f(*)的值域是它的反

函数1()yfx的定义域．

〔6〕．假设y=f(*)(*∈A)，1()yfx与(*∈C)互为反函数，则有

1(())ffxx(xC)1(())ffxx(xA)

〔7〕．*=f(y)与1()yfx是同一函数，因为它们的定义域、值域对应一样(都分别是原来

函数的值域和定义物)，对应法则一样；

〔8〕．()yfxa的反函数1()fxa；()fkxb的反函数为：

1()fxb

y

k



；

【典型例题】

类型1：判断一个函数是否存在反函数

例1、“函数()yfx在定义域上是单调函数〞是“函数()yfx有反函数〞的充分不必要条

件。

例2、判断以下说法是否正确，并说明理由。

〔1〕奇函数一定有反函数。〔错，反例：三角函数〕

〔2〕偶函数一定没有反函数。〔错，反例：f(*)=0〕

〔3〕原函数与其反函数交点必在直线yx上。〔错反例：

1

y

x

〕

例3、判断以下函数是否存在反函数：

〔1〕yx〔无〕

〔2〕245,1,3yxxx〔有〕

（3）

2,1

4,1

xx

y

x













〔无〕

例4、函数()yfx〔定义域为D，值域为A〕有反函数1()yfx

，则方程()0fx有

解xa，且()()fxxxD的充要条件是1()yfx

满足

)()()0(11Axxxfaf且。

类型2：怎样求简单函数的反函数

例5、求以下函数的反函数：

〔1〕23(1)yxxx

〔2〕

1(10)

(01)

xx

y

xx

















〔3〕

2

3

940,

2

yxx













12

1

()9([3,0])

2

fxxx

类型3：互为反函数的两个函数的图像的对称性的应用

例6、解决以下有关反函数性质的相关问题：

〔1〕、假设函数

1

2

3

yxaybx和互为反函数，则a

3

2

，b3。

〔2〕、函数

21

3

x

y

x







的反函数的图象关于点〔-2，-3〕对称。

〔3〕、函数1

1(10)

1

(),()

(01)

3

xx

fxf

xx















求的值。〔

3

2

〕

〔4〕、函数()ygx的图像与()1fxax的图像关于直线yx对称，假设()ygx的

图像过点(2,4)，则(1)ga的值为__________；

答案：

31

()1

44

ag

例7、函数

11

(,)

1

ax

yxxR

axa







的图象关于yx对称，求

a

的值．

解：由

11

(,)

1

ax

yxxR

axa







得

1

(1)

(1)

y

xy

ay







，

∴1

1

()(1)

(1)

x

fxx

ax









，

由题知：1()()fxfx，

11

(1)1

xax

axax







，∴1a

例8、假设(2,1)既在

()fxmxn

的图象上，又在它反函数图象上，求,mn的值．

解：∵(2,1)既在

()fxmxn

的图象上，又在它反函数图象上，

∴

(1)2

(2)1

f

f











，∴

2

21

mn

mn















，∴

3

7

m

n











类型4：怎样求复合函数的反函数

例9、(1)

1

x

fx

x





，求1(1)fx

【解】11

111

(1)()()(1)()

11

xx

fxfxfxxfx

xxxx









例10、设

23

()

4

x

fx

x







，函数()ygx的图像与函数1(1)yfx

的图像关于直线yx

对称，求(3)g的值。

【答案】〔-10〕

例11、〔1〕函数

3

()(0)

3

xx

fx

x



，求1()

3

x

f；

（2）函数1()(01)xfxabbb＞，的图像经过点1,3，函数1()(0)fxax＞的图

像经过点4,2，试求函数1()fx的表达式；

【解】〔1〕先求()fx，再求1()fx，最后求1()

3

x

f得，1

3

()

33

x

f

x





；

〔2〕1

4

2,4,()log(2)1(2)abfxxx＞

类型10：有关反函数的综合问题

例12、2

1

()()(1)

1

x

fxx

x







，

〔1〕求()fx的反函数1()fx；

〔2〕假设不等式1(1)()()xfxaax，对一切

11

,

42

x









恒成立，求a的取值

围。

解：〔1〕)1,0(,

1

1

)(1





x

x

x

xf

〔2〕依题意得：1()xaax对















2

1

,

4

1

x恒成立

即：

0)1()1(2axa对















2

1

,

4

1

x恒成立

令















2

2

,

2

1

tx，则

0)1()1(2ata

对













2

2

,

2

1

t恒成立

设)1()1()(2atatg

当1a时，0)(tg，舍；

当1a时，



















0)

2

2

(

0)

2

1

(

g

g

得：)

2

3

,1(a

*例13、

21

()()

21

x

x

a

fxaR







，是R上的奇函数．

（1）求

a

的值；

（2）求()fx的反函数；

（3）对任意的(0,)k解不等式1

2

1

()log

x

fx

k





．

解〔1〕由题知(0)0f，得1a，此时

21212112

()()0

21212112

xxxx

xxxx

fxfx











，

即()fx为奇函数．

〔2〕∵

212

1

2121

x

xx

y







，得

1

2(11)

1

x

y

y

y







，∴1

2

1

()log(11)

1

x

fxx

x









．

〔3〕∵1

2

1

()log

x

fx

k





，∴

11

1

11

xx

xk

x



















，∴

1

11

xk

x











，

①当02k时，原不等式的解集{|11}xkx，

②当2k时，原不等式的解集{|11}xx

【课后练习】

A组

1．函数

121

(,)

122

且

x

yxRx

x







的反函数是(D)

A．

121

(,)

122

且

x

yxRx

x







B．

121

(,)

122

且

x

yxRx

x







C．

1

(,1)

2(1)

且

x

yxRx

x







D．

1

(,1)

2(1)

且

x

yxRx

x







2．函数(0)yxx的反函数是(B)

A．20yxxB．20yxxC．20yxxD．20yxx

3．函数2()23fxxax在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是(D)

A．a∈(-∞,1]B．a∈[2,+∞)C．a∈[1,2]D．a∈(-∞,1]∪[2,+∞]

4．函数211(10)yxx的反函数图像是(C)

5．

假

设

函

数

()yfx

是

函数1（0，且）xyaaa的反函数，且(2)1f，则()fx(A)

A．

2

logxB．

1

2x

C．

1

2

logxD．2

2x

x

y

1

1

O

A．

x

y

1

1

O

D．

x

y

1

1

O

C．

x

y

1

O1

B．

6．函数

2

1

2

4,0

()

4,0

xxx

fx

xxx



















,假设2(2)(),fafa则实数a的取值围是(C)

A．(,1)(2,)B．(1,2)C(2,1)D(,2)(1,)

7．设函数f(*)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数1()fx,f(4)=0,则1(4)f=-2

8．假设f(*)为一次函数,且11[()]2530ffxx,则

f(*)=()1

5

x

fxxRor

3

()

52

x

fxxR

9．假设

211

()(,)

2

x

fxxaa

xa







的反函数为自身,则a=-2

10．)(xf=

21

1

x

(*<-1)，则)

3

1

(1f=-2

11．函数

cx

bax

y





的反函数是

2

13







x

x

y(*∈R,*≠2)，求a,b,c的值．

a=2,b=1,c=-3．

12．函数12

(),

1

x

fxygx

x







的图象与1(1)yfx的图象关于直线y=*对称,求

1

2

g







的值．

提示：111

1211

(),()(1)()

12233

xxxx

fxygfxfxgx

xxxx















法2:由题设知1(1)fx的反函数g(*)，又1(1)fx的反函数为f(*)-1∴g(*)=f(*)-1∴

11

11

22

gf









B组

1．知函数3()2xfx，1()fx是()fx的反函数，假设16(,)mnmnR，则

11()()fmfn________；

【答案】-2

2．假设lglg0ab〔其中1,1ab〕，则函数xfxa与xgxb的图像关于

对称．

【答案】y轴

3．设函数yfx的反函数为1yfx，且21yfx的图像经过点

1

,1

2







，则

yfx的反函数的图像必过点〔〕

A、

1

,1

2







B、

1

1,

2







C、1,0D、0,1

【答案】C

4．函数fx存在反函数1fx，假设

1

yf

x









过点2,3，则函数1

1

f

x









恒过点

〔〕

A、3,2B、

11

,

23







C、

11

,

32







D、

1

,2

3







【答案】C

5．函数



2

20,

1,0

xax

y

xx

















是否存在反函数，假设存在，请求出来；假设不存在，

请

说明理由．

【答案】略

6．求与函数baxfy)(的图象关于直线xy对称的图象所对应的函数．

【答案】由baxfy)(可得byaxf)(，即)(1byfax，即

abyfx)(1所求函数abxfy)(1

7．函数1yfx是yfx的反函数，定义：假设对给定的实数0aa，函数

yfxa与1yfxa互为反函数，则称yfx满足“

a

和性质〞；假设函数

yfax与1yfax互为反函数，则称yfx满足“

a

积性质〞．

（1）判断函数210gxxx是否满足“1和性质〞，并说明理由；

（2）求所有满足“2和性质〞的一次函数；

（3）设函数0yfxx对任何0a，满足“

a

积性质〞，求yfx的表

达式．

【答案】〔1〕不满足；〔2〕yxbbR；〔3〕0

k

fxk

x

