八个放缩公式
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2023年2月26日发(作者：文件签收登记表)仅供个人参考
不得用于商业用途
大学中常用不等式,放缩技巧
大学中常用不等式,放缩技巧
一：一些重要恒等式
ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6
ⅱ:13+23+…+n3=(1+2+…+n)2
Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sina
ⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n)(0<a<1)
ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）
cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)
cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
ⅵ:欧拉等式e∏i=-1(i是虚数，∏是pai)
ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）
二重要不等式
1:绝对值不等式
︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)
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2：伯努利不等式
（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)
3：柯西不等式
(∑aibi)2≤∑ai2∑bi2
4:︱sinnx︱≤n︱sinx︱
5;(a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)
(a+b)p≤ap+bp(0<p<1)
(a+b)p≥ap+bp(p>1)
6:(1+x)n≥1+nx(x>-1)
7:切比雪夫不等式
若a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn
∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi
若a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn
∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi
三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)
1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；
2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;
3：n！<【(n+1/2)】n
4：nn+1>(n+1)nn！≥2n-1
5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n
6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x
7：(2/∏)x≤sinx≤x
8:均值不等式我不说了（绝对的重点）
9：（1+1/n）n<4
四：一些重要极限
仅供个人参考
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(书上有，但这些重要极限需熟背如流)
假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，
活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，
所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面
首先对极限的总结如下
极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致
1极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是
一般极限的一种）
2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）
1等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用
但是前提是必须证明拆分后极限依然存在
）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记
（x趋近无穷的时候还原成无穷小）
2LHopital法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！
必须是X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情
况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件
（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）
必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接
用无疑于找死！！）
必须是0比0无穷大比无穷大！！！！！！！！！
当然还要注意分母不能为0
LHopital法则分为3中情况
10比0无穷比无穷时候直接用
20乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷
大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了
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30的0次方1的无穷次方无穷的0次方
对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数
移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx
两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候
LNX趋近于0）
3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变
注意！！！！）
E的x展开sina展开cos展开ln1+x展开
对题目简化有很好帮助
4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法
取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！
看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！
5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这
个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！
6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）
8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）
可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极
限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值
不变化
102个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx
与x比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都
有对有对应的形式
（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1的时候要特别注意
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可能是用地2个重要极限）
11还有个方法，非常方便的方法
就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！
x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函
数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!
当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了
12换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中
13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的
14还有对付数列极限的一种方法，
就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是
从0到1的形式。
15单调有界的性质
对付递推数列时候使用证明单调性！！！！！！
16直接使用求导数的定义来求极限，
（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见
了有特别注意）
（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定
义！！！！）
（从网上发现，谢谢总结者)
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一：一些重要恒等式
ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6
ⅱ:13+23+…+n3=(1+2+…+n)2
Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sina
ⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n)(0<a<1)
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ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）
cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)
cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
ⅵ:欧拉等式e∏i=-1(i是虚数，∏是pai)
ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）
二重要不等式
1:绝对值不等式
︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)
2：伯努利不等式
（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)
3：柯西不等式
(∑aibi)2≤∑ai2∑bi2
4:︱sinnx︱≤n︱sinx︱
5;(a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)
(a+b)p≤ap+bp(0<p<1)
(a+b)p≥ap+bp(p>1)
仅供个人参考
不得用于商业用途
6:(1+x)n≥1+nx(x>-1)
7:切比雪夫不等式
若a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn
∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi
若a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn
∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi
三：常见的放
缩(√是根号)(均用数学归纳法证)
1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；
2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;
3：n！<【(n+1/2)】n
4：nn+1>(n+1)nn！≥2n-1
5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n
6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x
7：(2/∏)x≤sinx≤x
8:均值不等式我不说了（绝对的重点）
9：（1+1/n）n<4
四：一些重要极限
(书上有，但这些重要极限需熟背如流)
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仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.
NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.
Pourl'étudeetlarechercheuniquementàdesfinspersonnelles;pasàdesfinscommerciales.
толькодлялюдей,которыеиспользуютсядляобучения,исследованийинедолжны
использоватьсявкоммерческихцелях.
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