极限存在

极限存在

-mu567

2023年2月23日发(作者：校友帮)

经济数学

课次1/2授课日期9.26-9.30编号02

基本课题极限的定义

教学目的

知道极限的描述性定义；熟练掌握求简单函数的极限；熟练掌握极限存在的充要条

件；理解无穷小与无穷大定义，理解无穷小与无穷大的关系。

重

点

函数极限的定义；极限存在

的充要条件；无穷小的定义

难

点

极限存在的充要条件；无穷小与无穷大

的关系

课

型

新授课

学

时

2

教学过程时间分配教学方法能力培养

一、函数的极限

1.自变量趋于无穷的情形

定义1

例题求

1

lim

xx

定义2

例题求

1

lim

xx

定义3

定理1

2.自变量趋于有限值

0

x的情形

定义4

注意：

例题

定义5

定义6

定理2

例题

练习：

45min引导，讲授

在极限教学中,引导学

生从数学角度认真分

析极限定义中变量的

变化特征与内在联

系，辩证剖析变与不

变、具体与抽象、有限

与无限、近似与精确等

对立统一规律,使学生

认识和理解极限思想,

培养学生科学的辩证

思维和世界观。

二、无穷小量

1.无穷小量的定义

定义1

注：

2．无穷小的运算性质

性质1

性质2

例1

练习求

1

limcos

x

x

x

性质3

三、无穷大量

1.无穷大量的定义

定义2

注意：

2.无穷大与无穷小的关系

定理2

45min讲授

让学生充分体会比

较无穷小在实际生

活中和数学中的不

同含义，培养学生

的思维发散能力。

作业：习题2-21.2.3

课后记：

【教学过程】:

一、函数的极限

1.自变量趋于无穷的情形

自变量趋于无穷可分为趋于正无穷和负无穷，先讨论当x时，函数的极限。

定义1设函数aaxfy(),()(在为某个实数)内有定义，如果当自变量x无限增大时，相

应的函数值)(xf无限接近于某一个固定的常数

A

，则称

A

为x（读作“x趋于正无穷”）

时函数)(xf的极限，

记作Axf

x





)(lim或)()(xAxf

例题求

1

lim

xx

由图像可知，当x趋于正无穷时，

1

x

趋于零，故

1

lim

xx

＝0

定义2设函数()yfx在(-,a)(a为某个实数)内有定义，如果当自变量x无限增大且

0x

时，相应的函数值()fx无限接近于某一个固定的常数

A

，则称

A

为x（读作“

x

趋

石家庄财经职业学院

于负无穷”）时函数()fx的

极限，记作lim()

x

fxA



或)()(xAxf

例题求

1

lim

xx

由图像可知，当x趋于负无穷时，

1

x

趋于零，故

1

lim

xx

＝0

定义3设函数)(xfy在

bx

b(为某个正实数)时有定义，如果当自变量x的绝对值

无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数

A

，则称

A

为x（读作“x趋于无

穷”）时函数)(xf的极限

记作Axf

x





)(lim或)()(xAxf

由上述两个例题可知，

1

lim0

xx

，同理可证，

2

1

lim0

xx



定理1当x时，函数()fx的极限存在的充分必要条件是当x时和x时函

数()fx的极限都存在而且相等。即

lim()

x

fxA





的充分必要条件是

lim()lim()

xx

fxfxA





．

2.自变量趋于有限值

0

x的情形

引例对于函数

21

()

1

x

fx

x







，如图

当

1x

时,

21

()

1

x

fx

x







的值无限趋近

于常数2，此时我们称当x趋近于1时，函数

21

()

1

x

fx

x







的极限为2

定义4设函数)(xfy在点

0

x的去心邻域内有定义，如果当自变量x在),

ˆ

(

0

xN内无限接近

于

0

x时，相应的函数值)(xf无限接近于某一个固定的常数

A

，则称

A

为当

0

xx（读作“x趋

近于

0

x”）时函数)(xf的极限，记作Axf

xx





)(lim

0

或)()(

0

xxAxf

注意：1.()fx在

0

xx时的极限是否存在,与()fx在

0

x点处有无定义以及在点

0

x处的函数

值无关．

2

x

O

y

1

2.在定义5中,x是以任意方式趋近于

0

x的,但在有些问题中，往往只需要考虑点x从

0

x的

一侧趋近于

0

x时，函数()fx的变化趋向．

例题求2

3

lim

x

x



由函数图像可知,无论x从哪一侧趋近于3时,函数值总是无限接近于9,故2

3

lim9

x

x





定义5设函数)(xfy在点

0

x的左半邻域),(

00

xx内有定义，如果当自变量x在此半邻

域内从

0

x左侧无限接近于

0

x时，相应的函数值)(xf无限接近于某个固定的常数

A

，则称

A

为当

x趋近于

0

x时函数)(xf的左极限,记作Axf

xx





)(lim

0

或

0

()()fxAxx

定义6设函数)(xfy的右半邻域)(

0,0

xx内有定义，如果当自变量x在此半邻域内从

0

x右侧无限接近于

0

x时，相应的函数值)(xf无限接近于某个固定的常数

A

，则称

A

为当x趋近

于

0

x时函数)(xf的右极限,记作

0

lim()

xx

fxA



或

0

()()fxAxx

函数的左右极限有如下关系:

定理2

0

lim()

xx

fxA



的充分必要条件是

00

lim()lim()

xxxx

fxfxA



．

例题设函数()

x

fx

x

,求()fx在

0x

处的左、右极限,并讨论()fx在

0x

处是否有极限存

在.

解:因为当

0x

时,()1fx,因此

0

lim()1

x

fx





,

又当

0x

时,()1fx,因此

0

lim()1

x

fx





由定理2可知，

0

lim()

x

fx



不存在。

练习：判断函数

1cos0

()

sin0

xx

fx

xx













在

0x

处是否有极限。

二、无穷小量

1.无穷小量的定义

定义1以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小，常用,,表示。

例如

1

lim0

xx

，所以函数

1

x

当x时是无穷小．

又如2

0

lim0

x

x



，所以函数2x当

0x

时是无穷小。

石家庄财经职业学院

注意：应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应

明确指出其变化过程。

例如函数

1

()fx

x

是x时的无穷小，但当1x时不是无穷小。当

2

x



时，sinx的

极限不为零，所以当

2

x



时，函数sinx不是无穷小，而当0x时sinx是无穷小量。

2.极限与无穷小之间的关系

定理1lim()fxA的充要条件是()fxA，其中是无穷小，即

lim()lim0,()fxAfxA.

3.无穷小量的运算性质

性质1有限个无穷小的代数和是无穷小。

注意：①.此处是指有限个无穷小的代数和是无穷小,但无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷

小.

例如:

2222

12(1)111

lim()limlim()

2222nnn

nnn

nnnnn





②.代数和是指和与差两种运算.

性质2无穷小与有界函数的积是无穷小.

例1求

0

1

limsin

x

x

x

分析:当

0x

是,x是无穷小,

1

sin

x

是有界函数,故根据性质2可知,此极限值为0.

解:因为

0

1

lim0,sin1

x

x

x

,故由性质2可得

0

1

limsin0

x

x

x



练习求

1

limcos

x

x

x

推论1常数与无穷小的积是无穷小.

例:当x是,

123

,,

xxx

均是无穷小.

推论2有限个无穷小的积仍是无穷小.

三、无穷大量

1.无穷大量的定义

定义2在自变量x的某个变化过程中，若相应的函数值的绝对值()fx无限增大,则称()fx为

该自变量变化过程中的无穷大量，简称无穷大．记作lim()fx

若函数值()fx(或()fx)无限增大,则称()fx为该变化过程中的正(或负)无穷大,记作

lim()(lim())fxfx或.

注意：无穷大量不是很大的数,而是一个变量,是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号

0

lim()

xx

fx



，表示“当0

xx

时,)(xf是无穷大量”．

2.无穷大与无穷小的关系

定理2在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷

大量．

例2求

2

2

1

1

lim

1x

x

x





解:由于

2

2

1

1

lim0

1x

x

x







,由定理2可知

2

2

1

1

lim

1x

x

x







注意:以后遇到类似题目,可直接写结果.

例3考察函数

1

()

1

x

fx

x







,自变量如何变化时是无穷大量?如何变化时是无穷小量?

解:因为

1

1

lim0

1x

x

x







,故当

1x

时,此函数为无穷小量.

因为

1

1

lim0

1x

x

x







,故

1

1

lim

1x

x

x







,所以当

1x

时,此函数为无穷大量.