极限的求法

极限的求法

ason-累赘的读音

2023年3月20日发(作者：消防逃生演练)

高等数学极限求法总结

函数极限的求法

函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知的极极限值的证明

题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。限为例，f(x)

在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存

在正数，使得当x

满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函

数f(x)当x→x。时的极限。

1.利用极限的四则运算法则：

极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法

则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法

则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，

不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条

件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利

用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆

项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例1

求lim(x23x+5).

x→2

解：lim(x23x+5)=limx2lim3x+lim5

=(limx)23limx+lim5

=2232+5=3.

x→2x→2x→2x→2x→2x→2x→2

2.利用洛必达法则

洛必达(L'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限

来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对

分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零

比零或无穷比无穷的类型。

利用洛必达求极限应注意以下几点：

设函数f(x)和F(x)满足下列条件：

（1）x→a时,limf(x)=0,limF(x)=0;

（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;

（3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大

则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))

例1：

1-cosx=1-{1-2[sin(x/2)]^2}=2[sin(x/2)]^2

xsinx=2xsin(x/2)cos(x/2)

原式=lim2[sin(x/2)]^2/[2xsin(x/2)cos(x/2)]=tgx/x

对分子分母同时求导（洛必达法则）

(tgx)'=1/(cosx)^2

(x)'=1

原式=lim1/(cosx)^2

当x-->0时,cosx--->1

原式=1

3.利用两个重要极限：

应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：

①分子、分母为无穷小，即极限为0；

②分子上取正弦的角必须与分母一样。

应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：

①带有“1”；

②中间是“+”号；

③“+”号后面跟无穷小量；

④指数和“+”号后面的数要互为倒数。

例1：

求lim(arcsinx/x),x趋于0

解A.令x=sint,则当t趋于0时,x趋于0,且arcsinx=t

所以(arcsinx/x),x趋于0.=lim(t/sint),t趋于0=1

4.利用等价无穷小代换定理

利用此定理求函数的极限时，一般只在以乘除形式出现时使用。若以和或

差形式出现时，不要轻易代换，因为经此代换后，往往会改变无穷小之比的

阶数。要用好等价无穷小代换定理，必须熟记一些常用的等价无穷小。

例1

lim√(1-cosx)/tanx

=lim-√2sin(x/2)/tanx

=lim-√2/2x/x

=-√2/2

lim√(1-cosx)/tanx

=lim√2sin(x/2)/tanx

=lim√2/2x/x

=√2/2

因为lim√(1-cosx)/tanx≠lim=√(1-cosx)/tanx

所以极限不存在

5.柯西收敛准则

数列{Xn}收敛的充分必要条件是对于任意给定的正数ε存在着这样的正整

数N使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收

敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。

例1

证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+[(-1)^(n+1)]/n有极限

证：

对于任意的m,n属于正整数，m>n

|xn-xm|=|[(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m|

当m-n为奇数时|xn-xm|=|[(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m

|

<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m

=(1/n-1/m)→0

由柯西收敛原理得{xn}收敛

当m-n为偶数时|xn-xm|=|[(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m

|

<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m

=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0

由柯西收敛原理得{xn}收敛

综上{xn}收敛，即{xn}存在极限

6.利用函数连续性：

（就是直接将趋向值带出函数自变量中，此时要要求分母不能为0）

描述函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的'微小变动只会引起函数

值的微小变动的情况。确切说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，

函数值的极限与函数在该点所取的值一致。

例1

设f（x）=xsin1/x+a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求：

当a，b为何值时，f（x）在x=0处的极限存在？

当a，b为何值时，f（x）在x=0处连续？

注：f（x）=xsin1/x+a,x<0

b+1,x=0

X^2-1,x>0

解：f(0)＝b+1

左极限：lim(x→0-)f(x)＝lim(x→0-)(xsin(1/x)＋a)＝0+a＝a

左极限：lim(x→0+)f(x)＝lim(x→0+)(x^2-1)＝0-1＝-1

f(x)在x＝0处连续，则lim(x→0-)f(x)＝lim(x→0+)f(x)＝f(0)，

所以a＝-1＝b+1，

所以a＝-1，b＝-2

7.利用等价无穷小量代换求极限

tanxsinx例8求极限lim．x0sinx3

解由于tanxsinxsinx1cosx，而cosx

x2

sinx~xx0，1cosx~x0，sinx3~x3x02

故有

x2

xtanxsinx11．limlimx0x0cosxsinx3x32

注在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或

相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能

随意替代，如在例题中，若因有tanx~xx0，sinx~xx0，而推出

limtanxsinxxxlim0，x0x0sinx3sinx3

则得到的式错误的结果．

附常见等价无穷小量

x2

sinx~xx0，tanx~xx0，1cosx~x0，2

arcsinx~xx0，arctanx~xx0，ex1~xx0，

ln1x~xx0，1x1~xx0．

8利用洛比达法则求极限

0洛比达法则一般被用来求型不定式极限及型不定式极限．用此种方法求极

限要求在0

点x0的空心领域U

例1

求极限lim0x0内两者都可导，且作分母的函数的导数不为

零．1cosx．xtan2x

xx解由于lim1cosxlimtan2x0，且有

1cosx'sinx，tan2x'2tanxsec2x0，

由洛比达法则可得

lim1cosxxtan2x

xlisinx22tanxsexc

cos3xlimx21．2

9.利用定义求极限

1．f'xlimxx0fxfx0，xx0

fx0hfx0．h2．f'x0limh0

其中h是无穷小，可以是xxxx0，x的函数或其他表达式．

例1

求极限x0p0,q0．

0分析此题是x0时型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是

消去分母0

中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解．但

在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解．

解令f

xg

x则

x0fxf0

limx0gxg0x0

f'0g'0p．q

10.利用归结原则求极限

归结原则设f在U0x0;'内有定义，limfx存在的充要条件是：对任何含于

xx0

U0x0;'且以x0为极限的数列xn，极限limfxn都存在且相等．n

例111求极限lim12．nnn

x1分析利用复合函数求极限，令ux12x

x1解令ux12x

nnnx2x1，vxx1求解．xx2x1，vxx1则有xlimuxe；limvx1，

由幂指函数求极限公式得

vx11lim12limuxe，xxxxx