函数有界

函数有界

-福克斯波罗

2023年2月23日发(作者：国家行业标准)

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一元函数有界性的探讨

作者：刘金魁张利巧

来源：《文存阅刊》2019年第10期

摘要：有界性是函数的四大性质之一，是初等数学和高等数学中研究函数性态的重要工具

之一。本文主要研究一元函数的局部有界性和整体有界性，总结相关的结论，加深学生对函数

有界性的认识和学习。

关键词：函数;有界性

1.引言

函数是描述客观世界变化规律的重要工具之一，有界函数又是数学分析和高等数学中非常

重要的一类函数。在函数的若干性质中，有界性是函数的一种最基本的性质之一。函数极限的

存在性、连续性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的有界性有着一定联系

的，特别是闭区间上连续函数的有界性定理又是最值定理和介值定理等重要定理的理论基础.

因此，函数的有界性具有非常重要的研究意义。

2.函数有界性的定义

定义1[1]：设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有f（x）

≤M（f（x）≥L），则称f为D上的有上（下）界函数，M（L）称为f在D上的一个上（下）

界。

定义2[1]：设f为定义在D上的函数，若存在正数M，使得对每一个x∈D有|f（x）

|≤M，则称f为D上的有界函数.

注意：函数f在D上有界，则f在D既有上界又有下界，且值域f（D）是一个有界集。

3.函数有界性的若干结论

定理1[1]（局部有界性）若f（x）存在，则f在x0的某空心邻域U°（x0）内有界。

定理2[1]（有界性定理）若f在闭区间[a，b]上连续，则f在闭区间[a，b]上有界。

定理3;若f在（a，b]上连续，且f（x）存在，则在区间（a，b]上有界。

证明：已知f（x），根据单侧极限的定义及定理1可知，存在一个正数δ

（a，a+δ）有界;又f在[a+δ，b]连续，根据定理2可知，f在[a+δ，b]有界。综上所述，函数f

在区间（a，b]上有界，同理可得下面结论：

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推论1若f在（a，b）上连续，且f（x）与f（x）存在，则在区间上有界。

注意：定理3中a可以取-∞，推论1中a可以取-∞，b可以取+∞，证明方法参考定理3.因

此，我们可以借助函数在两个区间端点单侧极限的存在性和开区间上的连续性，描述函数在整

个实数域上的有界性。

定理4;若f是[a，b]上的单调函数，则f在区间[a，b]上有界。

证明：已知f是[a，b]上的单调函数，根据文献[1]中定理9.6可知，f在区间[a，b]上可

积，故f在区间[a，b]上必有界。

注意：当f是[a，b]上的单调函数，且有无穷多个第一类间断点，上述定理仍然成立。

定理5;设f为闭区间[a，b]上的凸函数，则f在区间[a，b]上有界。

证明：对于任意x0∈（a，b），0

知，

令，则F（t）在（0，b-x0）上是单调递增的.又a

知，

显然F（t）有下界.于是，有.

同理可证f'_（x0）存在。显然，函数f在（a，b）内每一点连续，又f在区间端点a与b

有定义，不难说明函数f在区间[a，b]上有界。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].第四版，北京：高等教育出版社.

[2]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].第七版，北京：高等教育出版社.

作者简介：

刘金魁（1982年—），男，河南安阳人，副教授，研究方向：最优化方法及应用、教学

教法研究。

项目资助：

重庆三峡学院教改项目（JG170924），重庆三峡学院人才引进项目。

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