第一类换元法

第一类换元法

股份转让合同模板-铁的化学性质

2023年2月23日发(作者：草皮种植)

不定积分第一类换元

法

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不定积分第一类换元法（凑微分法）

一、方法简介

设

)(xf

具有原函数

)(uF

，即

)()('ufuF

，

CuFduuf)()(

，如果U

是中间变量，

)(xu

，且设

)(x可微，那么根据复合函数微分法，有

dxxxfxdF)(')]([)]([

从而根据不定积分的定义得

)(

])([)]([)(')]([

xu

duufCxFdxxxf







.

则有定理：

设

)(uf

具有原函数，

)(xu

可导，则有换元公式

)(

])([)(')]([

xu

duufdxxxf







由此定理可见，虽然dxxxf)(')]([是一个整体的记号，但如用导数记号

dx

dy

中的dx及

dy

可看作微分，被积表达式中的dx也可当做变量x的微分来对

待，从而微分等式dudxx)('可以方便地应用到被积表达式中。

几大类常见的凑微分形式：

○1)()(

1

)(baxdbaxf

a

dxbaxf)0(a；

○2xdxfxdxxfsin)(sincos)(sin

，xdxfxdxxfcos)(cossin)(cos

，

xdxf

x

dx

xftan)(tan

cos

)(tan

2

，

xdxf

x

dx

xfcot)(cot

sin

)(cot

2

；

○3xdxfdx

x

xfln)(ln

1

)(ln

，xxxxdeefdxeef)()(

；

○4nnnnxdxf

n

dxxxf)(

1

)(1)0(n，)

1

()

1

()

1

(

2x

d

x

f

x

dx

x

f

，

)()(2)(xdxf

x

dx

xf；

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精心整理，用心做精品3

○5



xdxf

x

dx

xfarcsin)(arcsin

1

)(arcsin

2

；





xdxf

x

dx

xfarctan)(arctan

1

)(arctan

2

；

○6复杂因式

二、典型例题

○1)()(

1

)(baxdbaxf

a

dxbaxf)0(a

；

例1.dxx2010)12(

例2.

2

3

1x

x[1]

例3.

322)1(1xx

xdx[1]例

x

xx







4

3

1

[1]

1．解：令

12xu

,

dxdu2

,

C

x

C

u

dxx





2011

)12(

2

1

20112

1

)12(

20112011

2010

2．解：令2xt，







2

3

1x

x









t

dtt

t

tdt

1

)11(

2

1

1

2

1





)1(

1

1

2

1

)1(1

2

1

td

t

tdt

Ctt12

2

1

)1(

3

2

2

1

2

3

Cxx2

2

3

21)1(

3

1

3．解：







322)1(1xx

xdx







3

2

22

2

)1()1(

)1(

2

1

xx

xd

令tx21

原式















t

td

tt

dt

tt

dt

1

)1(

1

2

1

2

1

2

3

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CxCt211212

4．解：







dx

x

xx

4

3

1









dx

x

x

dx

x

x

44

3

11













4

2

4

4

1

2

1

1

)1(

4

1

x

dx

x

xd

Cxx24arcsin

2

1

12

4

1

Cxx)1(arcsin

2

1

42

○2xdxfxdxxfsin)(sincos)(sin

，

xdxfxdxxfcos)(cossin)(cos

，

xdxf

x

dx

xftan)(tan

cos

)(tan

2

，

xdxf

x

dx

xfcot)(cot

sin

)(cot

2

；

例1.

dxxtan[2]例2.dx

x

x

2sin

[2]

例3.

dx

x

xx







2sin1

cossin1[1]例4.

xx

dx

4cossin

[1]

例5.

xx

dx

3cossin

[1]例6.



dx

xx

xx

44cossin

cossin[1]

例7.设ba,为常数，且0a，计算

dx

xbxa

x

I





2222cossin

tan[1]

1.解：设xucos，

xdxdusin

，

xdxdusin

dxxtan

dx

x

x

cos

sin

CxCu

u

du

)ln(cos)ln(

2．解：

dx

x

x

2sin

xdxxxxxdcotcot)(cot

Cxxxsinlncot

3．解：







dx

x

xx

2sin1

cossin1













x

xd

x

xd

x

dx

222sin21

)(sin

cos2

)(cos

cos2











)arctan(sin

cos2

cos2

ln

22

1

)1sec2(cos22

x

x

x

xx

dx













x

xd

x

x

x

2tan21

tan

)arctan(sin

cos2

cos2

ln

22

1

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精心整理，用心做精品5

Cxx

x

x







)tan2arctan(

2

1

)arctan(sin

cos2

cos2

ln

22

1

4.解：



xx

dx

4cossin

dx

xx

xx

dx

x

x

dx

xx

xx









2

22

44

22

cossin

cossin

cos

sin

cossin

cossin



x

dx

x

xd

x

xd

sin

cos

cos

cos

cos

24

Cxx

x

x

cotcscln

cos

1

cos3

1

3

5.解：



xx

dx

3cossin





xd

xx

xx

xx

dx

tan

costan

cossin

costan2

22

4





xd

x

x

tan

tan

tan12

Cxxtanlntan

2

1

2

6.解：令

xu2

，再令uvcos，有

du

uu

u

dx

xx

x

dx

xx

xx











2222

44

sin

2

1

cos

sin

4

1

2sin

2

1

2cos

2sin

2

1

cossin

cossin











2

221

2

1

cos

2

1

2

1

cos

cos

4

1

v

dv

uu

ud

Cvarctan

2

1

Cx)2arctan(cos

2

1

7．解：









2222222tan

tantan

)tan(cos

tan

bxa

xxd

dx

bxax

x

I

Cbxa

abxa

bxad

a







)tanln(

2

1

tan

)tan(

2

1

222

2222

222

2

○3xdxfdx

x

xfln)(ln

1

)(ln

，xxxxdeefdxeef)()(；

例1.

)ln21(xx

dx[3]例2.

dxex5[2]

例3.



dx

e

e

x

x

43

[2]例4.

xx

dx

2ln1

[2]

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例5.





dx

e

e

x

x

2

2)1(

1[1]例

xx

xx





49

32[1]

例7.



dx

e

xe

x

x

2

[1]例8.dx

xx

x

sincos

tanln[2]

1.解：





)ln21(xx

dx



x

xd

ln21

ln

Cx

x

xd







ln21ln

2

1

ln21

)ln21(

2

1

2.解：令

xu5

，

dxdu5

dxex5CeCeduexuu5

5

1

5

1

5

1

3.解：令xeu43，dxedux4，





dx

e

e

x

x

43

Cudu

u

ln

4

11

4

1

Cex)43ln(

4

1

4.解：令xuln，

dx

x

du

1









xx

dx

2ln1





Cudu

u

arcsin

1

1

2

Cx)arcsin(ln

5.解：





dx

e

e

x

x

2

2)1(

1







dx

e

ee

x

xx

2

2

2

2

2

)1(

2)1(

dx

e

e

x

x

x







2

2

2

)1(

2









2

2

2

)1(

)1(

4

x

x

e

ed

x

C

e

x

x







21

4

6.解：







dx

xx

xx

49

32







1])

2

1

[(

])

2

3

[(

2

3

ln

1

1)

2

3

(

)

2

3

(

22x

x

x

xd

dx

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精心整理，用心做精品7

C

x

x











1)

2

3

(

1)

2

3

(

ln

)2ln3(ln2

1

C

xx

xx











23

23

ln

)2ln3(ln2

1

7.解：





dx

e

xe

x

x

2







)2(2

2

)2(

x

x

x

exd

e

exd

dxeexxx2222

令22tex,22tex,)2ln(2tx,

dt

t

t

dx

22

2





原式





dt

t

t

texx

22

2

222

dt

t

t

exx







2

2

2

22

422





dt

t

exx)

2

2

1(422

2

C

t

texx

2

arctan

2

1

8422

C

e

eex

x

xx





2

2

arctan242422

8.解：

dx

xx

x

sincos

tanln

xd

x

x

tan

tan

tanln

)tan(lntanlnxxd

C

x



2

)tan(ln2

○4nnnnxdxf

n

dxxxf)(

1

)(1)0(n，)

1

()

1

()

1

(

2x

d

x

f

x

dx

x

f

，

)()(2)(xdxf

x

dx

xf；

例1.

dx

x

ex3

[2]例

x

x



2

3

1

[4]

例3.





dx

x

xx

1

1[4]例4.

)lnln(bxaxx

dx

[1]

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精心整理，用心做精品8

例53

2

2

2

)1(1

dx

x

x

x



[1]例6.

)(xax

dx

)0(a[1]

例7



dx

x

x

1

arcsin[1]

1.解：

x

dx

xd

2

1



dx

x

ex3

)3(

3

2

233xdexdexxCex3

3

2

2.解：



dx

x

x

2

3

1

)1()

1

1

1(

2

1

1

2

1

2

2

22

2

2

xd

x

xdx

x

x











Cxx2

2

3

21)1(

3

1

3.解：







dx

x

xx

1

1















2

2

22111

)1(

x

dxx

x

xdx

dx

x

xx

对于右端第一个积分，凑微分得





)1()1(

1

2

2

1

2

2

xdxdx

x

x

Cx21

第二个积分中，用代换txsin





dx

x

x

2

2

1

dt

t

tdt

t

t







2

cos1

cos

cos

sin22

Ct

t

2sin

4

1

2

Cxxx21

2

1

arcsin

2

1

原式

Cxxx21)2(

2

1

arcsin

2

1

4.解：







)lnln(bxaxx

dx







dx

bax

bxax

)(

lnln









)(lnln

1

)(lnln

1

bxdbx

ba

axdax

ba

Cbxax

ba





])(ln)[(ln

)(3

2

2

3

2

3

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精心整理，用心做精品9

5.解：





3

2

2

2

)1(1

dx

x

x

x

)

1

1()

1

1()

1

()

1

1(3

2

3

2

x

d

xx

d

x

C3

5

)

5

1

1(

5

3

6.解：

)(xax

dx

C

a

x

xa

xd





arcsin2

)(

2

2

7.解：





dx

x

x

1

arcsin

)1(arcsin2xdx







xd

x

x

xx

1

1

2arcsin12

Cxxx2arcsin12

○5



xdxf

x

dx

xfarcsin)(arcsin

1

)(arcsin

2





xdxf

x

dx

xfarctan)(arctan

1

)(arctan

2

；

例

x

x

2

arccos2

1

10[3]例2.



dx

xx

x

)1(

arctan[4]

例3.





dx

xx

x

)1(

arctan1[1]例4.

324)(arcsin1xx

xdx[1]

例

x

x

x

x









2

2

21

1arcsin[1]

1.解：



dx

x

x

2

arccos2

1

10

Cxd

x

x

10ln2

10

arccos10

arccos2

arccos2

2.解：





dx

xx

x

)1(

arctan





)(arctanarctan2

1

arctan2

xdxxd

x

x

Cx2)(arctan

3.解：





dx

xx

x

)1(

arctan1







dx

xx

x

])(1[

arctan1

2

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精心整理，用心做精品10

)1(arctanarctan12xdx

Cx2

3

)arctan1(

3

4

4．解：







324)(arcsin1xx

xdx



32

2

432

2

)(arcsin

arcsin

2

1

1)(arcsin

2

1

x

xd

xx

dx

Cx22)(arcsin

4

1

5．解：



Cxxxddx

x

x

2

2

)(arcsin

2

1

)(arcsinarcsin

1

arcsin

令txsin，









t

dt

tt

td

xx

dx

2

2222sin

sin1sin

sin

1

C

x

x

Ct





21

cot















x

dx

x

x

x

x

x

xddx

xx

x

)

1

(arcsin)

1

(arcsin

1

arcsin22

22

Cxx

x

x





lnarcsin

12















dx

xx

x

x

x

dx

x

x

x

x

)

1

arcsin

1

arcsin

(

1

1arcsin

2222

2

2

Cxx

x

x

xarc



lnarcsin

1

sin

2

12

2

○6复杂因式

例1.





dx

x

x

1

1

4

2

[4]例2.

dx

x

x

21

1

arctan

[1]

例3.









dx

x

x

x

1

1

ln

1

1

2

[1]例4.

dx

x

xx







2

2

1

)1ln([1]

例5.



dx

x

x

sin

cos1[1]例6.





dx

x

x

ex)

cos1

sin1

([1]

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精心整理，用心做精品11

1.解：

















2)

1

(

)

1

(

1

1

1

1

1

2

2

2

2

4

2

x

x

x

xd

dx

x

x

x

dx

x

x

C

x

x

C

x

x











2

1

arctan

2

1

2

1

arctan

2

12

2.解：

2

21

1

)'

1

(

)

1

(1

1

)'

1

(arctan

x

x

x

x













C

xx

d

x

dx

x

x2

2

)

1

(arctan

2

1

)

1

(arctan)

1

(arctan

1

1

arctan

3.解：

21

2

)'

1

1

(ln

x

x

x











C

x

x

x

x

d

x

x

dx

x

x

x



























2

2

)

1

1

(ln

4

1

)

1

1

(ln

1

1

ln

2

1

1

1

ln

1

1

4.解：



Cxx

x

dx

)1ln(

1

2

2







))1(ln()1ln(

1

)1ln(

22

2

2

xxdxxdx

x

xx

Cxx2

3

2)]1[ln(

3

2

5.解：



2

sin

2

2

2

cos

2

sin2

2

cos2

sin

cos1

x

dx

dx

xx

x

dx

x

x

C

x

x

x

d

4

tanln2

4

tan

)

4

(tan

2

6.解：

dx

x

xxe

dx

x

x

e

x

x











2cos1

)cos1)(sin1(

)

cos1

sin1

(

xdxedx

x

e

dx

x

xe

dx

x

e

x

xxx

cot

sin

sin

cos

sin22

xdxedx

x

e

x

dexdex

x

xxcot

sin

)

sin

1

()cot(

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精心整理，用心做精品12

C

x

e

xe

x

x

sin

cot

参考文献

[1]牟俊霖等2004年洞察考研数学（理工类）——名师授课听课笔记[M]航空

工业出版社，2003.

[2]同济大学数学系高等数学（第五版）[M]高等教育出版社，2003.

[3]刘玉琏、傅沛仁等数学分析讲义（第五版）[M]高等教育出版社，2008.

[4]李正元、李永乐、袁荫棠2011年数学复习全书数学一（理工类）[M]国

家行政学院出版社，2010.