换元法
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2023年3月20日发(作者：张应文)第1页共3页
用换元法分解因式
我们的课本中介绍了对一个多项式进行因式分解的很多方法，比如提公因
式法、运用公式法、分组分解法等等，这些方法都是最基础的因式分解方法.
一些同学在解答课外题时，往往感到只用这些方法还是有点力不从心，于是他
们纷纷找到李老师，请她“再传授几招，以便能够解答更多类型的因式分解题
目”.
李老师欣然应允，当场就为同学们介绍了一种因式分解的常用方法——换
元法.李老师把换元法分解因式分成了三种情况：
一、换单项式
例1分解因式x6+14x3y+49y2.
分析：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3=m，则x6=m2，原
式变形为
m2+14my+49y2
=(m+7y)2
=(x3+7y)2.
二、换多项式
例2分解因式(x2+4x+6)+(x2+6x+6)+x2.
分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换
元，设x2+6=m，则x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式变形为
(m+4x)(m+6x)+x2
=m2+10mx+24x2+x2
=m2+10mx+25x2
=(m+5x)2
=(x2+6+5x)2
=[(x+2)(x+3)]2
=(x+2)2(x+3)2.
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以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”.当
然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元
法”.比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为
m(m+2x)+x2
=m2+2mx+x2
=(m+x)2
=(x2+4x+6+x)2
=(x2+5x+6)2
=[(x+2)(x+3)]2
=(x+2)2(x+3)2.
另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为
“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算.对于本例，设m=
1
2
[(x2+4x+6)
+(x2+6x+6)]=x2+5x+6，则x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x，
(m+x)(m-x)+x2
=m2-x2+x2
=m2
=(x2+5x+6)2
=[(x+2)(x+3)]2
=(x+2)2(x+3)2.
例3分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.
分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使
之转化成为两个多项式的乘积.无论如何分组，最高项都是x2，常数项不相
等，所以只能设法使一次项相同.因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1)
(x+2)][(x-3)(x+4)]=(x2+x-2)(x2+x-12)，从而转化成例2形式加以解决.
我们采用“均值换元法”，设m=
1
2
[(x2+x-2)+(x2+x-12)]=x2+x-7，则x2+x-
2=m+5，x2+x-2=m-5，原式变形为
(m+5)(m-5)+24
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=m2-25+24
=m2-1
=(m+1)(m-1)
=(x2+x-7+1)(x2+x-7-1)
=(x2+x-6)(x2+x-8)
=(x-2)(x+3)(x2+x-8).
三、换常数
例3分解因式x2(x+1)-2003×2004x.
分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效.注意到2003、2004两个数字
之间的关系，把其中一个常数换元.比如，设m=2003，则2004=m+1.于是，原
式变形为
x2(x+1)–m(m+1)x
=x[x(x+1)-m(m+1)]
=x(x2+x-m2-m)
=x[(x2-m2)+(x-m)]
=x[(x+m)(x-m)+(x-m)]
=x(x-m)(x+m+1)
=x(x-2003)(x+2003+1)
=x(x-2003)(x+2004).
以上介绍的是用换元法因式分解的初步知识，同学们在以后解题时可以多
分析题目的结构特点，灵活运用各种因式分解的方法.也可以多进行一题多解
的训练，达到举一反三的目的.最后，就请同学们思考一下：刚才举的几道例
题，还有没有其他解法？如果有的话，赶快把你的新解法写出来吧.