第一类曲线积分

第一类曲线积分

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目录

1对弧长的曲线积分

（扩展）对弧长曲线积分的应用

2对坐标的曲线积分

3格林公式及其应用

4对面积的曲面积分

课后典型题

1对弧长的曲线积分

之前已经学过计算曲线长度的积分

（1）对于y=y(x)，有

21'()dsyxdx

（2）对于参数方程

()

()

xxt

yyt











有

22'()'()dsxtytdt

（3）对于极坐标方程是

()rr

，转成直角坐标

()cos

()sin

xr

yr









，则

'()'cossin

'()'sincos

xrr

yrr









。代入

2222'()'()=()'()dsxtytdtrrd

上面3个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。那么，

如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。当然如果密度均

匀为1，则求的弧长积分就是弧长。如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得

到的就是一个柱面表面积。

对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。

扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L的密度，求得的

结果就是空间的线质量。

定义：

0

1

(,)lim(,)

n

iii

i

L

fxydsfs













计算步骤

1画出图形

2写出L的方程，指出自变量范围，确定积分上下限（下限必须小于上限）

3由L类型写出对应ds的表达式

4因被积函数f(x,y)的点x，y在L上变动，因此x，y必须满足L的方程。即把

L中的x，y代入被积函数f(x,y)中。

5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。

注，二重积分中xy在投影域D内动，而被积函数的xy在L上动，故(x，y)必须

满足L。如，L的方程y=k,则

()

LL

fxdskdsks（保留。还不太懂）

参数方程

设曲线有参数方程

()

()

xxt

L

yyt











，则有：

显式方程

设曲线为

L：y=y(x)

，则有：

设曲线为

L：x=x(y)

，则有：

极坐标方程

设曲线为

:(),([,])Lrr

则有：

注：常用，半径R的圆弧对应

22'(0)dsRRdRd

空间曲线方程

设曲线为空间曲线

()

:()

()

xxt

Lyyt

zzt

















，则有：

设在L上f(x,y)<=g(x,y)，则

(,)(,)

LL

fxydsgxyds，特别的，有

(,)(,)

LL

fxydsgxyds

此性质不能用于第二类曲线积分

扩展对弧长曲线积分的应用

（其实和二重积分一样，完全可以自己推导）

质心坐标：

L

L

xds

x

ds









、

L

L

yds

y

ds











转动惯量：I=mr^2,因此有

2(,)

x

L

Iyxyds

设平面力场的力为(,)(,)(,)xyPxyQxyFij求该力沿着曲线L从a到

b所做的功。

对于直线的路径ab来说功的大小是()b

a

fxdx（这里有两个特点：1路径是直线

2力的方向和位移的方向相同）

6、特别性质

(,)(,)

LL

xydxyd



FrFr

第二类曲线积分不具有此性质。其证明比

较简单，看课本。

2对坐标的曲线积分

对坐标的曲线积分，分为对x坐标和y坐标的曲线积分，两者合在一起，为：

求解曲线积分时，最好先用格林公式看看是否与路径有关

①作出L的图形，标出L路径的方向

②写出L的方程

()

()

xt

yt







,并指出起点和终点的参数，

注意，，

并不

分谁大谁小。

③把

()

()

xt

yt









分别代入被积表达式，α为下限，β为上限。

注意：仍然有被积函数的（x,y）须满足L方程。

空间曲线计算必须化为参数方程来计算

同样的，在计算时，算圆能用直角坐标很难，用极坐标就很简单

不同点：第一类曲线积分是对弧长的曲线积分，其被积函数f(x,y)仅是一个数量

值。而第二类曲线积分是对坐标的曲线积分，其被积函数既有大小，又有方向。

相同点：第二类曲线积分可以化为第一类曲线积分

在力场

(,)(,)(,)xyPxyQxyFij

中，沿路径L从A到B，第一类曲线

积分和第二类都是可以计算的。有：

4、第一类和第二类曲线积分的互相转换

为了能消去dx,dy,得到第一类曲线积分的ds，我们将x，y改写设为参数方程。

设

()

()

xt

yt







，则

设

=''kij

，则

k

代表着L上某点的切线方向。而

22

'

'+'





、

22

'

'+'





则就是切线方向的单位向量。

若从切线方向上考虑，则

22

'

cos

'+'









、

22

'

=cos

'+'







，因

此可以改为

若设

2222

''

=

'+''+'





τij，则结果也可以改为

(,)(,)=(,)(,)

LL

PxydxQxydyPQdsτ

而这种在转换时更方

便常用一些。（见典型例题）

格林公式及其应用

文中全部的P，Q都代表P(x,y)，Q(x,y)

一个光滑的闭曲线L围成了一个D区域。设P（x,y）,Q(x,y)都存在一阶连续偏

导数，那么则有：

格林公式对L所围成的形状没有要求，只要求L是一条正向的闭曲线。（正向即

走在该路径上，左手边是被积域）

注意，被积P，Q不能在定义域内出现奇点，出现了，就是不可偏导的了。那么

怎么办一般使用挖洞法。

上式是二重积分与第二类曲线积分的关系。经过推导还有与第一类曲线积分的关

系：

若令n为下图向量，则有：

使用格林公式的情况：

格林公式使求曲线积分和二重积分可以互换，因此在求曲线积分（多为第二类）

或者二重积分时又多了一个格林公式这个方法。注意，曲线积分第一类又可以化

为第二类，如果这样考，可能会综合一些。（当然曲线第一类也有直接跟格林公

式互换的方法（见上））

(加边法)求非封闭曲线的第二类曲线积分：

可以加一条边成封闭曲线，再用格林公式算。算完后再减去加上的那条边的第二

类曲线积分。注意：一般加的都是一些简单的直线，如加x=a或y=a等。这样

减它的第二类曲线积分时非常简单，很多步都可以化为0.

（挖洞法）求闭曲线内含奇点的积分：

那么挖一个什么形状的洞呢一般做的都是让出现奇点的部分化为常数。如

就做一个分母一样函数的

椭圆。做一个2224xya

1、求闭区域的面积

显然，令

=1

xy

PQ





即可。于是，可选P=-y,Q=x，得

=2

xy

PQ





，

2=2S=

L

D

dxdyydxxdy于是求出面积。

注，该公式适合求边界曲线是参数方程的形式。已知边界曲线参数方程，求面积

用此公式。

曲线积分结果与路径无关，是指只与起点终点有关。其物理意义就是变力做功何

时与路径无关

设L1与L2是起点终点相同的两条不同路径，则在平面连通域内与路径无关的

充要条件是

12

0

LL

PdxQdy





，即绕闭曲线一周，曲线积分结果为0，则就与

路径无关。这个方法对任何连通区域均有效。但是下面的定理仅对单连通域有效：

定理：在一个单连通域G内，

L

PdxQdy的曲线积分与L路径无关的充要

条件是：

因为如果等于0，则闭曲线就等于0。之所以用单连通区域，因为单连通域内一

定存在偏导数。复连通区域内可能含有奇点，无法满足条件。

求解曲线积分时，最好先用格林公式看看是否与路径有关

设

(,)(,)(,)=

uu

PxydxQxydyduxydxdy

xy







，显然对应相等

(,)=

u

Pxy

x





，

(,)

u

Qxy

y







，而2

=

PuQ

yxyx







（必要条件须构造,

0,0

(,)xy

xy

uxyPdxQdy

亦可

证），因此，

(,)(,)PxydxQxydy

是u(x,y)全微分的充要条件依旧是：

当然，前提是一阶连续偏导数存在，因此仍然仅在单连通域内有效。从式中可见，

(,)(,)PxydxQxydy

存在是u(x,y)的全微分的充要条件与坐标曲线积分路径无

关的充要条件是一样的。因此，,

0,0

(,)xy

xy

uxyPdxQdy

与积分路径无关。

若存在这个函数，那么如何求得这个函数u(x,y)?

根据上例证明时构造的

,

0,0

(,)xy

xy

uxyPdxQdy，可求

因为构造出来的存在，因此满足积分与路径无关，因此，自己可以选择折线进行

积分，这样每条横或竖的折线总能有dx或dy=0,。如果x0，y0可以任意选，

一般选择原点（得到0，0处的特解）。如果不选择原点，则结果与选择原点的

结果相差一个常数C，有

,

0,000

yy0

(,)=(,0)(,xyxy

xyxy

uxyPdxQdyPxydxQxy

此处要注意代入的不是，而是此处代入的是

这种上下限是二元的积分，按给定的具体路径积。像我们做的路径无关的，自己

定制了横竖的折线去积的，之所以能导出后面的式子，是因为每条直线分别积，

一个直线消去了dx=0，一个直线消去了dy=0

（注：若要计算

1,111

0,000

yy0

(,)=(,0)(1,xyxy

xyxy

uxyPdxQdyPxydxQxy

此处要注意代入的不是，而是注意是x1,而不

其实只要不跳步的用公式，而是自己画图认真算算，是不会错的，就怕背公式，

还不熟，就错了）

设

(,)(,)(,)xyPxyQxyFij

是连通的开区域D上的有连续偏导数的向量场，则

以下四个条件是等价的：

1曲线积分

L

PdxQdy与路径无关

2对D内任何封闭的曲线L均有

L

=0PdxQdy

3

PdxQdy

是某函数u（x，y）的全微分，即

PdxQdydu

4

{,}PQF

是势场（梯度场）：即存在u(x,y)使得

grad{,}{,}

uu

uPQ

xy







F（即）

5若D是单连通区域，则以上四个条件等价于

=0

xy

PQ





1先看是否

=0

xy

PQ





，若是，说明路径无关，故可以自己选一条简单的折线

积分

2若与积分路径有关，但比较简单如

=C

xy

PQ





常数，则可以用格林公式转

换二重积分计算。（非闭区域可以加边法）

3如果12均难以满足，只能转换为定积分慢慢求了。

遇到求解

(,)(,)0PxydxQxydy

这个方程。如果恰有

=0

xy

PQ





，说明存在

u(x,y)，使得

(,)(,)(,)PxydxQxydyduxy

，上面求u(x,y)已经说过，若存在

u(x,y)，则通解是u(x,y)=C

因此，通解为

,

0,0

(,)(,)(,)=xy

xy

uxyPxydxQxydyC

其中x0，y0自己选一个恰当的。和上面的一样。

4对面积的曲面积分

（第一类曲面积分）其公式是简单的，二重积分中已经学过求空间曲面的面积，

那时候没有被积函数，如果添加一个的话，就求得了空间曲面的质量。

显然，也可以投影到yoz平面或者xoz平面，公式做相应更改即可。

课后典型题

注意，F的表达式如何求

答案：k(a^2+b^2)/2(见课本P198)