复合函数的定义域

复合函数的定义域

亚热带常绿硬叶林-微分法

2023年2月22日发(作者：防触电安全知识)

..

.v.

求复合的定义域、值域、解析式〔集锦〕

一、根本类型：

1、求以下函数的定义域。

〔1〕

1

2

)(





x

xxf〔2〕

xx

x

xf







0)1(

)(

〔3〕

11

1





x

y〔4〕

3

()

28x

x

fx







二、复合函数的定义域

1、假设函数y＝f(x)的定义域是[－2,4],求函数g(x)＝f(x)

＋f(1－x)的定义域

2〔卷3〕假设函数()yfx的定义域是[0,2]，求函数(2)

()

1

fx

gx

x





的

定义域

2、函数y＝f(2x＋1)的定义域是(1,3]，求函数y＝f(x)的定

义域

3、函数f(2x－1)的定义域是[0,1)，求函数f(1－3x)的定义

域是

求函数的值域

一、二次函数法

〔1〕求二次函数232yxx的值域

〔2〕求函数225,[1,2]yxxx的值域.

二、换元法：

（1）求函数41yxx；的值域

分分式法

..

.v.

求

2

1







x

x

y的值域。

解：〔反解x法〕

四、判别式法

〔1〕求函数2

2

22

1

xx

y

xx







；的值域

2〕函数

21

axb

y

x







的值域为[－1，4]，求常数ba,的值。

五：有界性法：

〔1〕求函数1e

1e

y

x

x







的值域

六、数形结合法---扩展到n个相加

〔1〕|1||4|yxx〔中间为减号的情况.〕

求解析式

换元法

(1)23,fxx求f(x).

解方程组法

设函数f〔x〕满足f〔x〕+2f〔

x

1〕=x〔x≠0〕，求f〔x〕函数

解析式.

一变：假设()fx是定义在R上的函数，(0)1f，并且对于任意实

数,xy，总有

2

()()(21),fxfxyxy

y

求()fx。

令x=0，y=2x

待定系数法

设f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,求f(x).

课堂练习：

..

.v.

1．函数

12

1

1)(

2

2





xx

xxxf的定义域为

2．函数

21

()

(3)(1)

x

fx

xx







的定义域为

3．)2(xf的定义域为[0,8]，那么(3)fx的定义域为

4．求函数542xxy，4,1(x的值域

5．求函数)(xf＝

x

x

21

3



〔x≥0〕的值域

6.求函数

32

23

2

2







xx

xx

y的值域

7f〔x+1〕=x+2x，求f〔x〕的解析式.

82f(x)+f(-x)=10x,求f(x).

9f{f[f(x)]}=27x+13,且f(x)是一次式,求f(x).

三、课后训练：

1．求函数y＝0

2

4

23xx

x

的定义域。

要求：选择题要在旁边写出具体过程。

2．以下函数中，与函数yx一样的函数是〔C〕

3．假设函数)23(xf的定义域为[－1，2]，那么函数)(xf的定义

域是〔C〕

A．]1,

2

5

[B．[－1，2]C．[－1，5]

D．]2,

2

1

[

4，设函数













)1(1

)1(1

)(

x

xx

xf，那么)))2(((fff=〔B〕

A．0B．1C．2D．2

5．下面各组函数中为一样函数的是〔D〕

..

.v.

A．

1)(,)1()(2xxgxxf

B．11)(,1)(2xxxgxxf

C．22)1()(,)1()(xxgxxf

D．

2

1

)(,

2

1

)(

22













x

x

xg

x

x

xf

6.假设函数)(},4|{}0|{

1

13

)(xfyyyy

x

x

xf则的值域是





的定义域

是(B)

A．

]3,

3

1

[

B．

]3,1()1,

3

1

[

C．

),3[]

3

1

,(或

D．[3,+∞

)

7．假设函数

34

1

2





mxmx

mx

y的定义域为R，那么实数m的取值围

是〔C〕

A．]

4

3

,0(B．)

4

3

,0(]

4

3

,0[D．)

4

3

,0[

8、函数322xxy在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，那么

m的取值围是(D)

A、[1，+∞〕B、[0，2]C、〔-∞，2]D、[1，2]

9．函数的值域

127

9

,

4

3

2

2













xx

x

y

x

x

y

分别是集合P、Q，那么

〔C〕

A．pQB．P=QC．PQD．以上答案都不

对

10．求以下函数的值域：

①)1(

35

53







x

x

x

y②y=|x+5|+|x-6|③242xxy

④xxy21⑤

422



xx

x

y

..

.v.

11、函数)0(

1

2

)(

2

2







b

x

cbxx

xf的值域为]3,1[，数cb,的值。

12.f〔

x

x1〕=

xx

x11

2

2





，求f〔x〕的解析式.

13.假设3f(x-1)+2f(1-x)=2x,求f(x).

14.设是定义在R上的函数，且满足f〔0〕=1，并且对任意的实

数x，y，

有f〔x－y〕=f〔x〕－y〔2x－y+1〕，求f〔x〕函数解析式.

课后训练答案：

1．4

(,)(0,2)(2,)

3



2.—9:C,C,B,D,B,D,C

10.3

{|}

5

yy,[11,),

5

[,4]

2

,[1,),11

[,]

62



11.c=2,b=-1

12.2()1fxxx

13.17

()5

5

fxx

14.2()1fxxx

【练习】

1求函数定义域2函数f

〔1x〕的定义域为[0，3]，求f〔x〕的定义域

3函数f〔x〕定义域为[0,4],求f2x的定义域

4求函数的值域〔注意先求函数的定义域〕

①31yx，x∈{1，2,3，4，5}(观察法)②246yxx，x

∈1,5(配方法：形如2yaxbxc)

..

.v.

③21yxx(换元法：形如yaxbcxd)④

1

x

y

x





(别离常

数法：形如cxd

y

axb







)

5求以下函数的解析式

①f〔x〕=22xx，求f〔1x〕的解析式②f〔x+1〕=223xx，

求f〔x〕的解析式

③f〔x〕是二次函数，且211244fxfxxx，求f〔x〕

④2f〔x〕f〔x〕=x+1，求函数f〔x〕的解析式

一、求函数的定义域

1、求以下函数的定义域：

⑴2215

33

xx

y

x







⑵2

1

1()

1

x

y

x







⑶02

1

(21)4

1

1

1

yxx

x







2、设函数fx()的定义域为[]01，，那么函数fx()2的定义域为___；函

数fx()2的定义域为________；

3、假设函数(1)fx的定义域为[]23，，那么函数(21)fx的定义域是；

函数

1

(2)f

x

的定义域为。

4、知函数fx()的定义域为[1,1]，且函数()()()Fxfxmfxm的定

义域存在，数m的取值围。

二、求函数的值域

5、求以下函数的值域：

⑴223yxx()xR⑵223yxx[1,2]x⑶

31

1

x

y

x







⑷

31

1

x

y

x







(5)x

⑸

26

2

x

y

x







⑹2

2

594

1

xx

y

x







＋⑺31yxx⑻2yxx

..

.v.

⑼245yxx⑽2445yxx⑾12yxx

6、函数2

2

2

()

1

xaxb

fx

x







的值域为[1，3]，求,ab的值。

三、求函数的解析式

1、函数2(1)4fxxx，求函数()fx，(21)fx的解析式。

2、()fx是二次函数，且2(1)(1)24fxfxxx，求()fx的解析式。

3、函数()fx满足2()()34fxfxx，那么()fx=。

4、设()fx是R上的奇函数，且当[0,)x时，3()(1)fxxx，那么

当(,0)x时()fx=_____

()fx在R上的解析式为

5、设()fx与()gx的定义域是{|,1}xxRx且，()fx是偶函数，()gx是

奇函数，且

1

()()

1

fxgx

x





，求()fx与()gx的解析表达式

四、求函数的单调区间

6、求以下函数的单调区间：

⑴223yxx⑵223yxx⑶261yxx

7、函数()fx在[0,)上是单调递减函数，那么2(1)fx的单调递增区

间是

8、函数

2

36

x

y

x







的递减区间是；函数

2

36

x

y

x







的递减区间是

五、综合题

9、判断以下各组中的两个函数是同一函数的为〔〕

⑴

3

)5)(3(

1





x

xx

y，5

2

xy；⑵11

1

xxy，

)1)(1(

2

xxy；

..

.v.

⑶

xxf)(

，2)(xxg

；⑷

xxf)(

，3

3()gxx

；⑸2

1

)52()(xxf，

52)(

2

xxf。

A、⑴、⑵B、⑵、⑶C、⑷

D、⑶、⑸

10、假设函数()fx=

34

4

2



mxmx

x

的定义域为R,那么实数m的取值围

是〔〕

A、(－∞,+∞)B、(0,

4

3

]C、(

4

3

,+∞)D、[0,

4

3

)

11、假设函数2()1fxmxmx的定义域为R，那么实数m的取值围

是〔〕

(A)04m(B)04m(C)4m(D)

04m

12、对于11a，不等式2(2)10xaxa恒成立的x的取值围是

〔〕

(A)02x(B)0x或2x(C)1x或3x(D)

11x

13、函数22()44fxxx的定义域是〔〕

A、[2,2]B、(2,2)C、(,2)(2,)D、{2,2}

14、函数

1

()(0)fxxx

x

是〔〕

A、奇函数，且在(0，1)上是增函数B、奇函数，且在(0，1)

上是减函数

C、偶函数，且在(0，1)上是增函数D、偶函数，且在(0，1)

上是减函数

..

.v.

15、函数2

2(1)

()(12)

2(2)

xx

fxxx

xx

















，假设()3fx，那么x=

16、函数fx()的定义域是(]01，，那么gxfxafxaa()()()()

1

2

0

的定义域为。

17、函数

21

mxn

y

x







的最大值为4，最小值为—1，那么m=，n=

18、把函数

1

1

y

x





的图象沿x轴向左平移一个单位后，得到图象C，

那么C关于原点对称的图象的解析式为

19、求函数12)(2axxxf在区间[0,2]上的最值

20、假设函数2()22,[,1]fxxxxtt当时的最小值为()gt，求函数()gt

当t[-3,-2]时的最值。

21、aR，讨论关于x的方程2680xxa的根的情况。

22、

1

1

3

a，假设2()21fxaxx在区间[1，3]上的最大值为()Ma，

最小值为()Na，令()()()gaMaNa。〔1〕求函数()ga的表达式；〔2〕

判断函数()ga的单调性，并求()ga的最小值。

23、定义在R上的函数(),(0)0yfxf且，当0x时，()1fx，且对任

意,abR，()()()fabfafb。⑴求(0)f；⑵求证：对任意

,()0xRfx有；⑶求证：()fx在R上是增函数；⑷假设

2()(2)1fxfxx，求x的取值围。

函数练习题答案

一、函数定义域：

1、〔1〕{|536}xxxx或或〔2〕{|0}xx〔3〕

1

{|220,,1}

2

xxxxx且

..

.v.

2、[1,1]；[4,9]3、

5

[0,];

2

11

(,][,)

32



4、11m

二、函数值域：

5、〔1〕{|4}yy〔2〕[0,5]y〔3〕{|3}yy〔4〕

7

[,3)

3

y

〔5〕[3,2)y〔6〕

1

{|5}

2

yyy且〔7〕{|4}yy〔8〕

yR

〔9〕[0,3]y〔10〕[1,4]y〔11〕

1

{|}

2

yy

6、2,2ab

三、函数解析式：

1、2()23fxxx；2(21)44fxx2、2()21fxxx

3、

4

()3

3

fxx

4、3()(1)fxxx；3

3

(1)(0)

()

(1)(0)

xxx

fx

xxx

















5、

2

1

()

1

fx

x



2

()

1

x

gx

x





四、单调区间：

6、〔1〕增区间：[1,)减区间：(,1]〔2〕增区间：[1,1]

减区间：[1,3]

〔3〕增区间：[3,0],[3,)减区间：[0,3],(,3]

7、[0,1]8、(,2),(2,)(2,2]

五、综合题：

CDBBDB

14、315、(,1]aa16、4m3n17、

1

2

y

x





18、解：对称轴为xa

..

.v.

〔1〕0a时，

min

()(0)1fxf，

max

()(2)34fxfa

〔2〕01a时，2

min

()()1fxfaa，

max

()(2)34fxfa

〔3〕12a时，2

min

()()1fxfaa，

max

()(0)1fxf

〔4〕2a时，

min

()(2)34fxfa，

max

()(0)1fxf

19、解：

2

2

1(0)

()1(01)

22(1)

tt

gtt

ttt

















(,0]t时，2()1gtt为减函数

在[3,2]上，2()1gtt也为减函数



min

()(2)5gtg，

max

()(3)10gtg

20、21、22、〔略〕

一．解析式的求法

1.代入法

例1、()21fxx，求(1)fx

2.待定系数法

例2、二次函数()fx满足(3)(1)fxfx，且()0fx的两实根平方和

为10，图像过点(0,3)，求()fx解析式

3.换元法

例3、

21

34

(31)

x

x

fx







，求()fx解析式

4.配凑法

例4、2(31)965fxxx，求()fx解析式

5.消元法〔构造方程组法〕

例5、()()1fxfxx，求()fx解析式

6.利用函数的性质求解析式

..

.v.

例6、函数()yfx是定义在区间

33

,

22

[]

上的偶函数，且

3

2

[0,]x

时，

25()xfxx

(1)求()fx解析式

(2)假设矩形

ABCD

顶点,AB在函数()yfx图像上，顶点,CD在x轴

上，求矩形

ABCD

面积的最大值

例7、函数()yfx是定义在R上的周期函数，周期

5T

，函数

()yfx(11)x是奇函数，又知()yfx在[0,1]上是一次函数，在

[1,4]上是二次函数，且在2x时函数取得最小值，最小值为-5

〔1〕证明：(1)(4)0ff

〔2〕试求()yfx，[1,4]x的解析式

〔3〕试求()yfx在[4,9]x上的解析式

二、复合函数的性质

．

例8、求以下函数的单调区间：y=log

4

(x2－4x+3)

例9、求复合函数2

1

3

log(2)yxx的单调区间

例10、求y=2x6x7的单调区间和最值。

例11、求y=12xx2

2

1











的单调区间。

作业：

1、假设函数(1)fx定义域为(3,4]，那么函数()fx的定义域为

2、函数3

2

31

()

3

x

fx

axax







定义域为R，那么实数a的取值围是

3、2

2

11

()fxx

xx

，那么(1)fx=

..

.v.

4、2(1)34fxxx，那么()fx=

5、函数()fx的图像与函数

1

()2hxx

x

的图像关于点A(0,1)对称

〔1〕求函数()fx的解析式

〔2〕假设()()

a

gxfx

x

，且()gx在区间(0,2]上的值不小于6，数a的

取值围

6、设()fx是定义在R上的函数，且()fx满足(2)()fxfx，当[0,2]x

时，2()2fxxx，求[2,0]x时()fx的解析式

7、21()mxmxfx

的定义域为R,那么求m的取值围

8、函数

2

11

()log

1

x

fx

xx







,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性。

9、求函数)5,0[,)

3

1

(42xyxx的值域。

10、求函数

11

()()1

42

xxy在3,2x上的值域。

定义域：

例1、假设函数

a

axaxy

1

2的定义域是R，数a的取值围

例2、设f(x)的定义域为[0，2]，求函数f(x+a)+f(x-a)(a＞0)的定义域．

练习：假设函数)(xfy的定义域为[1，1]，求函数)

4

1

(xfy)

4

1

(xf

的定义域

1、函数

x

x

xf





1

3

)(

2的定义域是〔〕

A.),1(B.)1,0(C.)1,(D.]1,(

2、函数

xx

x

xf







0)1(

)(的定义域是〔〕

A.0|xxB.0|xxC.10|xxx且D.10|xxx且

3、

x

xxf





2

1

1)(的定义域是〔〕

..

.v.

A.),1[B.),2[C.)2,1(D.21|xxx且

4、

23

84

)(

3







x

x

xf的定义域是〔〕

A.),

3

2

[B.















3

2

|xxC.),2[D.]1,(

5、假设函数fx的定义域[0，2]，那么函数

1

)2(

)(





x

xf

xg的定义域是〔〕

A[0，1]B1,0C4,11,0D1,0

6、函数)(xf的定义域为[a，b]，其中baba,0，那么函数

xfxfxg)(的定义域是〔〕

A],(bbB],(baC],[bbD],[aa

7、函数)1(xfy的定义域为[-2，3]，那么12xfy的定义

域是_________

8.(1)fx的定义域为[2,3],那么(21)fx定义域是:

A.

5

[0,]

2

B.[1,4]C.[5,5]D.[3,7]

9.函数()fx的定义域为[0,1],函数2()fx的定义域为:___________

函数的值域

1.直接观察法:对于一些比拟简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1求函数x

1

y的值域。例2求函数x3y的值域。

2.配方法配方法是求二次函数值域最根本的方法之一。

例3求函数]2,1[x,5x2xy2的值域。

3.判别式法:例4求函数2

2

x1

xx1

y







的值域。例5求函数

)x2(xxy的值域。

4.反函数法:直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义

域来确定原函数的值域。

例6求函数6x5

4x3





值域。

5.函数有界性法例7求函数1e

1e

y

x

x







的值域。例8求函数3xsin

xcos

y



的

值域。

..

.v.

6.函数单调性法:例9.求函数)10x2(1xlog2y

3

5x的值域。

例10.求函数1x1xy的值域。

7.换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式

含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法

之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11求函数1xxy的值域。

8.数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直

线斜率等等，这类题目假设运用数形结合法，往往会更加简单，一目

了然，赏心悦目。例12求函数22)8x()2x(y的值域。

1、

1

1

2

2







x

x

y2、

21

31







x

x

y3、3422xxy4、

322xxy

5、5622xxy〔1〕]1,1[x〔2〕]4,1[x〔3〕]8,4[x6、

3652xxy

7、

1

322

2

2







xx

xx

y8、

1

1

2





xx

x

y9、1xxy10、

53xxy

函数值：

1、设函数xxxf32)(2，那么)

2

1

(f_________2、设函数1)(2xxf，

那么)]1([ff_________

3、函数cbxaxxf2)(，假设0)3(,0)1(ff，那么

)1(f_______

4、













)0.........(2

)0.......(1

)(

2

xx

xx

xf，假设10)(af，那么

a=__

















)1.....(2.

)1..(..........1

)(

2

2

xxx

xx

xf，那么]

)2(

1

[

f

f__

5、函数fx对于任意实数x满足条件



1

2fx

fx

，假设15,f那

..

.v.

么5ff__________

解析式：

1、函数fx是一次函数,且49)]([xxff,求fx表达式.

2、xxxf2)(，求fx表达式，xxxf2)1(求fx

表达式.

3、56)23(xxf，求fx表达式.

1、，那么函数的解析式为〔〕

A、B、

C、D、

2、函数的定义域是〔

〕

A.B.C.D.

3、函数的定义域是

4、函数的定义域为

5、函数2215

33

xx

y

x







的定义域为

..

.v.

6、函数2

1

1()

1

x

y

x







的定义域为

7、函数2

2(1)

()(12)

2(2)

xx

fxxx

xx

















，假设

()3fx

，那么

x

=

8、的定义域为，那么)2

1

(

x

f的定义域为

9、.假设函数(1)fx的定义域为[]23，，那么函数(21)fx的定义

域是

10、函数()fx满足2()()34fxfxx，那么()fx=

11、a,b为常数，假设那么.

12、假设函数满足关系式，那么的表达式为_

_________.

13、设

()fx

是R上的奇函数，且当[0,)x时,)1()(3xxxf,那么当

(,0)x时()fx=，()fx在R上的解析式为

14、设二次函数y=f(x)的最小值为4，且f〔0〕=f〔2〕=6，求f(x)

的解析式。

15、函数2(1)4fxxx，求函数()fx，(21)fx的解析式。

16、二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为

。

..

.v.

17.假设方程有两个相等的根，求的解析式。